数学与猜想

　　　·曾师傅·

所谓数学猜想就是那些看起来像真的、却又无法证明或反证的数学命题。有名的数学猜想都是由有名的数学家首先提出来的，所以它们的寿命都很长。一个数学猜想如果被证明是真的，它就变成了一个数学定理。反之，一个数学猜想如果被反证了便变成了数学假命题。历史上有很多数学猜想，其中最有名的有如下四大猜想：费马猜想，孪生素数猜想、哥德巴赫猜想、黎曼猜想。它们都出现在 “希尔伯特的23个问题”之中。其中，费马猜想是作为一个在证明猜想过程中不断产生新理论、新方法的典型例证；其它三大猜想都是第八个问题的一个小问题。

（一） 费马猜想

费马猜想是由法国业余数学家费马首先提出的。1637年的一天，费马在校订希腊数学家丢番图的《算术》第II卷第8命题时，突然来了灵感。他赶紧在旁边写道：“方程 x^n + y^n = z^n， 当 n 大于2 时，没有整数解。”他接着写道：“对上述命题，我已发现了一种绝妙的证明，可惜书边太窄了写不下。”

费马去世后，人们找不到他的证明，由此激发起许多数学家的极大兴趣。欧拉、勒让德、高斯、阿贝尔、狄利克雷、柯西等大数学家都跃跃欲试，却都败下阵来。他们有的只能证明该命题对某些特殊的n成立,但谁也无法证明它对所有大于2的n都成立。

300多年来，数学家为证明这个猜想绞尽脑汁、费尽周折，还是不能证明它。不过，对费马猜想的研究却产生了不少重要的数学概念及分支，对数学的发展贡献极大。据说，希尔伯特私下承认自己已经证明了它，但他不想将他的证明公布于世，因为他不想将这只会下蛋的金鸡杀掉。

1908年，德国数学家佛尔夫斯克尔悬赏10万马克以奖励在100年之内第一个证明或反证费马猜想的数学家。一时间，欧洲的数学迷们趋之若鹜，纷纷把“证明”寄给评审委员会，期望凭短短几页的初等证明赢来巨款。评审委员会成员德国数学家兰道为此专门印制了一批明信片，让他的学生填写：“亲爱的先生或女士：您对费马大定理的证明已经收到，现予退回。第一个错误出现在第＿页第＿行。”

数学家就这样缓慢而执着地陪着费马猜想打太极。直到1955年，数学家才验证了当n小于或等于4002时费马猜想是对的。后来，随着电子计算机的飞速发展，数学家证明了当n小于或等于4100万时费马猜想是正确的。即使如此, 费马猜想还是一个猜想。毕竟数学是严谨的科学，再大的数也是有限，有限和无限之差还是无限。

1993年6月23日，英国数学家、美国普林斯顿大学教授安德鲁·怀尔斯在一篇长达一百多页的论文中宣布他已经证明了费马猜想。他的证明用到了很多新的数学理论，包括代数几何中的椭圆曲线和模形式，以及伽罗华理论和Hecke代数等。世界上真正能读懂他这篇论文的不过五、六人。消息不胫而走，人们奔走相告。整个数学界都被震惊了，有人欢欣鼓舞，有人半信半疑，有人目瞪口呆，有人梦断蓝桥。然而，半年之后，怀尔斯突然宣布他的证明有严重缺陷。不过，他并不气馁，而是静下心来补漏洞，于1994年9月20日上午11时彻底圆满地证明了费马猜想。从此，费马猜想变成了费马大定理。

(二) 孪生素数猜想

孪生素数猜想是最古老的数学猜想。它最初是由欧几里得在大约公元前300年提出的。这里，孪生素数指的是间隔为2的一对相邻素数，比如（3， 5）。因为大于 2 的两个相邻素数之间的最小可能间隔是2，所以人们将间隔为2的一对相邻素数称作孪生素数。孪生素数猜想是说存在无穷多对孪生素数。

目前，数学家借助计算机已经找到了两千七百多万对孪生素数，其中最大的孪生素数其位数更是达到了五万多。2004年5月26日，美国数学家Richard Arenstorf 在一篇38页长的论文中宣称自己已经证明了孪生素数猜想。正当国际数学届谨小慎微地等待其他数学家验证他的结果时，Richard突然于一周后宣布他的证明存在一个致命的错误，并将他的论文从一家著名数学杂志中撤走了。孪生素数猜想至今仍然是一个猜想。

（三）哥德巴赫猜想

哥德巴赫猜想是由德国业余数学家哥德巴赫（1690-1764）首先提出的。在1742年6月7日给大数学家欧拉的信中，哥德巴赫提出了如下两个猜想:

1。任何一个不小于6的偶数都可以表示成两个奇素数之和。 2。任何一个不小于9的奇数都可以表示成三个奇素数之和。

显而易见，第二个猜想是第一个猜想的推论。不过，第二个猜想早就被单独证明了。1937年，前苏联著名数学家维诺格拉多夫用“圆法”和他自己创造的“三角和法”证明了充分大的奇数都可表为三个奇素数之和，就是著名的三素数定理。这正是为什么人们常把第一个猜想称为哥德巴赫猜想的缘故。

欧拉在6月30日给哥德巴赫的回信中说：“我相信这两个猜想都是正确的，但却不能证明它们。”从此，哥德巴赫猜想引起了几乎所有数学家的注意。数学王子高斯曾说过：“数论是数学的皇冠，而歌德巴赫猜想则是皇冠上的明珠”。

18至19世纪，对哥德巴赫猜想的研究没有任何实质性的进展。进入20世纪后，人们认识到直接证明哥德巴赫猜想肯定不行，得采取“迂回战术”。人们先考虑将偶数表为两数之和，而每一个数又是若干素数之积。如果把命题“每一个大偶数可以表示成为一个素因子不超过m 个的数和另一个素因子不超过 n 个的数之和” 记着 “m + n”,那么哥德巴赫猜想实质上就是“1 + 1”。这里，大偶数指的是“充分大”的偶数， 用得是极限的概念。由于比“充分大”小的偶数毕竟只有有限多个，它们验证起来也就比较容易。

中国数学家在哥德巴赫猜想的研究方面一直处于世界领先地位。1956年，王元证明了“3 + 4”。第二年，他又先后证明了“3 + 3“ 和“2 + 3”。1962年，潘承洞证明了“1 + 5”，王元则进一步证明了“1 + 4”。

陈景润为哥德巴赫猜想书写了最辉煌的一笔。从1957年起，他着手研究哥德巴赫猜想。他住在一间6平方米的小屋，点着一盏昏暗的煤油灯，手握一支笔，演算一个又一个公式，耗去了一袋又一袋的草稿纸。他饿了就啃一口干馒头，困了就趴在书桌上睡一会。 1966年，他终于攻克了哥德巴赫猜想的“1 + 2”，创造了一个举世震惊的奇迹。他的论文“大偶数表为一个素数与不超过两个素数乘积之和”在国际上被称为“陈氏定理”。不过，陈景润所说的大偶数究竟有多大很难说。王元说大于 10^10000, 陈景润说大于10^100000 ，更有人说大于10^4008600。现在的计算机是无法给出这些“大偶数”和相关的大素数的。

1977年，徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》像春风一样滋润着人们的心田，如旋风般震撼着人们的心灵。哥德巴赫猜想在中国一下子变得家喻户晓，陈景润也一下子变成了尽人皆知的传奇式英雄人物。

陈景润在哥德巴赫猜想所取得的成就至今仍然在世界上遥遥领先。他被誉为“哥德巴赫猜想第一人”，在国际数学界享受着崇高的声誉。1987年和1982年，他先后两次被邀请在国际数学家大会上作45分钟的报告。

陈景润的“1 + 2”将哥德巴赫猜想推进了一大步，离歌德巴赫猜想的“1 ＋ 1”看起来仅一步之遥。然而，要完全攻克它仍然极端困难。有的数学家甚至认为若未发展出新的数学工具，要彻底解决歌德巴赫猜想几乎不可能。

到目前为止，人们借助于高速计算机已经证明了德巴赫猜想的“1 + 1” 对小于1.2 的一千之六次幂 (1后面加18个零)的整数仍然成立。

（四）黎曼猜想

黎曼猜想由德国数学家黎曼首先提出的。它本身比较深奥, 一般人很难搞得懂。1859年，黎曼在研究素数分布的时候先定义了一个叫Riemann zeta 的复变函數F(s)，其定义域为实部大于1的复数，即Re(s) > 1。它是由复函数项组成的无穷级数，其通项为1/n^s。后来，黎曼将这个函数解析延拓到了除简单极点 s = 1 之外的整个复平面。这个延拓后的zeta函数F(s)有两类零点, 一类是负偶数等实零点，称为平凡零点; 另一类是复零点,称为非平凡零点。黎曼猜想就是讲：这些复零点的实部都等于1/2；换句话说：这些复零点都在直线 Re(s) = ? 这条直线（称为临界线）上。

黎曼猜想一出现就受到了国际数学界的极大关注。1914 年， 英国数学家哈代 （Hardy）首先证明了这条临界线上有无穷多个零点。1973年，比利时数学家Pierre Deligne 证明了黎曼猜想在有限域成立。1974年，Levinson 证明了三分之一以上的零点都在这条临界线上。 1989年，Conrey进一步证明了至少有五分之二的零点都在这条临界线上。另一方面，人们通过高速计算机已经证明了前十万亿个零点都在临界线上，而且这条线外至今也没有发现复零点。然而，黎曼猜想现在仍然是一个猜想。

黎曼猜想是素数分布的基础，在其它许多学科也有着广泛的应用。函数论、解析数论、代数数论、代数几何、微分几何、动力系统理论中的很多问题都依赖于黎曼猜想，有的甚至有它们相应的“黎曼猜想”。所以，现代数学界普遍认为黎曼猜想最有实用价值。若黎曼猜想成立，很多问题便会迎刃而解。相反，如果黎曼猜想不成立，数学将面临前所未有的大灾难。首先，素数分布理论将大崩溃。其次，其它那些依赖于黎曼猜想的学科将大崩溃。最后，很多职业数学家将另谋出路。

相对来说，歌德巴赫猜想和孪生素数猜想比较孤立。单纯解决这两个问题的意义不是很大。数学家倾向于在解决黎曼猜想的同时，发现一些新的理论或新的工具，“顺便”解决歌德巴赫猜想和孪生素数猜想。这也就是为什么歌德巴赫猜想在美国没有引起广泛重视的缘故吧。

（五）猜想迷

数学猜想就像鸦片一样吸引着无数的数学迷。很多人都在梦想有朝一日解决某个数学猜想而名满天下。有的人像着魔一样迷恋数学猜想，连走路都会碰到电话杆，最后变成了半痴呆。有人甚至自己提出猜想，像“存在无限多个三胞胎素数”等。然而，一个人若没有陈景润那样的非凡智力和非凡毅力是不可能成功的。世界上真正有能力挑战这些猜想的数学家也就那么几十个，其他大多数人都是在做无用功，甚至在浪费生命。绝大多数数学家对著名的数学猜想有三点共识：（1）它们不存在初等的证明；（2）它们的证明要用到很高深的数学知识；（3）它们的证明过程会很长。

据说，中科院数学所曾经有一段时间几乎每天都能收到证明哥德巴赫猜想的论文手稿，简直像“群众运动”。这些作者大多数没有多少数学基础，他们就像拿着一把锯子和一把刨子造航天飞机一样令人可笑。结果，这些所谓的论文都会被原封不动地扔到垃圾堆里。后来, 杨乐和张广厚不得不联名在“人们日报”发表文章劝广大的数学爱好者实际一些，不要误入歧途、浪费自己的宝贵时间和精力。

笔者以前在国内认识一位大学数学老师。他是一个十足的歌德巴赫猜想迷。他逢人就说陈景润的“1 + 2”证明有误，他简化和改正了陈的证明。他还宣称自己已经证明了“1 + 1”，并说已经将证明“1 + 1” 的文稿分别寄给了陈景润、王元、杨乐、潘承洞等中国数论大家，以及苏联科学院和美国科学院。然而，没有人相信他。最后，他失去了教师的资格，老婆、孩子也离开了他，女生见到他就躲开。

1976年，美国数学家提出了一个准哥德巴赫猜想：“任何一个偶数都可以表示成两个素数之差。”最近，天津大学徐万东教授（WAN-DONGXU）在一篇只有12页长、题为“Every Even Number Can Be Expressed As the Difference of Two Odd Prime Numbers”中声称已经证明了这个准猜想。不过，这篇文章只是发表在“中国科技论文在线”上。有趣的是，作者引用了自己一篇待发表的文章“A new two-dimension sieve method and the proof of Goldbach’s conjecture”。言下之意是他已经证明了歌德巴赫猜呢。

史上最牛的数学猜想迷当数中国民间数学家蒋春暄。他1936年出生在老毛的故乡湘潭，初中尚未毕业便到一家工厂当工人。后来，他花45天自学完高中课程，竟考取了北航，专业是航空仪表制造。在大学期间，他曾试着将复变函数推广到三维空间。文革期间，他到处张贴广告找朋友以交流学习数学的经验。他在一篇数学论文中提到用毛泽东思想创立一门新数学，用来研究相对论和建立亚光速和超光速统一理论。1973年，他偶然听到了费马猜想、孪生素数猜想、哥德巴赫猜想和黎曼猜想，便暗下决心同时向这四大猜想挑战。从此，他利用业余时间刻苦钻研数论。经过30年的奋斗，他自称在数论上已取得举世瞩目的成就，用自己创立的全新的数学方法，解决了世界公认的几大数学难题。

1992年, 他在 《潜科学》上发表了一篇只有短短四页的论文“Fermat’s Marvelous Proofs for Fermat’s last Theorem” 中宣称自己证明了费马猜想。他提供了两个类似的证明，都只有十几行，用的都是初等数学。然而，两个证明都有严重的逻辑错误，都把条件和结论混淆了。

他在另一篇只有13页的论文“Disproofs of Riemann’s Hypothesis” (刊登在2004年第21期的美国数学杂志《代数·群·几何》)中宣称已经解决了世界公认的三大数学难题：（1）否定了黎曼猜想；（2）找到了一个能更本质揭示素数分布规律的函数，从而证明了哥德巴赫猜想；（3）证明了孪生素数猜想。其中，他用了三种不同的办法全盘否定黎曼猜想。他声称Riemann zeta 函數 在临界线上没有任何非平凡零点。这简直是惊天动地的大胆行为，将前人找出的十万亿个零点全部打入了冷宫。然而，有人指出他的论文漏洞百出，他连复数的概念和最基本的极限概念都没有搞懂。首先，他将前提搞错了。他反证的是原始的Riemann zeta 函数，而不是黎曼猜想所指的经解析延拓后的Riemann zeta 函数。事实上，原始的Riemann zeta 函数在Re(s) 小于1 时根本没定义，更谈不上在直线Re（s) = ? 上有零点啦。再则，他还试图比较两个复数的大小呢。

蒋春暄还写了一本专著《桑蒂利iso数论基础——应用于新密码、费马大定理和哥德马赫猜想》。在这本书中，他引入新的数论函数。他宣称能用十多种方法证明哥德巴赫猜想，用三种方法否定黎曼假设，用50种方法证明费马大定理，从中得出的函数可以够人类用万年，为人类进一步认识和改造自然界提供一种非常好的数学工具。

蒋春暄是现代世界数学史上饱受争议的人物。在中国，“蒋春暄现象”被媒体多次讨论。他在中国被完全否定，并被数学界人士视为“危险”人物。他的理论被打为伪科学，一些权威更称蒋春暄的研究成果只是一堆“垃圾纸”，蒋研究数论是一个“想蹬着自行车上月球的人”。国内外一些著名数学刊物因受权威编委的压力，对蒋的投稿，一概退稿。

蒋春暄不屈不饶，将自己的数论文章放在很多和数学毫无关系的网站。他写了一篇短文“Wiles didn’t understand Fermat’s last theorem: ‘a huge joke’”, 嘲笑怀尔斯根本就不理解费马猜想，说他“就像一个妇人戴着先生的礼帽、穿着先生的衣服冒充其先生一样。”他还专门写了一篇檄文“费马大定理证明权之争和微积分发明权之争”，公然打响了和怀尔斯争费马大定理证明权的第一枪， 并将这样的争斗和当年牛顿和莱布尼茨的微积分发明权之争相提并论。这篇檄文以巴斯德的名言“科学没有国界，但科学家有祖国”开始，以普让克的名言“一个新的科学真理不是靠反对者信服和领会它才能获得胜利，而是因为反对者最终死亡和熟悉它的新一代人成长了”结束。

后来，蒋春暄试着将论文寄到了美国，没想到立刻引起了美国强子理论创始人、原哈佛大学物理教授、《代数·群·几何》杂志主编桑蒂利教授（Ruggero Maria Santilli）的高度重视。该杂志不仅连续发表了他的论文，还破例为他出了数论专集。桑蒂利在给蒋春暄的回信中称道：“您是新数理论的领袖”。目前，蒋春暄的所有论文 （Mathematical papers of Chun-Xuan Jiang) 都可在网上免费找到和免费下载。

2002年8月“世界数学家大会”在北京召开。民间不少数学爱好者呼吁中国数学界为蒋春暄的数学成果申请当年的数学“诺贝尔奖”菲尔兹奖。蒋春暄本人也强烈要求在大会上介绍他的“费马大定理证明”被拒绝。

网上对蒋春暄的评论很多。有人说他的证明荒谬可笑，是伪科学， 说他是一个疯子和骗子，其目的是要引起全世界的注意。有人说他的证明是对的，说他是500年才出一个的数学天才。大多数网民都佩服他的毅力，欣赏他的勇气，尊重他的权益，同情他的遭遇。

那么,蒋春暄对孪生素数猜想和哥德巴赫猜想的证明到底对不对呢？ 世界上这么多优秀的数学家和权威机构，难道就没有一种让人信服的说法吗? 如果蒋的证明不正确，为什么像桑蒂利这样的美国名教授都支持他呢? 如果正确，为什么有那么多人反对他呢? 我们这些海外华人有义务、也有条件帮助他。如果他的证明的确有误，我们应该诚恳地向他指出来。反之，我们应该积极宣传他。他要真能解决任一个猜想，足以列为有史以来世界上最伟大的100位数学家之列。他要是一人独自解决了孪生素数猜想和哥德巴赫猜想，足以和牛顿、高斯、柯西、欧拉、费马、希尔伯特、黎曼相提并论，那可是全世界华人的骄傲啊。

（六）猜想之猜想

笔者猜想以后的数学猜想会越来越多、越来越简单。笔者还猜想还会有人继续寻找费马大定理的简单证明，孪生素数猜想和黎曼猜想本世纪都会被攻克，但哥德巴赫猜想将是一个永远的猜想。笔者进一步猜想：

废马昨夜梦如飞, 孪生姐妹梨蔓依。
歌德少年老烦恼, 巴赫老龄少芳菲。