完全数

如果一个自然数等于除它自身以外的各个正因子之和，则这个数叫做完全数(Perfect numbers).

　　在自然数里，到底有多少完全数呢?
　　6=1＋2＋3,
　　28=1＋2＋4＋7＋14,
　　496=1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248,
　　8128=1＋2＋4＋8＋16＋32＋64＋127＋254＋508＋1016＋2032＋4064.

　　完全数不多，前八千多个正整数才4个! 物以稀为贵，完全数稀罕.
在1到40000000这么多数里，只有七个完全数，它们是:6，28，496，8128，130816，2096128，33550336.

　　从第四个完全数8128到第七个完全数33550336的发现经过一千多年，这是因为第七个完全数要比第四个完全数大了4100多倍.这可能是历经一千多年才艰难跨出一步的原因.用完满来形容6，28，496，…这一类数很恰当.这种数一方面表现在它稀罕、奇妙，

1). 完全数表现在它的完满，各因数的和不多不少正好等于它自己.
2). 完全数还有一鲜为人知的有趣事实:
π数值取小数点后3位相加恰是第一个完全数6( =1＋4＋1)，
π数值取小数点后7位相加正好等于第2个完全数 28( = 1＋4＋1＋5＋9＋2+6).
居然能有如此的联系，难道不足以令人惊讶吗?

完全数还具有以下的有趣事实：
3).所有已知的完全数，除6以外，其数字和均为1.也就是说，它们的数字反复相加的最终结果等于1.
　　例如: 496
　　4＋9＋6=19,1＋9=10,1＋0=1.

4). 所以完全数都可以表示为2的一些连续整数次幂之和， ( )为整数次幂. 如:
　　6=2(1)＋2(2)，
　　28=2(2)＋2(3)＋2(4),
　　496=2(4)＋2(5)＋2(6)＋2(7)＋2(8),
　　8128=26＋27＋28＋…＋212，
　　33550336=212＋213＋214＋…＋224.

5). 除了6以外，其他完全数可表示为连续奇数的三次方之和，( )为整数次幂.如：
　　28=1(3)＋3(3)，
　　496=1(3)＋3(3)＋5(3)＋7(3),
　　8128=1(3)＋3(3)＋5(3)＋…＋15(3)，
　　33550336=1(3)＋3(3)＋5(3)＋…＋125(3)＋…＋127(3).
　　如此完美的模式，难怪完全数如此的迷人，具有魅力，因此，完全数是极美的数.

6).迄今为止，发现的完全数都是偶数，还没有发现一个奇完全数，但也没有证明奇完全数不存在.

7). 迄今为止，发现的完全数都具有以下的形式：
　　N=2n－1(2n－1)(其中n与2n－1都是素数).

　　事实上，在欧几里得《几何原本》卷九中的最后一个定理，就是关于完全数的，它陈述如下：
　　“如果2n－1是一个素数，则2n－1(2n－1)是一个完全数.”
　　对于n=2，我们得到完全数6.对于n=4，由于24－1不是素数，所以结果不会产生一个完全数，对完全数的探索，古往今来始终困扰着数学家.

　　直到现在还没有人发现一个奇完全数，也没有一个人能够证明奇完全数不存在(这是数论中著名的未解决的问题之一.)

人们认为欧几里得定理的逆命题(“每个完全数有2n－1(2n－1)的形式，这里2n－1是一个素数”)可能成立，但至今没有人能够证明.
瑞士数学家欧拉(Leonard Euler , 1707－1783)证明了所有偶完全数都应当有这样的形式.对完全数的探索一直持续到今天.

　　今天，人们借助于计算机找到了当n=521,607,1279,2203,2281,3217,7090,4253,4423时相应的完全数.
此外，n=9689,9941,11213,19937时也给出了完全数.
你能想像这些完全数有多大. 倒如，1963年，伊利诺斯大学发现了对于n=11213时的完全数，它包含6751个数字，有22425个因子.
至1998年2月，人们知道的完全数共37个.最后一个完全数相应的n=3021377.

　　寻找这种数那么难，却还是有人去寻找，到现在为止也还只发现了37个.为什么去寻找呢?
是因为这种数在现实生活中有什么特别的用途吗?目前确实还没有发现.
是它的奇异和美丽吸引了许多的人.
完全数还有着许多其他的特殊性质.