在强强匹配一文中，我们考虑了下面的数学问题：有两个n项实数数列A=(a_1，a_2，。。。，a_n)和B=(b_1，b_2，。。。，b_n)，通过匹配，我们可以形成另一个n项数列C=(a_1*x_1，a_2*x_2，。。。，a_n*x_n)，其中(x_1，x_2，。。。，x_n)是(b_1，b_2，。。。，b_n)的一个排列。总共有n！个不同的排列，从而有n!个不同的n项数列。在这n!个不同的n项数列中，哪一个和最大？也就是，哪一个数列(x_1，x_2，。。。，x_n)能使得和a_1*x_1+a_2*x_2+。。。+a_n*x_n最大？
同理，我们也可以考虑不同的数学问题：有两个n项实数数列A=(a_1，a_2，。。。，a_n)和B=(b_1，b_2，。。。，b_n)，通过匹配，我们可以形成另一个n项数列C(x)=(a_1+x_1，a_2+x_2，。。。，a_n+x_n)，其中(x_1，x_2，。。。，x_n)是(b_1，b_2，。。。，b_n)的一个排列。总共有n！个不同的排列，从而有n!个不同的n项数列。在这n!个不同的n项数列中，哪一个积最大？也就是，哪一个数列(x_1，x_2，。。。，x_n)能使得积(a_1+x_1)*(a_2+x_2)*。。。*(a_n+x_n)最大？
这里的匹配数列由和而成，所以称该问题为和积问题。我们假设各数列的每项都是正实数。
不难证明如下的结果：强强匹配，和积最小；强弱匹配，和积最大。
换言之，如果a_1,a_2,...,a_n和b_1，b_2,...,b_n都按值大小递减排列，则(a_1+b_1,a_2+b_2,...,a_n+b_n)的积最小,(a_1+c_1,a_2+c_2,...,a_n+c_n)的积最大,其中,c_1,c_2,...,c_n是b_1，b_2,...,b_n按值从小到大递增排列,即c_k=b_(n-k+1)。
自然，也可考虑超过两个的n项数列匹配问题。我们依旧有：强强匹配，和积最小。
我们用这个结果，证明算术平均几何平均不等式：(a_1+a_2+...+a_n)/n 不小于(a_1*a_2*...*a_n)^(1/n)，等号仅在a_1=a_2=...=a_n时成立。
证明：考虑n个n项数列(a_1，a_2，。。。，a_n)，其强强匹配为：(a_1+a_1+...+a_1,...,a_n+a_n+...+a_n),有积为n^n(a_1*a_2*...*a_n),
另一匹配为：(a_1+a_2+...+a_n,a_1+a_2+...+a_n,...,a_1+a_2+...+a_n)其积为(a_1+a_2+...+a_n)^n。所以
n^n(a_1*a_2*...*a_n)<=(a_1+a_2+...+a_n)^n，即(a_1*a_2*...*a_n)^(1/n)<=(a_1+a_2+...+a_n)/n。
再看一个例子：如x>=1,y>=1,则(x/y)+(y/x)<=x*y+1/(x*y)。
证明：考虑数列(x,1/x),(y,1/y),它们的强强匹配为(x+y,1/x+1/y),其积为(x+y)(1/x+1/y)。另一匹配为：(x+1/y,y+1/x)其积为(x+1/y)*(y+1/x)。所以(x+y)(1/x+1/y)<=(x+1/y)*(y+1/x)，简化不等式后即为(x/y)+(y/x)<=x*y+1/(x*y)。
这个结果，用前面的强强匹配积和最大也可证明，因为（x*y,1/(x*y)) 是(x,1/x)和（y,1/y)的强强匹配。不难看出，强强匹配和积最小，实际上是强强匹配积和最大的推论，但有些情况下用起来更加顺手。
比如：证明如a,b,c为非负实数，则(a+b)*(b+c)*(c+a)>=8abc。
如何证明？只需注意(a+a,b+b,c+c)是强强匹配，和积最小，其和积为8abc。
