怎样解题

说起怎样解题，人们自然想到美国数学家G. Polya的名著《How To Solve It》。该书出版于1950年代，被翻译成了多种语言的文本，是许多学生、学者学习的经典。波利亚为解题步骤列了一个详细的表格，对学生给予顺其自然的指导，既杜绝生搬硬套，又启发独立思考，真可谓是大功一件。现在的老师们更是独到，总结成了一片小草（Grass）。我就用一篇短短的博文，来说说自己的观点，该怎样解题。

波利亚的四个步骤是：弄清问题、拟定计划、实现计划、回顾问题。GRASS说的是，给定条件（what is Given？）；要求什么（What is Required?）；分析问题（Analyze）；解决问题（Solve）；总结求解过程（Statement）。弄清问题、或者已知条件是容易做到的，只需要相关的知识点；回顾或总结，需要的是耐心。难在分析问题或拟定计划，也就是该怎么着手。

解答数学问题的策略有十几个。1. 符号化：画个图，列个表；2. 套公式：回想一下相关的定理、定律；3. 简单化：先解决个简单问题试试；4. 找规律；5. 归纳法；6. 假设法：自己提出一个相关假设；7. 倒着来（Work Backwards）：从结论推到已知；8. 回到定义去；9. 联想法：想想类似的问题或情形；10. 暂时放下，等待奇迹在潜意识中出现；等等。

实现计划在数学中就是列式、计算。计算相对简单；可怎么列式，对数学家来们说是小菜一碟；可对中小学师生们来说，可是难事一件。根据已有的定理、定律，照搬不就好了吗？可那么多的定理定律，谁又能记得呢？想去搜索一下，可是连名字都不知道，搜什么呢？其实，只要掌握一句话就可以了：用两种不同的方法去表示同一个量。物理学家们列方程的唯一出发点，就是量的守恒。这个量，一般是与问题相关的；如果你能杜撰一个不相关的量，又把问题解决了，那么，恭喜你，你已经超过你的所有老师了。

怎么来解方程呢？数学、物理已经把所有已知的方程分了类，而且大多数都给出了解法；你只要搜一下即可。遇到没有解的方程时，那也只是在一定数域之内；在复数域内，所有多项式方程都是有解的；尽管没有根式表达式，还是有级数数表达式。再复杂的偏微分方程，它的所有解，都是可以表出的。

题解完了，可目的是什么呢？仅仅是完成了老师布置的一份作业？练习题无穷多，是永远做不完的。解一道题的收获，应该是自己学到了一种方法，智力得到了一次检验，自信又增加了一分；即使一时没有解出，留在那里，做个念想，笑谈人生，快乐依然不会减轻。