一
在浩瀚的太平洋上，有一座孤独的小岛，那里有一个奇怪的部落，部落里有100个居民。他们知道自己眼睛的颜色只可能是红绿蓝中的一种。该部落信奉一种特殊的宗教，不允许知道自己眼睛的确切颜色，也不允许彼此探讨与眼睛颜色有关的话题，更不允许通过照镜子或观察水面等反射物了解自己眼睛的颜色。而且一旦某人知道了自己眼睛的颜色，他就要于当天的正午在部落中心当着所有居民的面拔刀自刎。
岛上居民智商很高，一个个都具有超强的逻辑推理能力。而且一旦通过某种蛛丝马迹推断出自己眼睛的颜色，必然会依从教规于当天正午在部落中心自刎。大家的视力都非常好，没有色盲色弱的问题。
岛上居民们安居乐业，岁月静好，一派祥和。不料有一天风雨交加，吹来了一个到此避风躲雨的外乡人。孤岛鲜有外人到访，岛上居民热情好客，竭尽所能招待了这位不速之客。
在告别酒宴上，客人由衷感谢大家给予的帮助，并且一时兴起，竟忘掉了岛上那条不许探讨眼睛颜色的规矩，当着所有人的面说：“更让我惊讶的是，你们当中居然有红眼睛的人。”这时众人表情错愕，外乡人知道自己失言了，内心愧疚，闷闷不乐离开了他感恩的小岛。
外乡人回想起当时的情景，其实岛上所有人的眼睛都是红色的，只是每个人都不知道自己眼睛的颜色，但都能看到另外99人的眼睛颜色，所以都知道岛上至少有99个红眼睛的人，而自己所说的话并未超出他们所知，丝毫没有给他们提供任何新的信息，因此内疚感减轻了不少。
想不到的是，在客人离开后的第一百天，岛上居民同时都在部落中心自杀了。
这实在出人意料，令人惋惜。外乡人异常悲痛，却始终想不明白其中的原委。
聪明的读者知道为什么吗？外乡人到底有没有提供岛民不知的信息？如果没有，他们为什么会在第一百天同时自杀？
二
这道逻辑题，由于出现在著名数学家陶哲轩的个人博客上而广为人知。在油管上李永乐老师为它做了一个视频，名为“皇帝的新装”，给了一个很好的解释。
我们先弄明白为什么他们会在第一百天的中午一起自杀。为此我们证明下面更一般的命题：
如果红眼睛的人有n个人，其中n是一个不超过一百的正整数，则所有n个红眼睛的人都会在第n天的中午在小岛的部落中心自杀。
证明：n=1时，那唯一的一个红眼人看到的都不是红眼人，当外乡人说有红眼人的时候，知道那个红眼人就是自己，因此第一天的中午就自杀了。
假设命题在n=k时是对的，我们证明命题在n=k+1时也是对的。随便选定一个红眼人，他能看到其他的k个红眼人。假设自己不是红眼人，那么部落里就只有k个红眼人，由归纳法假设，在第k天的中午这k个红眼人就会自杀。但是第k天到来的时候，他期望的事情没有发生，那说明了什么呢？说明自己的假设是错误的。换句话说，自己就是红眼人。于是隔天中午，也就是第k+1天中午他就要自杀了。证毕。
岛上居民确确实实知道他们之间有很多红眼睛的人，却能一直岁月静好，而当外乡人说出似乎没有任何新信息的一句话后，竟然会有如此惨烈的后果，这究竟是为什么？
