2008 (4)
四 也是卡片问题
1
口袋里有三张大小和质地都一样的卡片，其中一张两面皆黑，另外两张都是一面白一面黑。
问题1: 随机抽取一张卡片，并随机选取一面平放在桌面上，发现是黑的，请问另一面也是黑色的概率是多少？
问题2: 随机抽取一张卡片，并有意挑出黑色的一面平放在桌面上，问另一面也是黑色的概率又是多少？
2
问题1的解答：随机抽取一张卡片并随机选出一面是黑色的概率是2/3，随机抽取一张卡片两面都是黑色的概率是1/3。由条件概率公式，另一面也是黑色的概率是(1/3)/(2/3)=1/2。
问题2的解答：随机抽取一张卡片并选出黑色一面的概率是1，随机抽取一张卡片两面都是黑色的概率是1/3。由条件概率公式，另一面也是黑色的概率是(1/3)/1=1/3。
3
两个问题显得平淡无奇，换一种方式表达，也许就有趣多了。不防把这个变种称为硬币问题。
有三个外表一模一样的盒子，其中一个盒子里面有两枚银币，另两个盒子都是一金一银两个硬币。你随意选取一个盒子，里面的硬币是你的奖品。
问题1: 我随机打开一个剩下的盒子，并随机抽取一个硬币，发现是枚银币，你想不想拿你选中的盒子与该盒子交换？
问题2: 我随机打开一个剩下的盒子，并故意拿出一枚银币，你想不想拿你选中的盒子与该盒子交换？
请问，在哪种情形下你应该交换，哪种情形交换没有任何好处？
4
有没有觉得这个卡片问题和Monty Hall 问题惊人的相似？其实这两个问题是等价的。
为什么说这两个问题等价呢？不妨假设幸运观众甲选中的是一号门。让二号门对应卡片的一面，三号门对应卡片的另一面，黑面对应驴，白面对应跑车。这样就建立了两个问题的对应关系。甲挑中了跑车对应卡片两面皆黑，甲挑中了驴则分别对应另外两种卡片的情形。这样，问题2就相当于主持人有意打开一扇有驴的门，然后问甲愿不愿交换。
5
从硬币问题的描述，更容易看出它和Monty Hall问题的相似性。因为每个盒子里都有银币，所以金币才是重中之重。由前面卡片问题2的解答中可知，金币在已打开的盒子里的概率是2/3，自然是该换无疑。
6
再换一个方式提出问题。
同样还是三个外表一模一样的盒子，其中一个盒子里面有两枚银币，另两个盒子都是一金一银两枚硬币。你可以随机抽取一个硬币作为自己的奖品。自然，你得先选定一个盒子，然后从中随机选取一枚硬币。在你刚选盒子，还没有选取硬币之前，我在剩下的两个盒子中随机选取一盒，并且从中有意挑出一枚银币给你看，这时给你两个选项：你可以在你选定的盒子中随机抽取一枚硬币作为奖品，或者在我选趣的盒子中取出剩下的那枚硬币作为奖品，请问哪个选项对你更为有利？
如果Monty Hall 问题以这种方式出现，会不会也让人觉得有违直觉呢？
