欧拉三公式

数学史上，欧拉（Leonhard Eule, 1707-1783）是最多产，最传奇的数学家，没有之一。

瑞士的巴塞尔(Basel,  Switzerland), 这座莱茵河畔美丽城市, 曾经孕育过许多数学奇才。300年前，城里有一数学世家，就是伯努利家族(Bernoulli). 伯努利兄弟几人都是鼎鼎大名的世界级数学家。1707年，数学巨匠欧拉也在这里诞生了。

少年的欧拉，聪明勤奋，博闻强记，凡事过目不忘。13岁他进入巴塞尔大学，拜师约翰.伯努利(Johann Bernoulli)门下。16岁硕士毕业。从此，欧拉的研究成果就如“井喷”般一个接一个的出现在世界上。欧拉是幸运的，上帝赐他超人的天赋；欧拉又是不幸的，他青年时就失去一只眼睛，64岁双目失明。然而，无论是青年，中年，还是老年；无论是健全，还是变成盲人；他的成果，源源不断，数量质量，丝毫不减，令人惊叹。鞠躬尽瘁，死而后已，说的正是欧拉。

   这篇科普短文，本人选了欧拉的三个公式。通过它们，一起来欣赏与体会，欧拉出神入化的洞察力，精巧的构思，不拘一格的解决问题的能力，和简洁漂亮的结果。

欧拉第一公式   (Euler's Identity，1748年)      

  e^ix = cos x + i sin x

这里，i 是复数， i²  = -1。

特别地，让  x = π, 那么，上面公式就变为：

   e^iπ +  1 = 0

这公式被称为最漂亮的公式，因为它简单，更因为它给出了世界上最重要的五个数的关系： 0 代表着加法的中心，1代表乘法的中心，i代表着复数的出发点，e 代表着微积分的平衡点，π代表着几何。

我们看看欧拉是怎么发现这公式的：1748年的一天，欧拉玩着下面几个泰勒级数  (Taylor  Series) 

他忽发奇想，在 e^x 的泰勒级数中，把实变量x换成ix 会怎么样呢？ 它变成下面这样子： 

 

整理重组一下，

 

比较上面sinx 和cosx 的泰勒级数，这就得到了欧拉第一公式。

 

欧拉第二公式 （The Basel Problem  1734年）

1644年，一位意大利数学家Mengoli 提了这么一个问题：

  

之后的九十年间，许多世界级数学家尝试解决这个问题，包括微积分发明人之一的莱布尼兹(Leibnitz),  伯努利兄弟们。他们只能计算一些近似值，完全不知道怎样去发现精确解。经过许多次失败，欧拉的师伯贾可比. 伯努利(Jacob Bernoulli)在巴塞尔对数学界恳求：“各位同事，各位高人，如果谁能发现这个问题的解，请告诉我们，将不胜感激。”因此，这个问题称之为巴塞尔问题。

   还真有高人。不是别人，正是“伯家军”新秀欧拉。1734年，28岁的欧拉找到了答案。阅读欧拉的工作，不仅惊讶于结果的精美，更惊讶方法虽巧妙别致却并不复杂，人们不禁会说：“看上去没那么难，我也应该可以做出来，可是为什么就是没有想到呢？”

让我们看看欧拉怎么解决这个问题的吧。重温一下我们在前面见到的泰勒级数：

我们把它看作无穷项的多项式，它的所有零点是：x=0,±π,±2π,±3π,….   根据多项式根与因式分解的关系，有下面的式子：

所以，

比较两边展开式 x³ 的系数，

稍作简化就得到欧拉第二公式。

 

欧拉第三公式   （1737年）

看到这个公式，你们也许以为我笔误了。其实这公式一点都没错。我们先从最简单的无穷几何级数开始：

对它两边求导数，

赋值 x = -1,  那么，

 

 

 

 

 

 

根据 上面公式 (***),   

          

这就得到了欧拉第三公式。

如果你受过严格的数学训练，一定会说：“错了！ x 不可以等于-1，因为级数在那里是发散的。”然而， 欧拉毕竟是欧拉，他知道怎样让思想自由地冲破理论的束缚去发现世界的奥秘。当然，这个公式是可以用严格的数学方法推导证明的，这就要用到欧拉首先发现的著名的欧拉-黎曼(Bernhard Riemann, 1826 – 1866) zeta 函数：

这个函数只在 s>1  时收敛。然而，欧拉将它光滑地延拓到实数轴上，后来黎曼将它延拓到复数平面。延拓后，

这就是上面的欧拉第三公式。

 这古怪的公式到底有什么用呢？物理学玻色子弦理论 (Bosonic  String Theory) 用欧拉第三公式计算出宇宙时空的维数是26  (25维空间加1维时间 )。如果引入超对称(supersymmetry), 时空的维数将减少至10维 (9维空间加1维时间 )。

欧拉的时代已经过去两百多年了。现在，人们关注的是瑞士的达沃斯(Davos), 那里常常政要云集，才俊汇聚，光彩眩目一时。永恒的，却是200多公里外的巴塞尔所飘出的欧拉之气息，激励着一代代探索者。