春后雨前的博客
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【续前】冯·诺伊曼最重要的数学遗产——算子代数及其现代发展（上）
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算子代数的开创性工作
对算子理论的探索贯穿了冯·诺伊曼的整个科学生涯，是他作为纯数学家最深刻的工作。他在研究Hilbert空间算子谱理论、群表示、遍历理论和量子力学的数学基础时，认识并预见到，研究物理世界中无穷自由度的系统需要新的数学工具。1929年冯·诺伊曼在论文《函数运算代数和正规算子理论》中首次提出了 “算子环”的概念，将有限维矩阵代数推广到无穷维空间，指出任何遵守量子力学规则的物理系统都可由一个算子环来描述。后来他在博士后弗朗西斯·默里（Francis Murray，1911–1996）协助下，对算子环进行了系统深入的研究，他们的系列论文至今仍是这一领域的核心部分。冯·诺伊曼去世后，布尔巴基学派的创始人之一、法国数学家让·迪厄多内（Jean Dieudonné）建议将算子环重新命名为 “冯·诺伊曼代数”，以表示对他的纪念。图为1948年冯·诺伊曼（后排左五）参加在加州帕萨迪纳举行的Hixon研讨会。
冯·诺伊曼代数是由复 Hilbert 空间上有界线性算子构成的自伴代数，对于弱算子拓扑封闭并且包含恒等算子。这里弱算子拓扑可被强、超强或超弱算子拓扑取代，冯·诺伊曼代数的自伴和弱闭性质使得它包含其任意自伴元的谱族。交换冯·诺伊曼代数等价于勒贝格测度空间上所有本质有界函数构成的代数，因此冯·诺伊曼代数是测度论的非交换推广，另一个已知例子是Hilbert空间H上全体有界线性算子 B(H)。假设M是一个冯·诺伊曼代数，其交换子（commutant）M’ 是由所有可与M中算子交换的算子构成的冯·诺伊曼代数；M的中心（center）是子代数M∩M’；因子（factor）是具有平凡中心的冯·诺伊曼代数，即其中心仅由标量算子组成。
冯·诺伊曼证明的第一个重要结果是二次交换子定理：冯·诺伊曼代数的解析定义等价于作为二次交换子的纯代数定义。他还证明了可分Hilbert空间上的每个冯·诺伊曼代数都可唯一表示为因子的直和，因此研究冯·诺伊曼代数的性质可约化为研究因子的性质。冯·诺伊曼引入因子概念的目的是为了探索量子力学中在Hilbert空间的非平凡分解，默里和冯·诺伊曼根据算子的值域，在投影（自伴幂等算子）之间建立了偏序关系，从而定义了进行因子分类的维数函数。一个投影是无限的，是指它可与其某个真子投影等价，否则是有限的；极小投影没有真子投影；有限/无限冯·诺伊曼代数是指其单位元（恒等算子）是有限/无限的。
默里和冯·诺伊曼将因子分为三种类型：一个因子如果有极小投影，则称其为 I 型；如果没有极小投影却有非零有限投影，则称其为 II型；如果没有任何非零有限投影，则称其为 III型，即纯无限的。他们证明了I 型因子同构于B(H)，依空间H的维数分为In或I∞型。如果II型因子是有限的，则称其为II1 型，否则为 II∞ 型。II1 因子具有唯一的有限正规迹态（trace），II∞ 型因子具有唯一的半有限正规迹态。默里和冯·诺伊曼利用群测度方法和可数离散群的左正则表示给出了II1、II∞、III型因子的实例。超有限的冯·诺伊曼代数是一个递增的In型因子序列的强闭包，他们证明了所有超有限的II1 型因子在同构意义下是唯一的，并且构造出非超有限的II1 型因子。
在1954年九月举行的阿姆斯特丹国际数学家大会ICM的开幕式上，冯·诺伊曼作了《数学中未解决的问题》主题演讲。在大会召开前近两年，组委会就向他发出了邀请函，希望冯·诺伊曼能够在大会上为20世纪后半叶的数学发展指明方向，再现1900年希尔伯特在巴黎ICM上提出23个世纪数学问题的盛况。冯·诺伊曼在经过慎重考虑后接受了邀请，并以其一贯精准和谦逊的态度强调，整个数学学科对于任何一位数学家来说都是太过广泛了。他在演讲的开场白中说：“如果我试图效仿（希尔伯特）这个非常奇特的壮举，那将是绝对愚蠢的。此外，我不知道未来，而未来无论如何只能以事后的可靠性进行预测。” 如同其一贯的风格，冯·诺伊曼没有正式的演讲稿，他精心准备的一份手写提纲和一份打印稿件现存美国国会图书馆。
冯·诺伊曼将演讲内容限制在自己熟知的数学领域，他回顾了提出算子环的动机和背景，重点讨论了II1型算子环。这类特殊的算子环最诱人的特点是具有连续的有限维数，冯·诺伊曼认为II1型比I 型更适合描述量子模型。遗憾的是，他生前没有来得及完成关于II1型算子环的系统著述，因此他在1954年ICM的演讲及手稿是这一领域的主要信息来源。冯·诺伊曼选择算子环作为大会演讲的主题，是为了更好地理解算子理论、量子力学、量子逻辑和非交换概率论之间的关系，以及更深层次的哲学意义，他将量子逻辑也列为未解决的数学问题之一。想必当时很少有人能预见到，以冯·诺伊曼命名的算子代数，若干年后对于现代数学和理论物理学将产生何等深远的影响。
模理论和III型因子的分类
在对冯·诺伊曼代数的研究中，默里和冯·诺伊曼发现了一片新大陆，也留下了许多尚未解决的问题，特别是对于III型因子知之甚少。由于量子场论数学化的需要，冯·诺伊曼代数在沉寂了二、三十年之后重新引起关注，迅速成为热门领域。数学家们陆续证明了存在无穷多个非同构的II1 或II∞型因子，一些关于因子的新的代数不变量不断被定义。罗伯特·鲍尔斯（Robert Powers）利用无穷多个I2型因子的张量积及C*-代数的Gelfand–Naimark–Segal（GNS）构造，对于 (0 ,1) 区间中的不同实数 λ，发现了互不同构的III型超有限Powers因子Rλ，而在这之前只有三个III型因子是已知的。另外，沃尔夫冈·克里格（Wolfgang Krieger）还给出了遍历理论中与离散等价关系相关的Krieger因子。
1930年代，默里和冯·诺伊曼发现一个因子M与其交换子M’ 同为I、II或III型，但其 “大小” 可能完全不同。他们用迹态证明了，每个具有循环分离向量的I型或II型因子反自同构（anti-automorphism）于它的交换子，这类冯·诺伊曼代数被称为具有标准形式。然而在纯无限的冯·诺伊曼代数上无法定义迹态，因此III型因子始终难以驾驭，直到两位日本数学家富田稔（Minoru Tomita，1924–2015）和竹崎正道（Masamichi Takesaki，1933-）做出了十分重要的工作。1967年，富田稔第一个证明了冯·诺伊曼代数张量积的交换子定理这一长期未决的猜想，提出了冯·诺伊曼代数的模自同构理论。由于原始手稿很难理解，证明缺失，只发表了部分内容。1970年，竹崎正道完成并发展了他的工作，创立了Tomita-Takesaki模理论。
富田稔和竹崎正道用冯·诺伊曼代数M上一个弱连续的忠实正规态生成模算子，构造出M的单参数模自同构群，并用量子统计力学中的KMS （Kubo-Martin-Schwinger）热平衡条件加以刻划，这种联系被称为 “物理学与数学之间 ‘稳定的和谐’的美丽例?”。他们将默里和冯·诺伊曼关于I型或II型因子的结果推广到一般的冯·诺伊曼代数，证明了具有标准形式的冯·诺伊曼代数与它的交换子反自同构。Tomita-Takesaki模理论为诸如III型因子等以前难以处理的问题给出了良好的结构理论，而III 型冯·诺伊曼代数在代数量子场论中具有十分重要的意义，因此使得算子代数产生了革命性的变化。
1972年，法国数学家阿兰·孔涅（Alain Connes，1947-）在博士论文中仔细研究了Tomita-Takesaki模理论的结构，证明了非交换的Radon-Nikodym定理，对于III型因子做了进一步分类。给定因子M，Connes 谱 S(M) 定义为由M的全体忠实正规态生成的模算子的谱的交集，这里S(M) 是一个同构不变量。科纳证明了M是III型的充分必要条件是0∈S(M)，对于0 ≤ λ ≤1，M还可细分为IIIλ型。当0 < λ <1 时，S(M) 由0和 λ的所有整数幂构成； λ = 0时，S(M) = {0, 1}；λ = 1时，S(M) = [0, ∞)。对于0 ≤ λ <1，孔涅将M表示为一个II∞型因子N与整数集在作用θ下的交叉积（crossed product）。这里θ是N上的自同构并且由M唯一确定，因此M的分类可转化为 (N, θ) 的分类，竹崎正道将这一结果推广到λ = 1 的情形。
随后，孔涅又进一步证明了II∞ 型超有限因子的唯一性并对其自同构群进行分类。在此基础上，他对于0 ≤ λ <1得到了IIIλ型超有限因子的完全分类，这一结果被认为是20世纪数学的一个巨大成就。孔涅于1976年证明了：对于0 < λ< 1，在同构意义下存在唯一的IIIλ型因子，恰好是Powers因子Rλ。另外， III0型超有限因子就是Krieger因子，存在不可数无穷多个互不同构的这类因子，对应于遍历理论中的权重流（flows of weights）。孔涅把算子代数与数学的各个主流分支联系起来，他发展和使用的方法成为量子统计力学等领域中的重要工具，并且开创了非交换几何这一新的数学分支。由于其杰出贡献，孔涅在1982年（推迟至1983年举办）华沙IMC上获得菲尔兹奖。
冯·诺伊曼代数的发展和应用
冯·诺伊曼代数在数学和理论物理学中得到广泛认可和应用，吸引了许多当时年轻的一流数学家加盟。1979年，新西兰裔美国数学家沃恩·琼斯（Vaughan Jones，1952–2020）在博士论文中利用交叉积对于II1型因子上有限群作用进行分类。后来他将这一想法用到II1型因子M的子因子N上，创建了冯·诺伊曼代数的伽罗瓦理论。假设M作用在Hilbert空间H上，dimM H是默里和冯·诺伊曼意义下H的M-维数，琼斯定义N在M中的Jones指标 [N : M ] 为 dimN H / dimM H。他证明了著名的“琼斯指标定理”，即 [N : M ] 的值可取谜一般的数字 4cos2 (π /p)，p = 3, 4, 5, …… 或者任何不小于4的实数。在证明这一定理的过程中，他构造了被称为“Jones塔”的子因子嵌套序列。
不久后琼斯发现他的指标定理为纽结理论中的辫群（Braid group）提供了意想不到的表示，由此引出一个新的纽结拓扑不变量——“Jones多项式”。这类多项式被用于区分不同类型的纽结和链接，解决了纽结理论中一系列多年的难题。琼斯指标定理以令人眼花缭乱的方式将数学和物理学联系在一起，在统计力学、量子群和李代数表示、共形量子场论、代数量子场论等不同领域均产生了重大影响。美国数学物理学家爱德华·威滕（Edward Witten，1951-）将Jones多项式用Chern-Simons三维拓扑量子场论的Feynman积分来解释，并从这个三维拓扑量子场论进一步得到了三维流形的量子不变量，形成了一个连接量子力学和低维拓扑的新的数学分支——“量子拓扑”。在1990年京都IMC上，琼斯和威滕同时获得菲尔兹奖。图为孔涅（左）和琼斯，1983年摄于京都。
罗马尼亚裔美国数学家丹-维吉尔·沃库列斯库（Dan-Virgil Voiculescu，1949-）和索林·波帕（Sorin Popa，1953-）是一对师徒，在几十年的研究生涯中先后解决了冯·诺伊曼代数中的一些重大问题。沃库列斯库将研究非交换随机变量的数学理论——自由概率论引入算子代数领域，目的之一是构建冯·诺伊曼代数新的不变量。波帕证明了琼斯理论中关于具有有限Jones指标的子因子的几个深刻而基本的结果，他还利用变形和刚性研究冯·诺伊曼代数上的群作用，彻底改变了冯·诺伊曼代数中与遍历理论密切相关的部分。库列斯库和波帕分别在1994年苏黎世ICM和2006年马德里ICM上作了一小时大会报告。
1970年代初，丹麦数学家乌菲·哈格鲁普（Uffe Haagerup，1949–2015）在他的硕士论文中推广了Tomita-Takesaki模理论。1980-90年代，哈格鲁普解决了两位菲尔兹奖得主提出的公开问题。一个是孔涅遗留的III1 型超有限因子的分类问题，哈格鲁普证明了这类因子的唯一性，从而完成了III型超有限因子的分类。另一个是琼斯提出的关于II1型超有限因子的不可约子因子Jones指标的估计，哈格鲁普给出了十分优美的答复，证明了 (5 +√13) /2是大于4的Jones指标的最小值。他对于沃库列斯库研究的自由概率论和随机矩阵也做出了重要贡献，将其用于与冯·诺伊曼代数有关的不变子空间存在性等问题，哈格鲁普在2002年北京ICM上作了一小时大会报告。
冯·诺伊曼将一生中最有创造力的岁月全部奉献给纯数学研究，他在1947年撰写的一篇文章《数学家》中，指出数学的发展是人类心灵的自由创造，而数学最重要的特征是与自然科学的特殊关系。冯·诺伊曼在文中写道：“当一门数学学科远离其经验来源，或者更甚，如果是第二代或第三代，只是间接地受到来自‘现实’的启发，就会面临非常严重的危险。它变得越来越纯粹审美化、为艺术而艺术……无论如何，每当达到这个阶段时，在我看来，唯一的补救措施就是回归本源，恢复活力，重新注入或多或少直接的经验想法。我相信这是保持学科新鲜度和活力的必要条件，在未来同样如此。”半个多世纪以来算子代数理论激动人心的发展，完美诠释了冯·诺伊曼的这一真知灼见。图为冯·诺伊曼在普林斯顿的墓地。
【注】本文刊登于《数学文化》期刊。日前公布的2023年诺贝尔物理学奖得主之一、匈牙利裔科学家克劳斯·费伦茨（Krausz Ferenc）是冯·诺伊曼的校友，他曾在罗兰大学学习理论物理，在布达佩斯科技经济大学学习电气工程。
