有趣的概率问题 二

二 囚徒的困惑

 

1

 

某监狱关押着甲乙丙三个囚徒。有一天他们被告知：狱方已在他们之间随机抽取一人执行死刑，剩下的两人将被无罪释放。

 

囚徒甲心里忐忑不安，悄悄向看守打听：乙和丙肯定有一人会被释放，能不能告诉他乙和丙当中哪一个会被释放呢？如果乙和丙同时获释，就请看守偷偷以投公平硬币的方式决定说乙或丙释放。

 

看守想了想，回答说：不错，他们当中有人会被释放，但我不能告诉你，因为这对你不利；一旦我告诉了你乙或者丙被释放，你自己被刑罚的可能就从1/3变成了1/2，这对你太不公平了。

 

甲听了迷惑不解。他知道看守所说似是而非，却又不知错在哪里。

 

聪明的读者能帮甲解惑吗？

 

2

 

假如甲是这样问看守的：乙是我的好朋友，请你告诉我，乙会被释放吗？

 

如果看守说：是的，乙的运气不错，要被释放了。

 

在这种情形下，甲受刑罚的概率是多少呢？

 

为方便起见，我们用(A,B,C)表示甲，乙，丙抽到的结果分别为A，Ｂ和C，比如(罚,放,放）就是甲受刑罚，乙和丙释放。这样就有三种可能的结果：(罚,放,放)，(放,罚,放)，(放,放,罚)。

 

现在知道乙释放，就是(罚,放,放)和(放,放,罚)二者之一发生了，而且二者是等可能的，这时甲受刑罚的概率的确变成了1/2，这或许就是看守的想法？

 

但是请注意，这个问题和原来的问题不是一回事。原来问题的答案是乙或丙，现在的答案则是放或罚。

 

3

 

我们用(A,B,C;D)表示甲，乙，丙的结果是A，Ｂ，C以及看守透露的是D释放。这时可能的结果是：(罚,放,放;乙)，(罚,放,放;丙)，(放,罚,放;丙)和(放,放,罚;乙)。

 

假如看守说乙要释放，就意味着可能结果是

(罚,放,放;乙)和(放,放,罚;乙)二者之一。但是现在两者不是等可能的，所以答案不是1/2。

 

(罚,放,放;乙)发生的概率是(1/3)(1/2)=1/6，(放,放,罚;乙)发生的概率是1/3，所以在看守告知乙被释放的条件下，甲受罚的概率是(1/6)/(1/6+1/3)  = 1/3。

 

甲受罚的概率依旧是1/3，并未如看守所说变成了1/2。

 

 

4

 

假定看守已经知道乙将被释放。如果看守不是用扔硬币的方式，而是加进强烈的主观因素，在乙和丙同时获得释放的情况下总说乙释放，这样(罚,放,放;丙)就不可能出现了，于是只有下面三种可能：(罚,放,放;乙)，(放,罚,放;丙)和(放,放,罚;乙)。这时看守说乙释放好像真的表明甲受罚的概率是1/2。

 

这岂不是说乙真能主观改变甲受罚的概率？

 

问题变得很有趣了……