硅谷雄风
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正文
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| 分形 —— 故事之外 | ||
| 今天,“分形”的意思、其解析理论及计算方法在数学、 自然科学和工程技术领域里可以说是家喻户晓,因而在这里 无需多费笔墨来加以定义和描述。然而,漂亮的分形到底有 什么实用价值,特别是在电子技术中有什么可能的应用,也 许需要举几个例子来加以诠释。 从分形故事说起 二十世纪六十年代,当时在美国 IBM Thomas J. Watson Research Center 工作的波兰出生法国裔数学家本华 • 曼德波 罗(Bernoit B. Mandelbrot, 1924-2010)探讨了“英国的海岸 线有多长”这个有趣的问题。他注意到,如果用公里作为测 量单位,从几米到几十米的一些曲折地段会被忽略 ;改用米 来做单位,测得的总长度会增加,但一些厘米量级以下的曲 折地段还是不能反映出来 ;进一步,从理论上来说,海边沙 砾的下一个尺度是分子、原子,于是要使用更小数量级的尺 度的话,得到的海岸线总长度就很不一样。因此,长度不是 海岸线的与尺度无关的不变量。这当然只是一个平凡的观察。 但是,平凡的观察加上不平凡的思考,让曼德波罗引进了“分 数维图形”的新概念,建立了今天熟知的分形几何理论。 曼德波罗独具匠心,创造了 fractal 一词。据他自己说, 在 1975 年的一天晚上,他在冥思苦想之余偶然翻开了儿 子的拉丁文字典,看到一个形容词 fractus(“破碎”),其对 应的动词是 frangere(“产生无规则的碎片”)。他马上联想 到具有相同词根的英文名词 fraction(“分数”、“部分”)及 fragment(“碎片”),从而“突然想到”一个新词 fractal。而 在那以前,他一直是用英文单字 fractional 来表示他的分形 思想的。这样,曼德波罗就取拉丁词之头、英文之尾,开始 用 fractal 来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能刻画 的一大类当时被认为是“杂乱无章”的几何图形。这个新词 从此不胫而走,进入了各种语言的字典词典,并将永留世间。 陈关荣 数学文化/第3卷第4期 82 | ||
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图 1 本华 • 曼德波罗(1924-2010)
1967 年,曼德波罗在美国《科学》杂志上发表了题目 为《英国的海岸线有多长?》的一篇划时代标志性论文, 阐述了分形的新思想。1977 年,他又在巴黎出版了一部法 文著作“Les objets fractals: forme, hasard et dimension”,并 于同年在美国出版了其英文版“Fractals: Form, Chance and Dimension”(中译本《分形:形状、机遇和维数》),和“The Fractal Geometry of Nature”(中译本《大自然的分形几何》)。 但是,历史好像也是分形的,相似的事件反复重演。像过去 许多名著的命运一样,曼德波罗这三本书完全没有得到学 术界应有的重视,直到 1982 年他第三本书的第二版出来后, 才受到欧美社会的广泛关注,并迅速形成了“分形热”。此 书后来被分形学界视为“分形学之圣经”。
曼德波罗于 2010 年 10 月 14 日辞世,生前是耶鲁大学 数学系的荣休 Sterling 讲座教授、IBM 荣休院士、1993 年 沃尔夫物理学奖获得者、美国国家科学院院士。
说起来有趣,分形几何学的数学历史从不同角度来说也 同样具有相似性。类似于分形的思想可以追溯到瑞典数学家 Niels F. H. von Koch(1870-1924)。他从一个三角形的“岛”出发, 通过对称性而把它的“海岸线”变成不断向更小尺度层次延 伸的连续曲线,于是其长度也在不断增加并趋向于无穷。
其实,类似于分形几何的历史思想还可以往前追溯。 不妨看一看图 2。“我在看一本科学史书时注意到了这幅图。 书上说这是中世纪、即 13 世纪晚期《圣经》中的一幅插图。 意思是,上帝按照几何学设计了这个世界。我又搜索了一下
图2 中世纪《圣经》中的一幅插图[1]
这 幅 图 ; 一 些 网 站 显 示 为 《 上 帝 计 测 宇 宙 》, 描 绘 了 作 为 宇 宙建筑者的神(1250 年绘制)。”2008 年,时为上海交通大 学数学系本科生的王雄同学在给我的电子邮件中如是说。他 惊叹道,“那幅图的几何,很像一个 Mandelbrot 分形图案! 作为中世纪作品画成这样的效果,已经是非常不错了,很难 想象会是别的什么”。王雄后来成了我的博士研究生,现在 就读于香港城市大学,研究与分形相关的混沌理论。
这里顺便提及,最早把分形几何引进中国的可能是中 科院沈阳金属研究所的龙期威研究员,他曾是中国科学技术 大学教授并任中科院国际材料物理中心主任。他率先把分形 理论应用于金属断裂研究,并培养了把分形方法引入到裂隙 岩体非连续变形、强度和断裂破坏行为研究的一位优秀学 生,也就是四川大学现任校长谢和平院士。
现在回到本文的主题,即分形几何在电子技术中有什 么潜在应用和发展前景?这里只讲两个启发性的例子 :分形 天线和分形电容器。
分形天线
分形天线是一种无线通信用的新概念天线。和传统天 线相比,它在同样面积或体积的条件下具有最大的有效长度 或周长。这种天线具有极端紧凑和多宽频带等特性,非常适 合于 RFID 和移动通讯方面的应用。由于现代通讯工具种类 越来越多,体积也越来越小,因而需要把天线做得很小很小, 而且越小越好。为此目的,把天线的形状做成分形是个好
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主意,因为这可以在同样面积的限制条件下把天线做得很 长,而且还能取代多条天线而同时工作在几个不同频率区 间之中。
把天线阵列设计成分形样子的做法早在 1957 年就出 现了。它是由美国伊利诺伊大学电子工程系教授 Raymond DuHamel 和学生 Dwight Isbell 提出的对数周期阵列(log periodic array)。分形天线阵列与传统天线阵列设计相比, 具有多频和宽频特性,可用于快速计算方向图,可有效地利 用狭小地域来布置庞大的平面阵列,可实现低副瓣设计策 略,等等。两种典型的分形阵列天线是康托(Cantor)集阵 列和维尔斯特拉斯(Weierstrass)线性阵列,目前多用于电 视天线(图 3)。
图 3 分形阵列天线
基于分形结构来设计和优化单个天线的做法始于 1988 年,由波士顿大学教授 Nathan Cohen 首先提出,但相关的 学术论文到了 1995 年才第一次正式发表。一些代表性的分 形天线见图 4。
图 4 一些代表性的分形天线 数学文化/第3卷第4期 84
图 5 有限分形(伪分形)天线
与传统天线相比,分形天线除了在缩小尺寸方面独具 一格之外,还有其他优点,例如 :可以利用其自相似性来增 加工作频带数目和带宽,具有自加载特性而不需要额外的调 谐线圈和电容等元器件或匹配电路来辅助其在宽带工作条 件下达到阻抗匹配,还可以简化电路设计和降低系统造价, 等等。据报道,基于分形设计的天线可以在 UHF(862-928 MHz)频带的无线通信设备中和 GSM+DCS(900MHz 和 1800MHz)双频移动天线系统中得到较好的应用。目前的 研究主要集中在 GSM(900MHz)、PCS(1900MHz)、蓝牙 无线通信系统(2.4GHz)等方面。它不仅可以在个人手提(如 cellular phone 即蜂窝电话)和其他无线移动设备(如无线局 域网中的 laptop 即笔记本电脑、车载天线系统)中得到应用, 还可望用于卫星通信系统和相控阵雷达系统。目前看来,如 果相关的一些技术障碍(如多频道信号之间的相互干涉)能 够取得突破,则分形天线的前景还是颇为诱人的。
图 6 变形材料制造的分形天线
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当然,从数学的角度来看,严格地说这些例子都只是利 用了有限分形、或者称为伪分形(如图 5 所示),因而尚有潜 力可以挖掘。事实上,目前一切还在尝试之中,期待新的进展。
据报道,新近迅猛发展的纳米变形材料(Metamaterials) 和用变形材料制造的天线都充分考虑到有效地利用分形几 何结构(图 6)。
2011 年还有报道说 [2],用密封分形共振器合成的宽带 变形材料可以制造出隐形外套,其原理是可以让光绕过这些 材料而实现传播和折射(图 7)。
图 9 分形电容器设计示意图 [3]
图 10 分形电容器的一个原型 [3]
图 7 用具有分形结构的变形材料制造出隐形外套 [2]
分形电容
分形电容器设计的基本思想和分形天线是一样的。理 论上,前者是在有限的面积内获得无限长的曲线以增加天线 的有效长度,后者则是在有限的体积内获得无限宽的曲面以 增加电容器的储电容量。
研究发现 [3],在传统的电容器中把部分纵向的相反电 极分布改为横向的话可以有效地提高其储电量。如图 8 所示, 中间的电容器结构要比顶层的那个储电量高,而底层的那个 结构的储电量更高。图 9 是根据这个思想设计出来的一个分 形电容器的示意图。图 10 则是分形电容器的一个原型。
把上述分形电容器的设计思想推广到三维是一个数学上 很自然的做法,也适应了实际应用的需求。图 11 介绍了实现 这个想法的几种设计方式。图 12 是分形电容器的一个设计原型。
图11 三维分形电容器的几种设计方式[4]
图12 分形电容器的一个设计原型[5] 分形电容器应用的一个成功试验性例子是由瑞士 Paul
ScherrerInstitute公司研制的分形超级电容器(supercapacitor 数学文化/第3卷第4期 85
图8 增加横向的相反电极数目能有效地提高电容器的储电量[3]
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或 ultracapacitor)[6],被安装在一辆名为 Hy.Power 的燃料驱 动小汽车里,用作汽车爆发加速时的拖动功率补给。2002 年 1 月 16 日,Hy.Power 成功地爬上了位于瑞士 Brig 与意 大利 Domodossola 之间海拔两千多米高的 Simplon 山口(图 13)。这段山路极为陡峭,而且当时山顶气候条件恶劣,同 类型的小汽车只能望山兴叹 [7]。
具体地说,希尔伯特曲线是如图 15 所示来产生的。 初始条件
三维的希尔伯特曲线如图 19 所示,也称为空间填充曲线。 1/4 2/4 3/4 4/4
01
1/16 2/16 3/16 4/16
23
14
第一次迭代
16/16
1, 1
1, 1
0, 0
43
1 2 16
1 2 16
0, 0
第二次迭代 第三次迭代
图 15 希尔伯特曲线的生成
图 13 配有分形电容器的 Hy.Power 汽车爬上 Simplon 山口 [7]
相关的分形数学
说到分形天线和分形电容器的数学思想和原理,还得 从 Peano 曲线(诞生于 1890 年)和希尔伯特(Hilbert)曲 线(诞生于 1891 年)谈起。这两种曲线如图 14 所示。这类 曲线通过反复迭代而不断卷缩并延长。例如,希尔伯特曲线 的第 n 次迭代的长度是 2n - 2-n ,可见其长度趋于无穷。有 趣的是,这些貌似一维的曲线的 Hausdorff 维数是 2 而不是 1, 也就是说它们最终可以充满整个方块。
(a) Peano 曲线
二次迭代后的图形 ;再把分别相应于 H H A B 箭头右方的 4 小块放进 ? H H ? 中便得到在图 15 中第三次迭代后的图
如果使用字母的一种语法表示(Lindenmayer 系统,简 称 L- 系统),则可能更为容易理解和记住迭代的法则:例如, 在图 15 中第一次迭代后得到的图形就是图 16 中的 H 图形 ;
把H变成箭头右方的4小块? H H ?便得到在图15中第 ?? A B ??
H
图 16 用 L- 系统法则生成希尔伯特曲线
图 17 中 T 恤上染印的是迭代五次以后所获得的希尔伯 特曲线图形,而迭代六次以后获得的希尔伯特曲线图形如图 18 所示。
图 17 T 恤上印有迭代 5 次后获得的希尔伯特曲线图
?? A B ?? 形 ;以此类推。
H
H
B
B
C
A
H
A
A
B
B
C
B
H
C
C
(b) 希尔伯特曲线 图 14 平面填充曲线
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C
A
A
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图 18 迭代 6 次以后获得的希尔伯特曲线图形 三维的希尔伯特曲线如图 19 所示,也称为空间填充曲线。
图 19 三维希尔伯特曲线图
结束语
应该说,分形几何在自然界、物理学和工程技术中的 应用还只是初见端倪。
除了大家都已经很熟识的植物枝干叶子构成的分形、 陆地迂回曲折的海岸线形成的分形之外,在人体内血管的分 布和大脑的皱褶等地方(图 20),你都能够看到各种分形或 者类似分形的几何特征。
在显微镜下观察落入溶液中的一颗花粉,你会发现它不 间断的无规则运动(布朗运动)的轨迹是由不同尺度的连续折 线相接而成的。这条曲线的分形维数是 2 而不是 1,因而和希 尔伯特曲线一样,理论上可以逐渐遍历整个游走过的平面区域。
图 21 是 2005 年美国宇航局从国际空间站拍摄到的埃 及境内纳塞尔湖的照片,上面呈现出来纳塞尔湖的水流分支 就有很明显的分形结构。另一幅对我国黄土高原中部山西省 岢岚县所拍摄到的照片(图 22)也有明显的分形结构。
图 20 Purkinje 神经细胞
图 21 埃及纳塞尔湖的航拍照片
图22 中国黄土高原中部山西省岢岚县的航拍照片 数学文化/第3卷第4期 87
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| 参考文献 |
| 1. http://en.wikipedia.org/wiki/File:God_the_Geometer.jpg 2. http://www.fractenna.com/whats/110915.html 3. H. Samavati, A. Hajimiri, A. R. Shahani,G. N. Nasserbakht, and T. H. Lee,“Fractal capacitors,”IEEE J. of Solid-State Circuits, 33(12): 2035-2041, 1998
“RF MEMS fractal capacitors with high self-resonant frequencies,”J. of Microelectromechanical Systems, 21(1): 10- 12, 2012 6. http://ecl.web.psi.ch/supercap/index.html#power 7. F. Gassmann, R. Ko?tz and A. Wokaun,“Supercapacitors boost the fuel cell car,”Europhysics News, 34: 176-180, 2003 |
在物理化学领域中,在某些电化学反应过程里电极附 近沉积的一些固态物质是以不规则的树枝形状向外增长的。 在化学震荡反应、流体力学不稳定性、光学双稳器件动力学 实验和分析中,都可以通过实际测量得到各种分形几何结构 或者通过大型计算得到数据序列的分形维数。在工程技术领 域里,已经出现了图像分析用的分形滤波器(fractal filter), 使用分形编码(fractal coding)的图形分形压缩技术(fractal image compression),等等。
分形在工程技术中的众多应用反过来向数学提出了诸 多新的问题和挑战。以上面谈及的分形电容器为例,在大学 普通物理中介绍过如何来计算简单平板电容器的电容量 :如 图 23 所示,假设两个相距为 d(单位 :米 )的同质电极的 面积均为 A(单位 :平方米 )。在电压差? U(单位 :伏特) 的作用下产生电场 E= ? U / d(单位 :伏特 / 米)。这时,电
图 23 基本平板电容器
容器的电容量 C(单位 :法拉 )及其存储的电能量 J(单位 :
容器的电容量 C(单位 :法拉 )及其存储的电能量 J(单位 :
度 )由下面两式给出 :
C = ε 0 ε r Ad , J = 12 C ( Δ U ) 2
其中ε0=8.85×10-12(单位:法拉/米)是一个基本常数,εr 是两块平板电极之间媒质的介电常数(例如,真空为 1,水 为 8 1 )。
现在,一个显然是十分有用但还没有答案的数学问题 是 :对于上面描述的各种有限分形电容器,如何分别推导出 由该分形几何参数决定的、计算其总电容量的解析表达式? 工程技术人员在等待着数学家们的回答。
如上所述,从数学的角度来看,严格地说前面提到的 所有例子都只是利用了有限分形(伪分形)。容易想象,真 正的分形几何学还有很大的潜力等待开发和挖掘。希望在不 久的将来,随着科学技术的进一步发展和突破,我们能够看 到分形几何获得越来越多、也越来越成功的各种实际应用。
致谢
作者感谢 Maciej Ogorzalek 教授提供了一些相关资料。 文中没有标明出处的图片均从互联网上的无版权网页下载。
作者简介:陈关荣,香港 城市大学电子工程系讲座 教授,IEEE Fellow。
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