五 两个信封问题
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有两个一模一样的信封,里面都装有现金,其中一封是另一封的两倍。你可以随便选取一个信封,其中的现金是你的奖品。在你还未打开选好的信封之前,问:要不要换成另一个信封?
换,还是不换?
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决定换还是不换,准则只能是另一封信里的钱是否更多。
如何知道另一封信里的钱是否更多?在没有打开信封之前,不可能知道里面有多少钱,那是一个未知数,或者准确一点说,是个随机变量。对待随机变量,我们无法事先知道它的精确值,但有时能算出它的数学期望值。数学期望值,实际上就是我们常用的平均值。如果知道随机变量的概率分布,就可以算出它的数学期望值。比方说,如果随机变量X可以取值a和b,其期望值E(X)就是E(X)=ap+bq,其中p和q分别是X=a和X=b的概率。因为X只取a和b两个值,必定有 p+q=1。粗略地说,如果你不知道随机变量的精确值,往往可以用期望值代用。
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如何计算信封里现金的期望值呢?下面是一段推理,称之为推理一。
1:用A表示所选信封里的现金。
2:A是小钱的概率是1/2,A是大钱的概率也是1/2。
3:用X表示另一封信里的现金,则有p = P(X=2A) = 1/2, q = P(X=A/2) = 1/2。
4:所以X是一个随机变量,其数学期望值为E(X) = (1/2)(2A)+(1/2)(A/2) = (5/4)A。
5:因为E(X) > A,换是合理的选择。
这段推理有问题吗?似乎每一步都合情合理,中规中矩。
假如推理正确无误,那么再问:想不想换回原来的信封?
又该如何是好?
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细想的确有点不对劲,但问题出在哪里呢?
先看第4步。从期望值的计算来看,信封里的现金变成了要么是大钱2A,要么是小钱A/2,大钱小钱之比是4,明显和原题有出入。原题中的大钱小钱之比是2。
第4步的计算来自第3步,所以我们看第3步。第3步说,另一信封里的现金是大钱和小钱的概率各占一半,并无不妥。
再看第2步。有问题吗?
有!
细思极恐,问题就出现在不经意的细节。
不错,A是小钱和大钱的概率的确都是1/2,但大钱和小钱是不同的值,用同一个数A表示容易引起误解,后面的错误就是源于此处。实际上A是一个随机变量,它是大钱和小钱的概率各占1/2。
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我们换一个思路,看下面的推理二。
两个信封,一个里面的现金是B元,另一个是2B元。用Y表示所选信封里的现金数,则Y是一个随机变量。我们有 P(Y = B) = 1/2和P(Y = 2B) = 1/2。这里可以看出,Y是大钱时它的值是2B,Y是小钱时它的值是B,不能简单的用同一值表示。
用X表示另一信封里的现金数,则有 P(X = 2B) = 1/2和P(X = B) = 1/2。所以E(X)=(1/2)(2B) + (1/2)B = (3/2)B。同样,E(Y)=(3/2)B。
两个信封里现金的期望值一模一样,交换不带来任何好处。
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下面的领带问题是一个变种,同样有趣。
情人节过后,两个男人在酒吧见了面,每人都打了一条新领带。甲说:“很高兴见到你,瞧我太太给我买的领带,又便宜又好。” 乙说:“可不是吗,我太太给我的领带更便宜更好。”于是两人顶上嘴了,都宣称自己的太太更加贤惠能干,买的领带更加实惠合适。好在两位都是绅士,决定用打赌的方法解决争端:谁的领带贵就把领带送给对方。
甲心里想:“如果我输了,输的是我的领带,如果赢了,就是赢更贵的领带,输和赢的概率都是1/2,因此期望值总是正数。这个赌只赢不亏。” 于是甲非常高兴。
乙也是同样的想法,自然眉飞色舞。
为什么会这样呢?