数学家的故事 （十七）
23 Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor(1845—1918)
先说说什么是代数数，什么是超越数。
一个数如果是某个整系数多项式方程的根，它就是一个代数数。比如所有的整数，所有的有理数都是代数数。有些无理数也是代数数，比如2和3的平方根，等等。因为它们分别是x^2-2=0和x^2-3=0的根。我们通常能想起来的数大都是代数数。
知道了什么是代数数，什么是超越数也就明了了：凡不是代数数的数就是超越数。
早在十八世纪，大数学家Euler就明确定义了超越数。但一个问题一直困扰着大家，真的有超越数吗？也就是说，会不会所有的实数都是代数数？我们现实中就有类似的问题，比如我们都听说过美人鱼的故事，可是美人鱼真的存在吗？有谁见过真的美人鱼呢？
1844年，法国数学家Joseph Liouville通过巧妙的构造，证明了超越数的存在。换句话说，Liouville精心设计构造了一个数，并证明了这个数不是任何整系数多项式方程的根。
精心设计一个超越数并不简单，证明一个大家都熟知的数是超越数就更难了。比如说，数学中顶顶有名的π和e是超越数吗？
法国数学家Charles Hermite在1873年证明了自然对数的底e是超越数，德国数学家Carl Louis Ferdinand von Lindemann在1882年证明了π是超越数。由于π是超越数，这就间接证明困扰人类两千多年的化圆为方问题为不可能的问题。
顺便提一下，到目前为止，人们知道的超越数并不多。
我们平常能想出来的数大都是代数数，要是有人告诉你，超越数实际上比代数数多得多，几乎所有的实数都是超越数，听起来是不是不可思议？
德国数学家Cantor，就是这样明确告诉我们的。Cantor的全名有点长，写出来就是Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor，于1845年3月3日诞生在俄国的Saint Petersburg，1918年1月6日在德国的Halle过世。
早在古希腊时期，无穷的概念就一直困扰着人们。当时Elea学派的Zeno提出的几个与无穷有关的悖论，让人们对之畏之如虎，不敢轻易触碰。数学王子Gauss就曾说过：“首先，我必须抗议以无穷大作为一个量，这在数学中是不允许的。”
大胆的Cantor首先打破了这个禁忌，公然研究起数学中的无穷大来。
Cantor是集合论的鼻祖，他是从集合论研究开始探讨无穷的。他先定义如何比较两个集合大小或者多少的问题。
人们通常是如何比较多少的呢？比方说你有一群牛，我有一群羊，是你的牛多还是我的羊多？通常都是分别数数你有多少头牛，我有多少只羊，然后再比较两数的大小。Cantor说，还有一种不需数数的办法也可以比较谁多谁少，这就是通过建立一一对应的关系。比如我们就可以用下面的方法来比较是你的牛多还是我的羊多。你牵出一头牛，我拉出一只羊，把它们放在一边，然后你再牵出一头牛，我再拉出一只羊，再把它们放在一边，我们继续这样的操作，直到不能再操作为止，最后只有三种可能：你再没牛可牵，我也无羊可牵；你还有剩下的牛，我却没有剩下的羊了；或者我还有剩下的羊，而你却没牛了。第一种情况，我们在牛和羊之间建立了一一对应的关系，我们说两者数目是一样多的。第二种情况是牛的数目多，第三种情况则是羊的数目多。在第二种情况，是在牛群的真子集和羊群之间建立了一一对应关系，所以说牛比羊多。在最后一种情形，则是在羊群的真子集里和牛群之间建立了一一对应关系，所以是羊的数目多。
Cantor把这种通过建立一一对应关系来比较大小或多少的办法推广到了有无穷多元素的集合上，并得到了很多颠覆人们认知的革命性的成果。对任一个无穷集合A，我们有个相应的基数o(A)。给定两个无穷集合A和B，如何比较它们的基数呢？如果在A和B之间可以建立一一对应的关系，则说它们有相同的基数，就是 o(A)=o(B)。如果在A的一个子集和B之间可以建立一个一一对应关系，则有o(A)>=o(B)。如果在A的一个子集和B之间可以建立一个一一对应关系，但是在A和B之间没有一一对应的关系，则A的基数更大，就是o(A)>o(B)。
我们先来想一下，所有的自然数和所有的偶自然数，哪个更多些呢？
有人会不假思索，斩钉截铁地说，肯定是自然数多呀，因为自然数包含了所有偶自然数啊，所有偶自然数只是所有自然数的一部分。整体大于或多于部分，这可是铁的事实。Cantor说：不，整体大于部分，只是对有限集合成立，对于无限集合，整体是可以等于部分的。或者可以换句话来说，无限集合恰恰是那些可以在整体和局部建立一一对应关系的集合，这也是Dedekind给出的无穷集合的定义。因为我们可以在自然数集合和偶自然数集合之间建立一一对应的关系，所以两者有相同的基数。
说所有自然数和所有偶自然数一样多，还不是太难理解，但要是进一步告诉你，所有的有理数和所有自然数也是一样多，是不是更令人吃惊？
要知道，有理数有个性质，就是它的稠密性：任何两个有理数之间都还有无穷多个有理数。这一性质自然数是没有的，比如在1和2之间就没有别的自然数了，但在1和2之间就有无穷多的有理数。有理数应该多很多才对呀，怎么可能和自然数一样多呢？
Cantor严格证明了它们确实一样多，因为他在两者之间建立了一一对应关系。
那么，是不是所有的无穷集合都有相同的基数呢？不是的。所有的实数组成的集合就有更大的基数。Cantor做了更深入的研究，并给出了无穷集合的进一步划分。就是说，无穷集合是有无穷多个等级的，其中等级最低的就是自然数集合，它的基数取名为阿列夫零，并称之为可数集。他证明了所有的实数集合是不可数的。如果用N表示所有的自然数，R表示所有的实数，则有o(N)
通过无穷集合之间的比较，Cantor证明了一个违反直观的结果：超越数比代数数多得多。和超越数的数目比起来，代数数少得可怜，几乎可以忽略不计。
他是如何证明这样一个诡异的结果的呢？通过非常巧妙非常严格的办法，他证明了所有的代数数是可数的，而所有的超越数是不可数的，因此超越数比代数数多得多。
Cantor的革命性研究，给他带来了意想不到的后果，他为自己树立了不少敌人，他们对他的研究怀有很深的敌意。他曾经的老师Leopold Kronecker 就是最典型的代表。
Cantor从著名的柏林大学毕业。当时的柏林大学有三位标杆型人物：Leopold Kronecker，Karl Weierstrass和Ernst Kummer。Cantor的博士论文就是在Kummer和Weirrstrass的共同指导下完成的。虽然Weierstrass是Cantor坚定的支持者，Kummer对他的研究却不以为然。
Kronecker的名言是：“God made the integers, all else is the work of man”。就是说：“上帝创造了整数，剩下的数都是人为的了。” 他对人为创造的数不以为然，他曾经公开质疑过Lindemann:“你关于π的研究有什么用啊？为什么研究这样无聊的问题？因为无理数根本就不存在。” 可想而知，他对Cantor的研究是多么的厌恶，认为那是离经叛道。为此他尽其所能，给Cantor设置种种障碍。比如阻止Cantor的文章在他控制的杂志上发表，阻止Cantor在柏林找到合适的工作。所以尽管Cantor是一流的数学家，有一流的研究成果，却只能一辈子呆在Halle。他任教的学校是Halle大学，是一所二流大学，而他梦寐以求的大学是柏林大学。
Cantor自然也有朋友。Dedekind就是他的好友之一。他们是1872年在瑞士度假时认识的。两人都是非常有创意的人，英雄所见略同，谈起话来很投机。Dedekind在1872年提出了Dedekind分割，而在同一年，Cantor提出了用收敛的有理数序列来定义无理数，可以说是殊途同归。
1877年，Cantor写信告诉Dedekind，他证明了，一个单位线段上的点和一个单位正方形上的点是一样多的，也和单位立方体里的点一样多。不仅如此，一个单位线段上的点还和任意n维空间中的单位n维体上的点一样多。
这简直叫人惊掉了下巴。连Cantor自己都不得不说：“I see it, but I don't believe it!”
“我看见了，但也无法相信！”
1881年10月，Cantor的同事Heine过世，为了填补他的空缺，Cantor拟了一个名单。当时德国招人的规矩是这样的：一个空缺通常有三个候选人，按一，二，三的优先顺序。先给排名第一位的发邀请，如果他结受了，招聘就结束了。否则就继续给排名第二的发邀请，依次类推。Cantor拟定的名单是：Dedekind，Weber和Mertens。结果三人都没有接受邀请，Cantor只好重拟名单。
Dedekind的拒绝让Cantor很难过。他是多么希望Dedekind能成为同事啊。Halle在数学研究上能够一起探讨的人不多，对Cantor来说，基本上是单打独斗，太孤独了。他想去柏林，可只要Kronecker在，那基本上等于做梦。
他太伤心了，因此断绝了与Dedekind的往来，直到1897年在第一届国际数学家大会上见面后才得以恢复。
在与Dedekind断绝往来后，他与瑞典数学家Mittag-Leffler开始了重要的来往。他后来的很多重要文章，都是发表在Mittag-Leffler的杂志上。关于Mittag-Leffler，有些八卦传闻。比如，诺贝尔奖与数学无缘就是拜他所赐。
前面我们提到过无穷集合的基数。基数最小的就是可数集合，相当于自然数中的0，Cantor称之为阿列夫零。紧跟可数集合后面的集合是哪个集合呢？也就是说，哪个集合能被称之为阿列夫壹呢？是实数集合吗？
Cantor认为应该就是实数集合，这就是著名的连续统猜想。可是他证明不了。他在与Mittag-Leffler的通信中，一会说他证明了连续统猜想，接着下封信又否定了前封信的内容，說是证明了完全相反的结论。他一直这样反反复复，终于在1884年的五月底精神崩溃了，住进了精神病医院。
几周后虽然康复，却再也没有以前的自信。他哪里知道，他所从事的工作，将来会被证明是不可能成功的。换句话说，就是在我们目前的数学体系内，连续统猜想是无法证伪的。既不能证明它是对的，也不能证明它是错的。这也就难怪他老是翻来覆去转圈圈了。
以后的日子，Cantor的毛病老是时断时续，他也就反反复复进出大学里的精神病医院。
1917年6月，他最后一次住进了精神病医院，期间反复请求回家治疗未获批准。
1918年1月6日，伟大的数学家Cantor在孤独中度过了最后的时刻。
