Epsilon逼近

最近，一个大学一年级的新生问起了函数极限的定义，满脸的困惑不解。这让我想起了我们当年的情形：一个小小的ε，竟把所有人折磨得够呛；一个室友还因此休学了一年。我跑去问高年级的老乡，他却说，和尚念经，念它个千百遍，一切都了然于心。任课教授也正是这么做的：每次讲课前，总是把那定义写在黑板的左上角，念叨数遍；一个月下来，囫囵吞枣，也算是初步理解了。

这个定义是这样子的：

对于任意给定的正数ε，无论它多么小，总存在一个正数δ，可能与ε有关，使得当自变量x 与a 的距离小于δ时，因变量y 与L 的距离就小于ε。补充一点：x 可以不等于a。

这本来是数学家们为了刻划两个点之间的靠近程度而引进的代数化语言，在普通人眼里就成了怪兽了。糟糕的是，中学老师们对微积分大多数都是一知半解，讲不明道不清，学生们哪能不云里雾里呢？更怪异的是，美国人把ε叫challenge，把δ叫response, 这不是把新生往糊里推吗？

世界中的量都是相互关联的。为了表示当一个量如x, 变化时，另一个量如y，怎么变化，我们用到的工具是距离，更狭隘地说，在微积分中，仅仅是欧几里德距离，也就是那个从勾股定理推导出来的距离。等到了泛函分析，还有任意定义的距离；到了拓扑学中，还有伪距离。在一维欧氏空间中，也就是在一条直线上，距离就是两数之差的绝对值。

为了表示变量y 与某个常量L的靠近程度，我们设定一个目标ε，也就是让|y – L|小于ε；因为y 依赖于自变量x，不等式 |y – L| < ε 的解当然要用x 的某个变化范围来表示。你可以叫做x的响应，但实际上是x变化在先：x 在靠近a. 所以解答如是：|x – a| < δ. L 的值是事先给定的；至于怎么求出那是另一回事；定义本身只是一个验证而已。

举个例子。要验证 lim (x-->1) x^2 = 1，只要解不等式：|x^2 – 1| < ε, 也就是 1 – ε < x^2 < 1 + ε。为了三边开平方根，可设ε < 1；于是 sqrt(1 - ε) < x < sqrt(1 + ε)。如果ε > 1，左边的式子换成0即可。x 跟1得有多靠近呢？三边减1可得：sqrt(1 - ε) - 1 < x - 1 < sqrt(1 + ε) - 1，这只要

|x – 1| < min( |sqrt(1 - ε) -1|, |sqrt(1 + ε) - 1|) 即可。把这个式子叫作δ，证明完毕。

提醒一点，美国人的根式取正和负两个值。可到了二次方程的求根公式中，他们在判别式的根式前还是加上正负号，简直是自打脸；可到了立方根时，又只取一个实根，完全不管另两个虚根。再一件奇怪的事，他们的无穷大记号∞，仅仅表示正无穷大，没有正负合体的；负无穷大的表示，要在前面加负号。

我们怎么表示对无穷大的逼近呢？ 如果是正无穷大，用“变量 > M”, M 是一个任意指定的正数；如果是负无穷大，用 “变量 < − M”, M 是一个任意指定的正数；如果是双向的无穷大，用 “变量的绝对值 > M”, M 是一个任意指定的正数。

举个例子。验证 lim(x -->0)x^(-2) = +∞，先设定目标 x^(-2) > M，M为任意正数；解之可得：x^2 < 1/M，或者 |x| < 1/sqrt(M) =: δ。证毕。

同学们明白了吗？不然我再举几个例子？我们加拿大人只知道例子例子例子，你要问一个一般概念，那是半天都答不上来的。可例子无穷多啊，怎么举得完？这也就是为什么加拿大人低效的原因；任何小小的工程都是以年为单位计算工期的。只有中华民族善于抓住一般抽象的概念，抓住本质和方法，所以他们都是学霸。

再啰嗦几句。ε逼近在微分中只是个开始；在积分中，得用微元去逼近。到了微分方程中，Euler用ε逼近去证明解的存在性。到了一般的距离空间中，用的是邻域逼近。到了一般拓扑空间中，仅仅只有伪距离，我们就要用网去逼近了。

[欧洲联盟]

今天想试试能不能贴上数学公式，失败了。