春后雨前的博客
兰若生春夏，芊蔚何青青。秋渔荫密树，夜博然明灯。
算子代数是泛函分析中一个重要的研究领域，近几十年以来蓬勃发展，在表示论、微分几何、非交换几何、纽结理论、量子统计力学、量子信息和量子场论中获得广泛应用。算子代数是拓扑向量空间上连续线性算子的代数，特指由可分Hilbert空间上有界线性算子组成的自伴代数，其乘法由算子的复合运算给出。由于空间是无穷维的，因此要求算子代数在一定的拓扑下封闭。通常研究的算子代数包括一致闭的C*-代数和弱闭的冯·诺伊曼代数（或抽象的W*-代数），冯·诺伊曼代数是一类特殊的C*-代数。在现代算子代数理论中，许多概念和理论均起源于冯·诺伊曼（John von Neumann，1903–1957）极具前瞻性的思想和工作。
约翰·冯·诺伊曼原名诺依曼·亚诺什·拉约什（Neumann János Lajos），是出生于匈牙利的犹太裔美籍数学家。冯·诺伊曼是理论计算机科学与博弈论的奠基者，在集合论、泛函分析、遍历理论、算子代数、几何学、拓扑学和数值分析等众多数学领域以及计算机科学、量子力学和经济学中均作出了基础性贡献。他将量子力学最重要的基础严格公理化，被誉为“在纯数学和应用数学方面同样游刃有余的伟大数学家的最后代表”。冯·诺依曼一生中发表了大约150篇论文，本文无法涵盖他的所有成就，仅简单介绍其生平，特别是关于算子理论和算子代数的工作及其现代发展。冯·诺依曼有一句名言： “如果人们不相信数学的简单，只因他们没有意识到人生的复杂。”
从布达佩斯到普林斯顿
1903 年 12 月 28 日，冯·诺依曼出生于布达佩斯一个富裕、不守旧的上层犹太家庭。他是诺依曼·米克萨（Neumann Miksa）和坎恩·玛吉特（Kann Margit）的三个孩子中最大的一个，今年12月28日是他诞生120周年纪念日。匈牙利语属于乌拉尔语系芬兰-乌戈尔语族，在匈牙利语中，姓在前名在后，冯·诺伊曼出生时的名字János Lajos对应于英语中的 John Louis。他的父亲诺伊曼·米克萨是一名银行家，拥有法学博士学位。1913 年诺依曼·米克萨被奥匈帝国皇帝弗朗茨·约瑟夫（Franz Joseph）授予世袭贵族头衔，以表彰他对奥匈帝国的贡献，这样在奥地利和德国他的后代就可以 “冯·诺伊曼”（von Neumann）作为姓氏。
1873-1918年间，布达佩斯与维也纳一起，是当时奥匈帝国的共同首都，冯·诺伊曼在这个城市出生长大。2022年十月，笔者前往布达佩斯，拜谒了冯·诺伊曼故居和他的大学母校。冯·诺伊曼出生时，他的家人住在佩斯犹太区的历史街道——巴托里街（Báthory utca）26号的一套公寓中，他在那里一直住到18岁。这条街是以16世纪后期当选为波兰国王和立陶宛大公的匈牙利贵族后裔伊斯特万·巴托里（István Báthory）的名字命名，冯·诺伊曼故居外墙挂有匈牙利数学会和美国数学会联合建立的纪念牌匾。匈牙利数学会以该国19世纪著名数学家鲍耶·亚诺什（Bolyai János）冠名，他与俄罗斯数学家罗巴切夫斯基同为非欧几何中双曲几何的创始人。
冯·诺伊曼是一个神童，自幼拥有超强的记忆力。他的家庭混合了犹太教和基督教的传统，他少年时代在家中接受私人教师的教育。10岁时冯·诺伊曼进入布达佩斯著名的路德会法索里福音中学读书，数学老师为他开设了特殊课程。18岁起他先后进入柏林大学和苏黎世联邦理工学院学习化学工程，后来又注册为布达佩斯大学数学研究生。在苏黎世期间，冯·诺伊曼与数学教授赫尔曼·外尔和乔治·波利亚合作，将大部分业余时间都花在数学问题上，在每个学期末前往布达佩斯参加数学课程考试。冯·诺伊曼于1925年获得化学工程师文凭，1926年通过数学博士答辩。他的博士论文《一般集合论的公理化结构》是用匈牙利文撰写，发表在德国著名的《数学杂志》上。
博士毕业后，冯·诺伊曼获得洛克菲勒奖学金，前往哥廷根大学，在希尔伯特指导下从事一年博士后研究。1927年，他获得Habilitation“特许任教资格”，先后在柏林大学和汉堡大学担任无薪讲师。冯·诺伊曼以平均每月撰写一篇论文的速度，涉足多个数学领域，他的很多原创思想都可在这一时期找到源头。冯·诺伊曼的名声很快在全世界数学界传播开来，“大多数数学家证明他们能做到的，而冯·诺伊曼则证明他想要的”，这是那个时代数学家中流行的一句话。他于1930年应邀为普林斯顿大学客座教授，一年后转为正式教授。1933年，不满30岁的冯·诺伊曼与爱因斯坦等共六位科学家成为普林斯顿高等研究院最初的终身教授，同年希特勒在德国上台。
在普林斯顿任职期间，冯·诺伊曼继续与欧洲学术界保持密切联系。他每年都要回到欧洲度假，其间两次访问波兰利沃夫学派，直到二战爆发。1928 年，冯·诺伊曼发表了关于零和博弈极大极小定理的论文《客厅博弈论》。后来在维也纳学派的研讨会上，他首次给出了关于一般竞争均衡存在的纯拓扑证明，他的有关多部门经济扩张模型的论文发表在研讨会的论文集上。1930年，冯·诺伊曼与玛丽埃特·科维西（Mariette Koevesi）结婚，育有一女，1937年和平分手，冯·诺伊曼加入美国籍。第二年他迎娶了克拉拉·丹（Klara Dan），冯·诺伊曼为两人的爱犬取了一个数学名字“逆元”（Inverse），第二次婚姻一直持续到他生命的尽头。图片1952年摄于普林斯顿，左二：冯·诺伊曼，左四：爱因斯坦，左五：摩根施特恩。
由于二战期间国际形势的变化，冯·诺伊曼将更多精力投入应用数学，把严格的数学理论用于流体动力学、弹道学、气象学、博弈论和统计学等领域。他参与曼哈顿计划，解决了涉及热核反应和氢弹的核物理学中的关键步骤。在其1928 年的《客厅博弈论》及维也纳研讨会论文的基础之上，冯·诺伊曼与经济学家奥斯卡·摩根施特恩（Oskar Morgenstern）合作撰写了博弈论的奠基之作《博弈论与经济行为》。他还是数字计算机概念发展的关键人物，起草了计算机史上的里程碑文献 “101页报告”，明确规定用二进制代替十进制，成为后来计算机开发的圣经。1957 年2 月 8 日，53 岁的冯·诺伊曼因癌症去世，这个世界失去了最原创、最敏锐、最智慧的大脑。
最高的那一块石碑
冯·诺伊曼的博士母校布达佩斯大学是匈牙利最早的大学，成立于1635年，现名罗兰大学（Eötvös Loránd University）。2003年冯·诺伊曼诞生百年之际，匈牙利信息和新闻传播部、诺依曼·亚诺什计算机科学学会等机构联合在罗兰大学校园里为他竖立了纪念碑。纪念碑由冯·诺伊曼的胸像及刻有图案的高矮不一的四块石碑组成，代表他一生中四个主要的研究领域。从左至右为博弈论、数学、量子力学、理论计算机科学，其中代表数学的石碑是最高的一块，上方刻有希腊字母π。他在晚年提交给美国国家科学院的一份简历中，将量子力学、算子理论、遍历定理列为自己一生中最重要的工作，而这几个领域又是紧密相关的，冯·诺伊曼是极少数能够在数学与物理、科学与人文这几种不同文化之间自由切换的人。
冯·诺伊曼登场的时候，正是数学公理化运动方兴未艾的历史性年代，而第三次数学危机使得将数学建立在朴素集合论基础上的努力遭遇挫折。冯·诺伊曼在19岁时就暗下决心，让数学回归稳固的逻辑基础。他在包括博士论文在内的六篇关于集合论的论文中，区分了 “集”与 “类”的概念，从而避免了诸如“全体集合的集合”这样的逻辑悖论。他提出了当时最简洁优美的集合论公理化系统，证明了超限归纳定义的可能性。1931年，哥德尔在证明其划时代的不完备性定理时用到冯·诺伊曼构建的公理系统。这一系统经完善和简化后成为von Neumann-Bernays-Gödel（NBG）一阶公理化集合理论，被认为是 Zermelo-Fraenkel （ZFC）选择公理的扩展，
20世纪初，希尔伯特和艾哈德·施密特（Erhard Schmidt）在研究积分方程时观察到，两个平方可积函数乘积的积分与欧几里得空间的向量点积具有类似性质。这是最早的无限维Hilbert空间的例子，后来由冯·诺伊曼命名。由于量子力学需求的推动，冯·诺伊曼给出了抽象Hilbert空间的公理化定义，即具有共轭对称性标量积的复向量空间，对应的范数是可分及完备的。他对于Hilbert空间算子的谱理论做了系统的奠基性工作，引入稠定闭算子的概念，给出无界自共轭算子、酉算子和正规算子的谱分解以及正算子的迹表示等结果。冯·诺伊曼的谱理论以及波兰数学家巴拿赫的著作《线性算子理论》（1932），标志着数学领域中一个新的分支——泛函分析的诞生。
在完成了集合论的公理化之后，凭借透过问题表面将复杂性分解为最基本形式的非凡能力，冯·诺伊曼开始进行量子力学的公理化。他将量子系统的状态表示为复Hilbert空间中的向量，位置、动量、能量等可观测量表示为作用于与量子系统相关的Hilbert空间上的线性算子。量子力学因此被转化为Hilbert空间及其线性算子的数学问题，例如，不确定性原理转化为一对共轭算子的非交换性。这一抽象理论为之前海森堡等人的 “矩阵力学”及薛定谔的 “波动力学”提供了自然、严格和统一的框架，即现在所说的Dirac-von Neumann公理。冯·诺伊曼于1932年出版的《量子力学的数学基础》是第一本以数学上合理的方式阐述量子力学的著作，他以Hilbert空间上C*-代数的形式，给出了量子力学的数学表达式。
遍历理论是关于确定性动力系统统计性质的数学分支，冯·诺伊曼应用Hilbert空间的自共轭算子理论，提出并证明了遍历理论的第一个重要定理——平均遍历定理。即对于平方可积函数，时间平均的极限在平均收敛意义下存在，这一定理标志着对遍历理论系统研究的开始。他还与伯纳德·库普曼（Bernard Koopman）合作证明了关于连续谱的混合定理：遍历变换的几何性质与酉算子的谱性质等价。冯·诺伊曼在测度论、拓扑群理论、连续几何等不同数学领域也做出了重要工作，他将经典统计力学中吉布斯熵的概念推广为冯·诺伊曼熵，奠定了量子信息论发展的基石。冯·诺伊曼还开创了量子逻辑的研究领域，他曾设想将量子逻辑作为形式逻辑和概率论的合成。（未完待续）
相关链接：智者的共鸣——波兰数学大师斯坦因豪斯与巴拿赫（下）
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