明捷数学随谈（3）：张益唐一鸣惊人

《明捷数学随谈（3）：张益唐一鸣惊人》

By 明捷

【八．孪生素数猜想和张益唐】

2013年的一天，海外各华语媒体突然爆出一个新闻，一个叫张益唐的人解决了一个古老的数论难题：孪生素数猜想。论文发表在美国最权威的数学期刊上。张益唐是何方神圣？即使是数学届人士也很少有人听到过这个名字。仔细读一下报道，人们发现这里面有一个曲折的人生故事。

孪生素数猜想是什么时候，由什么人提出的，都不清楚。但其历史比同样著名的哥德巴赫猜想要久远的多。除了1以外，自然数按整除性可分为两类，其中一类数可以被更小一些的数整除，如4可以被2整除，6可以被2和3整除，等等。这一类数被称为合数。另一类数除了自身和1以外，不能被任何其它数整除，称为素数（也称质数），如2，3，5，7等是素数。显然，合数可以表示为若干素数的乘积，如6=2×3，9=3×3，等等。偶数中除了2以外，其它都是合数。而奇数则有可能是素数，也有可能是合数。早在公元前，古希腊的数学家就对素数产生了很大的兴趣。他们发现，随着数字的增大，素数变得越来越稀薄。比如100到200之间的素数比1到100之间的少，而1000到1100之间的素数要少得更多。会不会数字增大到某个值后，素数就消失了呢？如果是这样，自然界的素数是有限的，为稀缺数。公元前300年，著名的希腊数学家欧几里得用反证法，简洁而漂亮地证明了素数有无限多个。

（500以内的素数）

欧几里得首先假定只有n个素数，设为A₁，A₂，…，A_n。将这n个素数乘起来，再加上1，得到A=(A₁×A₂×....×A_n)+1, 显然，这个A比A₁，A₂，…A_n都要大，根据假设，它只能是合数。但另一方面，A显然是个素数，因为它不能被任何一个素数整除。这就说明一开始假设素数为有限个是不对的，因此素数的个数是无限的。

很早的时候，人们就发现，有些素数是成对出现的，每对素数的差为2。例如（3，5），（5，7），（11，13），（17，19）等等。于是人们很自然地想到，像这样相差为2的素数对会不会有无穷多个呢？这就是所谓的孪生素数猜想。和验算哥德巴赫猜想一样，可以一直验算下去，找到很多个这样的素数对，但不能找到无穷多个。因此，这不能算做证明。这其实是所有数论难题中的症结所在，即如何从有限过渡到无穷。欧几里得用反证法轻而易举地解决了素数个数无穷多的命题。然而很多与素数相关的命题却不能这么幸运地得到到证明，必须用到高等数学分析的工具，将离散问题转换为连续问题，从有限过渡到无穷。

张益唐在美国《数学年刊》上发表的文章，证明了存在无穷多个素数对，每对数的间距是有限的，他给出的这个有限的间距为7000万。也许你会说，孪生素数猜想不是说每个素数对间距为2吗？这个7000万相差十万八千里，怎么能说解决了这个问题呢？据行家说，张取得的进展是决定性的，剩下的工作是体力活，将7000万缩减到2只是时间问题。打个比方，你要去探访某座城中的一户人家，这座城的城门在很长时间内都是紧闭的，没人能打开。现在你用一个方法把城门打开了，进了城，离那户人家还有段距离，但走过这段距离是早晚的事。张的文章发表不久，天才数学家陶哲轩很快就将素数对的间距从7000万缩小到1000以内。

张益唐证明孪生素数猜想时，已经58岁了，他当时是新罕布什尔大学的一个讲师。在美国，大学讲师的职位是临时的，只负责教课，没有科研任务。在这之前二十多年，张只在专业期刊上发表过一篇文章，数学界大多数人都没有听说过他的名字。这是怎么回事呢？后来纽约时报刊登了一篇文章，报道了张益唐的故事。其它媒体也作了跟踪报道。有人形容这是一个谦卑的人生故事（a humble life story）。

张益唐出生于1955年。1978年，他考入北京大学数学系。和很多77，78级大学生一样，张当时不是高中应届毕业生，上大学前他在北京当过几年工人。张在大学期间学习成绩一直名列前茅，后来他跟从潘承彪教授读研究生，专业方向是数论。1985年，张益唐赴美，到普渡大学跟从代数学专家莫宗坚教授读博士。代数学不是他的兴趣所在，但张仍然选择研究该领域一个著名的世界难题：雅可比猜想。几年后，张发表论文称他解决了雅可比猜想，但随后被人发现是错的，这个错误追溯到他所引用的莫宗坚的一篇论文，那篇论文被发现是错的。这本来也正常，此前很多证明雅可比猜想的论文都被发现是错的。但莫宗坚对此很恼火，这事导致张在博士毕业后找工作时得不到莫的推荐信。

在美国，博士毕业若想在学术圈找工作，一定需要导师的推荐信。得不到莫的推荐，张到学术界发展的路被堵死了。那段时间正赶上前苏联解体，大批数学家和理论物理学家到美国求发展，有的进了学术界，有的到华尔街搞金融分析。一时间僧多粥少，一职难求。这意味着张益唐的职业生涯还没有开始就结束了。他曾考虑过回国，但因故未能成行。接下来的若干年里，张益唐辗转各州，靠在餐馆，旅店打工谋生。在打工生涯的同时，张在工余时间开始了对孪生素数猜想的研究。由于他博士期间的专业方向不是数论，他得花很多时间补习一些必要的数论知识，了解该领域的最新发展。另外，他对西方古典音乐和文学有着浓厚的兴趣，这些在他落魄的日子里，支撑着他的生活。

张的一些同学和朋友时不时地会给他帮助。一个朋友见他一直未成家，就决定给他介绍一个对象。有一天请他到纽约的一家中餐馆进餐。酒至半酣，一位女服务员走近前来，朋友问他觉得这位女士如何，他说了几句好话。几天后，朋友再次请他吃饭，那位女士也在座，后来就成了他的太太。张在北大的一个师弟后来到新罕布什尔大学数学系做了教授，在这个师弟的引荐下，张谋得了新罕布什尔大学的一个讲师职位，从此有更多的时间从事他的研究。在张致力于孪生素数猜想的那些年期间，美国的一些数论专家曾开过一个研讨会，讨论孪生素数猜想，结果认为，目前解决该猜想的条件还不具备，建议学术界暂缓对该猜想的研究。张益唐没有资格参加这个会议，对会议决定一无所知，这对他其实是件好事，可以埋头继续他的研究。

2012年的圣诞节期间，张益唐到一个朋友家里做客，听说时常有鹿会光顾这家人的后院。一天下午，他独自一人到后院，希望能碰到鹿，同时他仍然想着问题。突然一个想法闪现，他知道问题有望解决了。随后他把这个想法写了下来，完成了一篇论文，寄到权威的《数学年刊》。通常在这个杂志上发表论文需要等两年的时间，但张的论文一个多月后就发表出来了。此后，张益唐要他太太留意一下这段时间的中文媒体。一段时间后，张益唐的名字遍布了海外各大中文媒体。这时他太太对他说，你现在出名了，以后把头发梳整齐点。

在一篇张益唐访谈中看到下面这段对话：

“数学家需要什么天分吗？”

“专注”，“而且，永远不要放弃你的个性”。张益唐说：“也许你面对的东西非常复杂，需要很长时间，但你应能依据直觉挑出重要的部分。”

“你觉得你聪明吗”？

“可能有一点吧。”他回答道。

2013年在台湾接受数学家季理真采访时，张益唐曾这样强调：“勤能补拙。我根本不觉得我这个人有多聪明，但我有足够的勤奋，这是我能说的忠告。”

哈代在他的书里说：“一个数学家可能到60岁时还能胜任，但不要期望他会有原创性想法。”

“这句话可能不适用于我。”张益唐说，“我觉得我仍然富有直觉，我仍然对自己有信心，我仍然还有其他的期许。”“我还有两三个问题要解决，”他说，“素数的有界距离很成功，但我还有别的问题要干。”

“和素数分布同样重要吗？”

“是的，同样重要。”

（照片来自于网络，感谢）