数论人生
数论是一门学科，也是我的人生。有人把酒论英雄，我用数字描天下。
为什么有的学生大学毕不了业？为什么有的学生连变量代换都不会？这里说的不是有智力缺陷者，也不是先知者。在天才与失智者之间，人的智力有不同层次吗？人的智力到底是由什么决定的？脑袋大小还是处世态度？我是不相什么信智商、情商、钱商的，那只不过是一种度量手段而已，不是决定因素。我见过不少从大学退学的学生了；最近一个亲戚就从多伦多大学退学了，感觉是很挫败，我就想深入地探讨一下。
在2008年左右，我曾经教过他高中数学的学生被Waterloo大学退学了，原因是三门课不及格，其中就有微积分。我的印像是，他的数学还是不错的，在Fermat竞赛中还是本校第一名，而且被Waterloo邀请去参加了数学夏令营。不曾想，一个学期下来，就被退到了一个社区学院！他母亲又找到我，去帮他的微积分。我问他在Waterloo的一个学期做了多少道练习题；他说15份作业（Assignments），每次3-5道题，也就是40多道题。太少了啊，你没有自己做点别的题？想当年我上大一时可是把《吉米多维奇习题集》做完了的，4000多道题目啊！现在的学生是不是太懒了？后来，他第二天有考试，由于事先沟通失误，而我离他有一个多小时的车程，没有来得及给他临时抱佛脚。听到他母亲在电话里哭泣的声音，我的心也是碎了，也不知他最后有没有从College毕业。
还有一个让我印象深刻的学生。在教他三角函数的关联角度的恒等式时，他理解得很快很好的。在Waterloo大学也只是呆了一个学期，就去了Centennial College，再学高中十年级的数学。一年后重新申请York University，还被录取了；可是每个学期开始时，他选上几门课，上一个月，看到成绩不好，立即就Drop掉了；下一学年再如此重复。五、六年下来还在原地踏步！他自己也完全丧失了自信心；父母都劝他别上了，找份工作干干就得了。他母亲又找到我给他上了一次课；我才发现，他根本就理解不了极限的概念！无论怎么解释都没有用。后来，他放弃了。
我那个亲戚是个见到数字就头痛的主，整个高中就连一个方程式都不会写，只是立志当一个翻译；大学上的专业是什么Business Management（我也不知道那是干什么的）。过去两年上的都是网课，还能混过去；本学期突然改成面授了，GPA越来越低，根本不可能毕业，只好主动退学。可人生还是处在学生阶段，也就是学习怎么生活，总得从某个机构拿到个什么毕业证才能有工作的资格；嫁人也得有个合格证啊！总要掌握某种技艺才行。
很多人不会学习，是不是脑子里少根筋？或者说，脑子不知道转弯，不知道换肩（换个角度思考问题）？遇到一个问题，根本就不知道如何下手、如何继续。计算或推理的最重要的过程，就是要搞清楚，下一步是干什么？自适应、自完善系统都知道下一步以及最后一步、未来预期。根据已有信息，预算所有可能的结果，成本与收益，按照最优化原理，决定下一步做什么。机器自动驾驶都能行，智能机器人已在路上横行，人脑怎么会少根弦？
去年我遇到了这么一个学生：无论你给她讲什么东西，她都不置可否；摆出一副什么都知道了的姿态；可是你让她动动手去解决某个具体问题时，却根本不知道如何下手。然后找出各种借口，比如我姐姐都上大学了，这种问题她也不会做；要不就是我将来要干的是别的什么什么，不需要知道这个东东。多年以前还有这么一个学生，我给她讲数学，她在课堂上做物理作业；当我给她上物理课时，她就做数学作业。这是一种什么心态呢？想隐藏自己的无知，还是要展现自己另有所知？
今年4月初，我给一个大一学生上了仅仅两次课就气得撩了挑子。他还有不到两周就要考《线性代数》了，可是很多概念都还没有理解。他母亲（内人的朋友）让我给他补习。要把整门课在三、四次课之内复习完，难度不小。当我问到他任何一个概念时，他一概回答没有学过，声称学校老师从来就没有讲过；当我用别的同义词去重复时，他对其中某一种解释有点印像，但是自己根本就说不上来。我知道加拿大学校里的老师从来不讲概念和法则，近两年上的还都是网课，学生们都是云里雾里。这个学生可能根本就没有好好听课。我第一堂课给他复习向量的概念，每一个名词他都说没有听到过；我问他，你的在校教授是怎么称呼这种变量的，他不知道。四天后，在我给他上第二堂课刚刚开始时，他摆出一副满不在乎的态度，说话的口气很不耐烦；我说了一句：这是我给你上的最后一堂课，免强把矩阵对角化的原理讲完。
我也不知道当时火气怎么那么大。对于虚心的学生，我从来都是不厌其烦；只要学生说一句还不懂，再讲一遍、两遍、十遍都行。有一个学生，比例的概念我给他讲了不下二十遍；还有一个学生，极限的概念我给她讲了三十多遍！在我这里学习微积分的学生，微分的概念得重复至少五十遍。当然，也有重复上百遍都不明白的学生，这可能真的是智力问题了。如何让脑子里多生出几根筋来，我无能为力；如何改变处世态度，也许家长能行。
大学毕不了业的应该是学习的天分不够。
自己笨，但是知道自己笨的人比笨还认为自己比别人聪明的人智商要高。
虽然我们平时一般不会感觉它的存在，但是有些特殊情况下，如果我们仔细，是可以感觉到的，比如：
1）有过车祸经历的人往往有一种经验：在车祸即将发生而还未发生时，感觉世界里的时间走得特别慢。为什么？因为背后的下意识自我在与你的意识自我抢时间。。
2）苹果公司前总裁乔布斯在斯坦福大学毕业典礼给学生的演讲时告诫学生，如果要有出息，就要让自己安静下来，注意倾听自己内心深处的声音。。什么是内心深处的声音？就是下意识自我的声音。如果意识自我糊里糊涂地选择了一个那个下意识自我不同意或不愿意干的方向发展，这个人多半以后做不好。。
3）我们过去都有听说过，说一些数学家久久没有解决一些难题，结果在梦中找到了答案。因为当他们的意识自我睡觉时，他们的下意识自我还在工作。。
4）常言道，怕啥来啥。这种怕的感觉就是来自这个下意识自我的声音，它在告述意识中的自我这件事会发生的。。
5）人们有时会争论灵魂是否存在，其实灵魂很可能就是那个下意识的自我。。
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但离开大学，不需要学微积分的时候，我的生活就马上一帆风顺了。工作里是不需要涉及高度复杂的数学的，如果有数学，也有电脑程序帮你解决。世界上数学不及格的人多着，但那根本不妨碍他们成为成功人士。