闲谈对偶（四）

（昔日斑斓）

在看其它极小极大对偶定理以前，先放松一下，看些比较直观的老古董几何对偶关系。上面这幅画，算是配合一下这里的思古幽情。历史长河上上下下，昔日斑斓，任由今人各取所需。

之所以说是老古董，是以为下面提到的东西确实已是昨日黄花，里面没有多少可研究、有意义的东西了。有人把它们划分成“娱乐数学”，也不无道理。当然，从它们演生出来的其它分枝还是有继续热闹的，比如群论、编码等。

在几何里，多面体是指由一些直线和平面围起来的几何形体。一个多面体是正多面体如果它的每个面都是一个等边形，就象下面的例子。

拿一个正多面体，在它的每个平面的中心画一个点。如果两个平面相邻，有公共的边，就在这两个面的点之间连一条线。这些新的点和线会构造出一个新的多面体（仔细想想，这并不是很显然的事）。这个新多面体就叫原来的多面体的对偶多面体。

这里看一个具体的例子。一个等边四方体，也是一个正六面体。按上面描述的方法，你可以发现正六面体的对偶多面体是一个正八面体。就象下面的图一样，左边是原来的四方体，右边是放大了的它的正八面对偶多面体。

现在，我们画画这个八面体的对偶，也就是做我们在六面体上做过的事，在每个面上画个点，然后每两个相邻面上的点之间画条线。试一试你就会看到，我们又得到一个正六面体。

这当然不是偶然。如果不在乎长度和面积，你在正六面体上看到的就是“正凸多面体”的“对偶的对偶是自身”的对偶关系。

和前面提到的极小极大对偶定理相比，这种正多面体之间的对偶关系直接简单的多，人见人懂，动手试试就可以验证，即使要证明也不会太难，国内的中学生应该都能做得到。所以，这种对偶关系在一个多面体上只能说有趣。

真正有些意思的，是把它的更广泛的命题假设。例如有多少正多面体，都什么样，它们的对偶有是什么，对偶的多面体之间有些什么性质，还有别的类似的对偶关系没有等等。

所以说，数学和哲学常常就那么一线之差。在任何事情上，绝对是要刨根问底的。存在性肯定是第一要挖掘的，有没有一定要搞明白；起源和构成肯定不会放过，一定要看看怎么能构造出来；真伪的判别决不会含糊，要有办法鉴定的清清楚楚。

数学对的美学的崇拜，也决断不差于美术、音乐。凡事追求完美，简练。系统要完整，理论要丰富，形式要漂亮，证明要有节奏、方法要有创新、影响要深远、应用要广泛。。。我想，还是一句话，人做事，没有不求美的。差别，只是形式和认识的不同。

后面，我们走几条不同的路，从不同角度的看看多面体对偶的脸面，以避免盲人摸象的悲剧再演。当然这麻袋里买的瓜，瓤子里说的还是数学这东西也不只是拿来折腾人的，也可以玩味一番。

[cw]

回复Outlier的评论:

是这个dual。英文的Dual是从拉丁文来的，和中文接近可能是巧合把:)

[Outlier]

你说的对偶似乎是英文中的“dual”。Dual graph, max-flow min-cut, point-line duality, etc. 有趣的是中文英文这两个词发音很相似。我不知道是巧合，还是一个利用了另一个？

[旁白]

--数学和哲学常常就那么一线之差!

隽永好文! 值得细细品尝!

新年快乐!