七大数学难题7: BSD猜想(丢番图方程问题)

　 
  难题七： 贝赫-斯维讷通－戴尔猜想 Birch-Swinnerton-Dyer (丢番图方程问题)

从中学起, 我们就会问, 到底有多少组数(x, y, z) 可使x² + y² = z² 不定代数方程成立. 那时不用说, 讲到数, 指的都是整数。

这方程有一个特点，只含未知数的整数次幂，系数也都是整数，这类方程被称为整系数代数多项式方程。公元3世纪，希腊数学家丢番图Diophantus(200？～284？）在他的长篇巨著《算术》(共13卷, 经过1700多年，流传至今的只有六卷)里, 对整系数代数多项式方程进行了大量研究, 后人把整系数代数多项式方程称为丢番图方程（Diophantus Equation）。

对于丢番图方程，数学家感兴趣的是它是否有整数解（或自然数解）。欧几里德证明了x² + y² = z²有整数解,并给出了完全解。然而2x－2y＝1则没有整数解（因为方程的左边为偶数，右边却为奇数）。
对于一般的丢番图方程来说，判断它是否有整数解是件极困难的事，其中最著名的例子就是费马猜想，即xⁿ + yⁿ = zⁿ ,在n＞2时没有非零整数解，直到1995才由Andrew Wils证明。
  
过去, 数学家的研究只针对特定形式的丢番图方程, 看它是否有整数解。有没有办法对一般的丢番图方程是否有整数解进行研究呢？或者，是否可以找到一种普遍的算法，用来判定一个任意的丢番图方程是否有整数解，从而一劳永逸地解决这类问题呢？这便是著名的希尔伯特第十问题。这样的问题在数学上被称为判定问题（Decision Problem），因为它寻求的是对数学命题进行判定的算法。
  
事实上，马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希尔伯特第十问题是不可解的!即，不存在一般的方法来确定该方法是否有一个整数解。
  
当解是一个Abel簇的点时，就是贝赫和斯维讷通－戴尔猜想 : ”有理点的群的大小与一个函数z(s)在点s=1的性态有关。并且，如果z(1)=0成立,那么就存在无限多个有理点(解); 相反，如果z(1)=0不成立,那么只存在有限个有理点(解)。

到了今天, 数学家还是无计可施, 搞不出个所以然来。因此而成为实际难题之一.我们再看看数学家怎么说的, 波奇和斯温纳顿-戴雅猜想(Birch and Swinnerton - Dyer Conjecture)：对有理数域上的任一椭圆曲线, 其L函数在1的化零阶等于此曲线上有理点构成的Abel群的秩。

说的是什么呀? 太艰涩了. 现在的数学总是事先一堆谁都不懂的”定义”,

有理数域::= 就是”所有有理数组成的集合”, (不过这些有理数要满足一些条件, 那是数学家的琐事, 在这我们不管它).
椭圆曲线::= 就是不定方程xⁿ + yⁿ = zⁿ , N=2时的情形.

Abel群的秩.: 群是一种代数结构, 就是一组运算规则; Abel群就是群的一种.

秩: 当群被简化为一个”数”(x)时, 秩就是数x的绝对值|X|; 当群被简化为一个”数组”(x,y, ….,z)时, 秩就是数组(x,y, ….,z)的维数|(x,y, ….,z)|; 当群被简化为一个”矩阵”X时, 秩就是矩阵X的秩|X|; 对一般的群G, 其秩就是秩|G|.
注意到了吧?  xⁿ + yⁿ = zⁿ , 当n>2时, 不就是著名的費馬大定理吗---当n>2时没有整数解(Andrew Wiles已证) ?!, 哪它有什么解呢? 正是一山还比一山高, 那就是 谷山-志村猜想:

[对于一个椭圆曲线, 如果其序列和从模形式得到的序列相同, 该椭圆曲线被叫做”模化的椭圆曲线。谷山-志村定认为: "所有有理数域上的椭圆曲线是”模化的"]。
这一猜想,其实比費馬大定理还大的定理也被Andrew Wiles等一帮人证明了的.….

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1. D. Hilbert’s No.10 Problem “Given a diophantine equation with any number of unknown quantities and with rational integral numerical coefficients: to devise a process according to which it can be determined by a finite number of operations whether the equation is solvable in rational integers.”  D. Hilbert’s No.10 Problem.