数学诗话

近冰梅—类域论

　By  Xianke ZHANG (张贤科)

      类域论(Class Field Theory)是数学诸理论中,体系最完美的一种.—《数学百科全书》如是说. 她是现代数论的一门极重要理论, 现在已渗透应用到各分枝, 几乎无处不涉及. 此理论由希尔波特(Hilbert)在1900年左右猜测出, 主要由福特汪格勒(Furtwangler), 高木贞治(Takdgi), 阿廷(Artin)至1927年给出证明.但象“类域构作”这样的世纪性大问题,研究还远无尽头,是现代最激烈前沿之一.类域论理论系统深邃,定理异常丰富,初学者短期内不易掌握.我们尝试以诗歌概括其主要定理体系,这样便于学者掌握运用此理论,充分欣赏此理论.

     数域 k 的阿贝尔扩域集{K}是一个格, 它象是枝干交错的一株梅树. k 的伊代尔(或理想)类群 J 的闭子群格{H}是此树的倒影, 二者反向1:1对应, 这倒影对应就是阿廷互反律映射, 它将伊代尔或理想映为伽罗华群中元(Frobenius).—此即类域论基本定理. 由此以诗表类域论如下.

 

 

《近冰梅—类域论》

1980年7月:
 
疏影横斜近冰栽,

枝枝簪雪映照来.

开为杏色偏芬冽,

幽为菊风冠群茝.
 

稀世终久非歧寞.

篱香于兹自主开.

纷纷谁解素宜主,

类群甲群天安排.
 

此诗隐意阐释“类域论”这一现代数学理论

近冰梅—类域论 (数学译文)

      1.域 k 的阿贝尔扩域格{K}(疏影横斜近冰梅),由阿廷映射而与其类群的闭子群格{H}(冰面倒影)之间反向1:1对应. (类域论基本定理)

      2. 整体类域论包含局部类域论: 阿廷映射限制到素除子v-分量(枝枝)则为局部映射,自成一系.

      3. 局部域乘群 (开为杏) 映为分裂群(芬冽). Hv在K分裂. (分裂定理)

      4. 局部单位群Uv (幽维) 映为惯性群. Uv Hv在K不分歧. (分歧定理)

      5. k的希尔波特(希氏)类域定义为k的最大非分歧(终久非歧寞)阿贝尔扩域.(希氏类域)

      6. k的理想到希氏类域(篱香于兹)则均化为主理想. (主理想定理)

      7. 在希氏类域完全分解的(纷纷谁解),恰为k的素、主(素宜主)理想. (分裂定理)

      8. 类群与伽罗华群同构,理论美妙天成. (同构定理)

　　

《近冰梅—类域论》

文学译文:
　
疏影横斜的寒梅哟----

              为何你生长在这,

                            冰池之畔?

虬枝簪雪又戴花哟----

               冰清玉洁的照来,

                           仙姿翩翩!
　
有人说你,

            不过寻常杏花一般----

                   你却偏偏香冽非凡.

　你怀着那,

           傲霜金菊的格调哟----

                 笑冰斗雪众香之冠.

　
世所罕！

         你铁骨凌寒----

              难道会,

                 永遭寂寞和歧见？

纵篱边:

         你暗香弗断----

                  呕碧血,

                     一片丹心报春前！
　
啊,

      报春前,

              看缤纷烂漫谁解悟----

                    俏妆自然宜素淡,

呀,

       宜素淡,

             你如常花开天下先----

                     应是天意常使然