闲笔涂鸦

见猫画虎,听风涂云,品茶梦酒,忙中偷些小乐趣。
个人资料
  • 博客访问:
正文

闲谈对偶(四)

(2008-02-03 09:15:41) 下一个

(昔日斑斓)

在看其它极小极大对偶定理以前,先放松一下,看些比较直观的老古董几何对偶关系。上面这幅画,算是配合一下这里的思古幽情。历史长河上上下下,昔日斑斓,任由今人各取所需。

之所以说是老古董,是以为下面提到的东西确实已是昨日黄花,里面没有多少可研究、有意义的东西了。有人把它们划分成“娱乐数学”,也不无道理。当然,从它们演生出来的其它分枝还是有继续热闹的,比如群论、编码等。

在几何里,多面体是指由一些直线和平面围起来的几何形体。一个多面体是正多面体如果它的每个面都是一个等边形,就象下面的例子。

拿一个正多面体,在它的每个平面的中心画一个点。如果两个平面相邻,有公共的边,就在这两个面的点之间连一条线。这些新的点和线会构造出一个新的多面体(仔细想想,这并不是很显然的事)。这个新多面体就叫原来的多面体的对偶多面体。

这里看一个具体的例子。一个等边四方体,也是一个正六面体。按上面描述的方法,你可以发现正六面体的对偶多面体是一个正八面体。就象下面的图一样,左边是原来的四方体,右边是放大了的它的正八面对偶多面体。

现在,我们画画这个八面体的对偶,也就是做我们在六面体上做过的事,在每个面上画个点,然后每两个相邻面上的点之间画条线。试一试你就会看到,我们又得到一个正六面体。

这当然不是偶然。如果不在乎长度和面积,你在正六面体上看到的就是“正凸多面体”的“对偶的对偶是自身”的对偶关系。

和前面提到的极小极大对偶定理相比,这种正多面体之间的对偶关系直接简单的多,人见人懂,动手试试就可以验证,即使要证明也不会太难,国内的中学生应该都能做得到。所以,这种对偶关系在一个多面体上只能说有趣。

真正有些意思的,是把它的更广泛的命题假设。例如有多少正多面体,都什么样,它们的对偶有是什么,对偶的多面体之间有些什么性质,还有别的类似的对偶关系没有等等。

所以说,数学和哲学常常就那么一线之差。在任何事情上,绝对是要刨根问底的。存在性肯定是第一要挖掘的,有没有一定要搞明白;起源和构成肯定不会放过,一定要看看怎么能构造出来;真伪的判别决不会含糊,要有办法鉴定的清清楚楚。

数学对的美学的崇拜,也决断不差于美术、音乐。凡事追求完美,简练。系统要完整,理论要丰富,形式要漂亮,证明要有节奏、方法要有创新、影响要深远、应用要广泛。。。我想,还是一句话,人做事,没有不求美的。差别,只是形式和认识的不同。

后面,我们走几条不同的路,从不同角度的看看多面体对偶的脸面,以避免盲人摸象的悲剧再演。当然这麻袋里买的瓜,瓤子里说的还是数学这东西也不只是拿来折腾人的,也可以玩味一番。

[ 打印 ]
阅读 ()评论 (3)
评论
cw 回复 悄悄话 回复Outlier的评论:

是这个dual。英文的Dual是从拉丁文来的,和中文接近可能是巧合把:)
Outlier 回复 悄悄话 你说的对偶似乎是英文中的“dual”。Dual graph, max-flow min-cut, point-line duality, etc. 有趣的是中文英文这两个词发音很相似。我不知道是巧合,还是一个利用了另一个?
旁白 回复 悄悄话 --数学和哲学常常就那么一线之差!

隽永好文! 值得细细品尝!

新年快乐!
登录后才可评论.