Pell方程

Pell方程指的是形如 x^2 – dy^2 = 1的不定方程，其中d是不含平方因数的正整数，也就是一些不同质因数之积；要求正整数解（x, y）。此方程以英国数学家约翰·佩尔命名，它的所有整数解都已求出；但求解过程是由一些大数学家完成的。整数解的存在性，是拉格郎日完成的，用的是实数的有理逼近。

对于任何一个无理数r = sqrt(d)，总存在无穷多对正整数(m, n)，使得 |m – nr| < 1/n。这可以由r的连分数表达式的各个渐近分数得出。由此推出，m + rn < 1/n + 2nr, |m^2 – dn^2| < 1/n (1/n + 2nr) < 1 + 2r. 对于给定的d，比1 + 2sqrt(d)小的非负整数的个数有限，因此，必定存在一个非零整数k，|k| < 1 + 2r，使得 m^2 – dn^2 = k 有无穷多组正整数解 (m, n)。

这其中，必有两组解(m. n) 和 (j, l)，满足 m = j (modk)，n = l (modk)。配平方得，k^2 = (m^2 – dn^2)(j^2 – dl^2) = (mj – dnl)^2 – d(ml – nj)^2，由于mj – dnl 及 ml – nj都能被k整除，令 mj – dnl = kx, ml – jn = ky，则有 x^2 – dy^2 = 1。整数解的存在性证明完毕。

设（a, b）为最小的正整数解。给定任意正整数N, 由 (a + br)^N 的二项式展开，确定两个正整数x, y，使得 x + yr) = (a + br)^N；取共扼可得，x – yr = (a – br)^N，从而有 x^2 – dy^2 = 1。即(x, y)也是Pell方程的解。

再用反整法可以证明，除上述解之外，再无其它解。如若不然，设(x, y)是一组正整数解，那么，必有一个正整数s,使得 (a + br)^s < (x + yr) < (a + br)^(s + 1)，两边除以 (a + br)^s，或者乘以 (a – br)^s，可得 1 < (x + yr)(a – br)^s < a + br。中间的式子做二项展开后，也得到一组正整数解。这与 (a, b) 为最小解相矛盾。

Pell方程的最小解可以通过r = sqrt(d)的连分数展开式得出。在数学中，连分数是被遗忘了的内容；因为它对中学生来说太难，对大学生来说又太简单。但连分数具有很多奇妙的性质，如欧拉数e，圆周率pi，在连分数表示下是有规律的；而且，只有平方根的连分数表示是循环的。在函数逼近论中，连分式逼近必多项式逼近要快得多！

方程x^2 – dy^2 = 1在几何上就是一条双曲线；它的参数方程很容易写出来：x = sec(t)，y = tan(t)/r。对哪些角度t，x和y都是正整数呢？在已知最小正整数解（a, b）的条件下，我们可以用二项式级数展开：

任给一个实参数z, (a + br)^z = a^z (1 + cr)^z，其中，c = b/a < 1/r。我们有

（1 + cr）^z = sigma{zCj (cr)^j: j = 0, 1, 2, …}，其中zCj是二项式系数 z(z – 1)…(z – j+1)/j!. 在和式中分j为偶数与奇数，定义 x = a^z sigma{zCj (cr)^j: j = 0, 2, 4, …}，y = a^z sigma{zCj c^j r ^ (j – 1): j = 1, 3, 5, … }。这些 (x, y)都是Pell方程的解。只有当z为正整数时，x和y为正整数。

由此，三角函数sec(t)，tan(t)/r中的参数t，与这里的指数参数z存在某种对应关系：借助于某个特定的平方根r = sqrt(d)，我们可以把三角式表示为指数式！通过解一个简单的不定方程，我得到了一个重大发现：原来这个世界这么小，一切表现形式都是互相关联的！