趣味数学问题------详细解答

趣味数学问题------详细解答（解答由问题提出人Franklinyanger提供）。

 

                                    一(采购经理)

     某酒店集团计划购买大小两种型号空调机各若干台。大型的每台价格823元，

小型的每台价格349元。集团总裁交给采购经理一张100000元的支票，要求不多不少

地恰恰好用尽这100000元购买。问采购经理能购买大小型号空调机各多少台？

                                  

                                      二(水果商分萍果)

      

      水果批发部有一大堆萍果，数目不详。若16个人平均分配，刚好分尽 ，没有

剩余。若15个人或者14个人平分，也刚好分尽，没有剩余。若13个人平分，则刚好

剩下3个。若11个人或者9个人平分，也刚好各剩下3个。问这堆萍果最少有多少个？

 

 

                                       三(海盗分黄金)

         一海盗首领，手下有383名海盗。某日，他们劫得一大箱黄金。

这些黄金统统

是：一寸见方(即1寸X1寸的正方形)的黄金薄片，厚薄，重量和尺寸都完全一样。如

果

将这些黄金薄片，摆在大平板上，一个接一个地拼在一起，恰恰好构成一个大正方

形。

首领为了表示公平，首先让他383位手下平分这些黄金片，手下各人分得相同数目的

黄金片后，刚好余下219片归首领所有。问总共有多少块黄金片？

 

                                         四(装修工分石头）
 

      某装修工程需要大量(1寸X1寸X1寸)的正立方体石头。在材料仓库里，放着一

个由这些小正立方堆砌成的一个相当大的正立方体。有109名工人参加装修工作。他

们全部参加均分这个大正立方体中的石头。各人分得相同数量的石头后，刚好剩下

71块石头。问在这大正立方体中，有多少块(1寸X1寸X1寸)

小正立方体石头？

                                         五
        九十的阶乘（90！）被十的二十三次方去除，余数是多少?
           
              （  各题详细解答 ）
   这是数论中一个大的而且重要的论题（topic or subject).名为不定方程（Diophantine Equations).Our question is a  linear Diophantine Equation,relatively easy.The most famous and most advanced Diophantine Equation is Fermat Last Theorem(FLT):
           x^n+y^n=z^n when n>=3,there are no positive integer solutions.（x^n 是表示x的n次方（幂）
FLT (3-hundred -years-old problem) was be solved finally by Mathematician Andrew Wiles of Princeton University in 1995.
现在回到我们的第一题。assume x is 大空调机的数目，y is 小空调机的数目。问题显然归结为解Diophantine Equation
                              823x+349y=100000     (x, y are positive integers)    （1）
解 这种Diophantine equations的主要思路是：把方程（1）看成是o-xy coordinate system 的一条直线。然后想办法求出它的一个特解（particular solution)，再将方程（1）转化为参数方程（

parametric equation),choose proper integer parameter
即可求出问题的解答。

具体解答过程如下：
because 823 and 349 are relatively primes (mean their 最大公约数等于一）(823,349)=1.therefore there exist two integers a and b,let
                            823a+349b=1
how to find a and b?if the coefficients are smaller,you can guess.but now 823 and 349 are bigger,you must use Euclidean algorithm (欧几里德除法）：
                                                     823=2X349+125
                              

              349=2X125+99
                                            125=1X99+26
                                              99=3X26+21
                                              26=1X21+5
                                              21=4X5+1
                                     

也就是说
                                            -67X823+158X349=1        (2)
现在我要找出Diophantine Equation 823x+349y=100000 的 particular  solution,方程（2）两边X100000
                                             -67X100000X823+158X100000X349=100000
                                            （-6700000）X823+（15800000）X349=100000
即x=-6700000,y=15800000,are a particular solution of equation (1) 如果说买负
6700000台空调机是无实际意义的。因此，必须找方程（1）的正整数解。方法是把方程（1）化成参数方程。因（-6700000，15800000）是直线823x+349y=100000 上一点，利用直
线的slope formular

                                        slope=(y-b)/(x-a)    , (a,b) is a point in the line.

we get                              (y-15800000)/(x-(-6700000))=-823t/349t
我们得到方程（1）的参数方程

                                                   y=-823t+15800000
                                                  

                                                    x=349t-6700000

                                                   let -823t+15800000=0,we get t=19198.05589...

然后select 正整数t,t=19198,we get     y=46

                              

                      x=102
最后答案是：买得大空调机102台，小空调机4 6台。

趣味数学问题第二题解答

  二(水果商分萍果)

      

      水果批发部有一大堆萍果，数目不详。若16个人平均分配，刚好分尽 ，没有

剩余。若15个人或者14个人平分，也刚好分尽，没有剩余。若13个人平分，则刚好

剩下3个。若11个人或者9个人平分，也刚好各剩下3个。问这堆萍果最少有多少个？

 

解答：这是初等数论的典型问题。解同余方程组即可，要用到中国乘余定理（Chinese remainder theorem)
根据题意，假切这堆萍果数是x,then

                              X三O       (mod 16)

                              X三O       (mod 15)
                              X三O       (mod 14)
                              X三3       (mod 13) 
                              X三3       (mod 11)
                              X三3       (mod 9)
解得结果是x=220080,即这堆萍果最少有220080个。