数论人生

数论是一门学科,也是我的人生。有人把酒论英雄,我用数字描天下。
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教科书的忽悠

(2021-10-21 09:17:02) 下一个

教科书(textbooks)是用来教人科学知识的,应该是一门学科已有知识的全面总结,同时又能指出该学科中尚未解决的问题。可是由于篇幅所限,更多的是由于编撰者的知识、水平所限,还有不求甚解的态度,真的很是让人失望。我经常是花大力气、高代价,去找一本书,想得到一个问题的解答,结果却是每次都难如愿。互联网上的东西,根本就没有细节,不可能解决问题的。于是,就只能自己去推导,次次如此。

多年以前,我对牛顿的万有引力定律产生了怀疑:为什么非得与距离的平方成反比?教科书上说,那是实验的结果。查互联网又知道,爱因斯坦加了一项三次方的倒数,为了解释金星轨道的偏移。可自然力,岂能随便添加的?我又去买了Stephen Hawking的《On the shoulders of Giants》和《The Dreams that stuff is made of》(一百多加元没有了!), 发现日本物理学家Sin-Itiro Tomanaga 提出了一种与距离成正比的短程力。根据呢?还好,我用相互作用力的矢量加法原则,导出了一个积分方程,线性的,它的全部解是由上述两种力的线性组合而成。前后不到两个小时!真是冤大头了。物理教科书该改写了。

后来我又对波动方程起了兴趣。机械波的方程由牛顿第二定律导出;电磁波的方程由磁场强度的表达式推出;几个小时的演算就可以搞定。Schrodinger的波函数方程呢?我买了一本David Bohm的量子理论,那上面是把一个特解求偏导数,凑出来的;逻辑上完全反了!我又去搜索互联网,有人说是从Hamilton的能量守恒方程导出的;这还说得过去。可能量守恒是一个整体的概念,在局部是有条件的;还好,我用变化率+流量守恒式,不到三小时,导出了最为一般的运动方程式。

接下来该解方程了。从现实世界推出的方程,其实都是偏微分方程,因为有多个变量、还有变化率。现在所有的教科书,都只是给出了可数个特解(线性方程除外)。数学上加了一些连续性、光滑性的边界、初始条件,以便得出唯一解;例外的、发散的解,就被称作是奇解、奇点,就像黑洞一样被丢弃。难道我们就不需要全部的解吗?是没有表示的方法。还好,我独创了量的表示式,收敛性先放一边,再用变量代换来重铸其收敛性。

在加拿大,中学的数学教科书里是没有变量代换的概念的,只有机械般的加、减、乘、除。到了大学里,要算积分了,才不得不用换元法,可还是不教你怎么换元。等到要学微分方程了,知道怎么换元了,才发现微元的概念还没有教(其实,永远不会教!);没办法,机械般地背几个特解就算了事。教你突破教科书的限制,那可不是我的事,也决不是我的本意;否则,我的教书生意怎么为继?

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阅读 ()评论 (3)
评论
深度思考 回复 悄悄话 同意博主说的。国外的教材确实看不懂。微积分的很多核心概念还没有学,就上微分方程。好像学生也没有异议。。。
欧洲联盟 回复 悄悄话 回复 '不开窍' 的评论 : Maxwell 方程组又是怎么来的呢?
不开窍 回复 悄悄话 由麦克斯韦方程组导出(电磁波)波动方程,也就几分钟的事.
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