公理·逻辑·神·理性（1）

（一）公理 首先抄一段Wikipedia关于公理的陈述： 公理一词源自希腊文axioma，原意是“有价值的思想”。 1、公理是最基本和不证自明(或假定为不证自明)的真理； 2、公理是推定任何其他命题的原始出发点，它本身不能由其他命题演绎而来。 公理不像其他由之推导出来的命题一样可以被证明，其功能在于建构出一个协调并兼容的系统。所以，那种认为公理是可以通过归纳逻辑来证明的看法，是错误的，并且这和科学的可证伪性是不相关的。最能说明问题、也最为大家熟知的就是欧几里德的“平行线公理”：“若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。”通过欧几里德的“平行线公理”可以导出下述命题：通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 欧几里德几何的五条公理中，就是这最后一条的叙述最繁复、最罗嗦——它看上去不象公理，而是一个可以被证明的命题。所以，自从欧氏几何诞生，千百年来有无数的人在努力证明“平行线公理”，但是都以失败告终。一直到高斯、黎曼等数学家登上舞台，才彻底结束了证明“平行线公理”的尝试。黎曼关于平行线的基本假设是：“通过一个不在直线上的点，可以做两条不与该直线相交的直线。”由此开创了黎曼几何，这是非欧几何的开始。数学家证明，非欧几何在逻辑上是自恰的，也就是说和欧氏几何一样，在逻辑上都是正确的，没有矛盾。 说到这里，不能不提提唯心主义的哲学家康德。康德认为这个世界是先天既定的，时间和空间只是人类感知的一种模式，他称之为直觉。康德认为空间来自于人的心智，也就是说，空间是从人的大脑中创造出来的。既然如此，心智就自然接受空间的某些属性，比如直线是两点间最短距离，三角形内角和等于180度等，没有理由不让这个空间是欧氏空间。这促使他坚信：不存在欧氏几何以外的空间（准确点应该是，康德不能构想出别的几何空间）。如果康德能够多注意一下他同时代发展出的非欧几何，估计他就不会这么轻率的得出结论。后世的爱因斯坦开创的广义相对论说明：时空是弯曲的，恰恰可以用黎曼几何来描述。 康德认为欧氏空间是人类思考和感知外部世界的先决条件。我们现在知道，这是错误的。虽然欧氏空间不是我们思考和感知外部世界的先决条件，但是，我们的思维的确是欧式空间的，这又是康德正确的地方。这句话很绕，我可以举个例：我们知道非欧几何是正确的，并且可以用它来描述时空，但是，因为非欧几何是非先验的，所以在你的脑子里构不出非欧几何的图像，比如，你不能想象两条平行线相交是什么情况。这也从一个侧面说明：公理是不可证明的。 这些说明了什么？说明我们的大脑有其局限性，思维不是无限的。有趣的是，如果你假设，通过一个不在直线上的点，可以做三条不与该直线相交的直线。你就又开创了一门几何（大家不用试了，已经有人做了），有N条平行线，就有N门几何，在逻辑上都是自恰的。类似平行线公理的还有康托连续统假设。于是就引出了哥德尔不完备定理。在上世纪六十年代，数学家证明了“平行线公理”、“康托连续统假设”都属于不可判定的命题，既无法证明，也无法证伪。数学家可以按照自己的喜好任意选择，或是进入欧式几何的系统，或是进入非欧几何的系统。 现在我们可以回到对公理的认识了。除了开始的关于公理的那两条定义之外，我们还应该知道，公理系统是可以扩充的。如果扩充的公理系统中，某一条公理属于“不可判定”的命题，那么对其“真”或“非真”的不同选择，可以衍生出两套逻辑上都正确的系统，比如，欧式几何与非欧几何。这样的认识是我们后面讨论的基础。 下一篇：逻辑

[iamcaibird]

用归纳法来证明公理的想法的确是错了。我对相对论的光速不变的假设影响太深以至深以为一切公理可由归纳证明。

[iamcaibird]

"平行线公理”都属于不可判定的命题, 我还真不知道。

[瓦器]

写得很有意思哦，等着看下文。。。