一个数学家能知多少? 今天的数学分为十几个大方向，每个方向又有若干分支，每个分支又都相当复杂，进入其中任何一个领域都要花费三五年的功夫，要像一百年前的 Hilbert 那样通晓数学的所有领域 , 现在可以说是不可能的了。要像更早期的欧拉那样通晓数学和物理更是是天人说梦。 一般来说，数学分为两大部分：基础数学和应用数学。但看看世界上一流的数学大奖项，几乎清一般地颁给了“纯数学”。何况要想在这里再加上一个大部分：“数学史记和数学哲学”那在如今的数学界,更是上不得大多数数学系的殿堂的。 我们来看看这称为基础数学的”纯”数学领域到底有多少分支. 但愿你看了以后能理解数学”家”的痛苦---他们多数穷其一生,也只能在其中一个小小的领域内做一点小小的事情.如果他再钻到那小小的领域里一个小小的难题上--- 而这难题对别人对别的分支来说又没多大的影响和作用,干了一辈子,又无所结果,那才叫冤哪. 好在多数数学”家”只是一位教书匠,主观上不误人子弟,客观上有温饱日子,不会STICK在某一个对老婆孩子来说都极其无聊的”难题”上,也算是人生一大乐事. I.基础数学： 1. 数论：古典数论 解析数论，代数数论，超越数论, 模型/模函数论. ( 陈景润 , 杨乐 , 张广厚 , 王元 ,… 都是做这个领域以及下面的函数论的 ) 2. 函数论： 函数逼近论. 3.代数学： 线性代数 群论, 群表示论, 李群, 李代数, 代数群, 典型群, 同调代数, 代数K理论, Kac-Moody代数, 环论, 域论和多项式, 体, 格, 序结构. 拓扑群 矩阵论 向量代数 张量代数 4. 几何学： ( 整体，局部）微分几何, 代数几何, 流形上的分析, 黎曼流形与洛仑兹流形, 齐性空间与对称空间, 调和映照, 子流形理论, 杨振宁--米尔斯场 纤维丛理论, 辛流形. 凸几何与离散几何, 欧氏几何, 非欧几何, 解析几何 5. 拓扑学： 微分拓扑, 代数拓扑, 低维流形, 同伦论, 奇点与突变理论, 点集拓扑, 同调论, 微分拓扑, 流形和胞腔复形 大范围分析, 复流形 6. 泛函分析：线性非线性泛函分析, 算子理论, 算子代数, 广义函数论, 差分与泛函方程, 变分法，积分变换 积分方程 7. 微分方程：泛函微分方程, 特征与谱理论及其反问题, 定性理论, 常微分方程, 稳定性理论、分支理论,混沌理论, 奇摄动理论, 动力系统, 非线性椭圆(和抛物)方程, 偏微分方程, 微局部分析, 一般偏微分算子理论, 调混合型及其它带奇性的方程, 非线性发展方程和无穷维动力系统. 8. 数学物理：规范场论, 引力场论, 经典力学理论, 电动力学, 量子理论, 孤立子理论. 9. 概率论：马氏过程, 随机过程, 随机分析, 随机场, 鞅论, 极限理论, 平稳过程, 概率论, 统计学; 10. 数理逻辑：递归论(递归过程论, 递归函数论), 模型论, 证明论, 公理集合论, 数理逻辑 范畴论 算法论, 可计算性, 复杂性分析 11. 组合数学：组合论, 图论(代数图论.解析图论), 数据结构, 算法论, 算法分析 12. 数学分析：序列、级数、可求和性微积分 实变函数 抽象测度论 逼近与展开 特殊函数, 复变函数论, 调和分析, Fourier分析 你看了这一大列, 服了吧? 这纯数学就像一片大洋, 你只是这沧海一粟, 当今没有一个数学家敢诳论整个”数学”, 就是这个道理---没有一个人能了解其所有的领域. 一般能兼顾两个方向的就实在了不得了,要是两个领域都接触,那就是熊猫类了----少之又少的希奇动物! 再来看看第二部分 , II.应用数学：
13. 数学边缘学科：系统论; 控制论, 运筹学(包括华老的优选法), 位势论 14。计算数学：偏微分方程数值计算，初边值问题数值解法，非线性微分方程及其数值解法，边值问题数值解法，有限元、边界元数值方法，变分不等式的数值方法，辛几何差分方法，数理方程反问题的数值解法，常微分方程数值解法及其应用，二点边值问题, STIFF问题研究, 奇异性问题, 代数微分方程, 不确定性的数学理论, 分形论, 大型稀疏矩阵求解, 代数特征值及其反问题, 非线性代数方程, 一般线性代数方程组求解, 15。数学算法: 快速算法, 并行计算, 算法分析 16。函数逼近：多元样条, 多元逼近, 曲面拟合, 有理逼近, 散乱数据插值. 你可能会说, 这应用数学原来也是一堆理论. 是的, 不过它强调的是提供一套实用的理论和工具, 没那么”抽象”罢了. 第三大部分, “数学史记和数学哲学”其实是历史最悠久的。读史明人,活跃你的思维，开阔你的视野，启迪你的人生， 成就你的事业，都是大有裨益的。
我老在想，改革开放以来，有四件事推动了中国科学技术的进展，尤其象数学这些纯理科性的方面在中国得以进步。
一是老邓的三个发展纲要:工业发展纲要, 农业发展纲要,和科技发展纲要.(后来又加了国防发展纲要和教育发展纲要)；
二是王梓坤的“科学发现纵横谈“
三是徐迟的“歌德巴赫猜想”
四是全国召开的科学技术大会，老邓说的“科学技术是第一生产力”。
你会发现，两个是政策方面的，两个是“史记,人物,发展史"方面的, 它们的作用是如此的大,决不亚于任何一个"难题"的求解.从而本人一直认为数学史记和数学哲学的教育是极为必要的.只是某些数学"家"没有意识到罢了----当年陈省身在南开所成立时,一再强调读数学史对数学大学生的重要性---知道别人在做什么,是你研究的第一步.---那时候,作为一个"旁听生",我感触良多,一生难忘, 也一生受惠.
我们能知道多少? 连数学家都知之不了多少,何况我们这些泛泛之辈?! 懂一点已经心满意足了.....如有一点点成就, 那更是沾沾自喜,光宗耀祖,甚感荣焉.
数学就像诗歌,没事时,稍有拨弄,也尝尝数学诗的味....
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