做一道题目， 学一个公式 （2）

做一道题目， 学一个公式， 每一颗子弹消灭一个敌人！

[问题]： A vertex of a Tetrahedron is called trirectangular if all edges of the vertex are perpendicular to each other. Let ABCD be a tetrahedron with A trirectangular. Area [ABC] = 15, [ACD]=16, [ABD]=240. What is the area of [BCD]?





问题来源：http://groups.wenxuecity.com/groups/bbs.php?act=bbsview&gid=1731&basecode=968444
Picture was drawn by ca981.

[学一个公式] 有类似戈股定理的关系：
[BCD]^2 = [ABC] ^2+  [ACD]^2 + [ABD]^2


公式证明 （by student99 http://groups.wenxuecity.com/groups/bbs.php?act=bbsview&gid=1731&basecode=968444)

发表于: 2013-12-17 09:19:22 [引用]

我想6700417所说的公式可以这样证明： 假设三个面积分别是a, b, c. 那么三个垂直边则分别是：sqrt(2abc)/a, sqrt(2abc)/b, sqrt(2abc)/c. 所以ABCD的体积是sqrt(2abc)/3. 假设A 是原点，三条垂直边分别是x, y, z轴。那么平面BCD 的方程就是：ax + by + cz = sqrt(2abc), 根据点到平面的公式，我们可以求出A 到 BCD 的距离：sqrt(2abc)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2) 由此得出：[BCD] * sqrt(2abc)/sqrt(a^2 + b^2 + c^2 ) * 1/3 = sqrt(2abc)/3. 所以 [BCD]^2 = a^2 + b^2 + c^2 .