关于称球，我们已经折腾了好多次了，现在作个小结，以便暂时告别这一话题。
如何小结？ 就是用旧文提到的方法，去解下面的问题：
现有39个外表一模一样的球，其中有一个坏球重量不同于其他38个，其它球轻重一致。只允许使用四次天平，如何找出坏球并弄清轻重？
先注意一个事实：如已知坏球是轻或是重，一次便可找出3个球中的坏球，二次便可找出9个球中的坏球。
我们用三种不同的方法解决这一难题。
一 用信息论原理
使用一次天平，就是将感兴趣球的球分为三部分：天平左边，天平右边，和不在天平上，分别用L，R和B表示。所谓用信息论原理，就是在使用天平时，尽量使坏球在三组中的概率相等。
第一次使用天平最为简单，就是三等分39个球为L,R和B三组。将L组放在天平左边，R组放在天平右边，看看结果如何。
1 天平左右平衡
这意味着，坏球在B组的13个球中。从B组中随便取出9个球为B_1组放在天平的左边，从L组中随便取出9个(好)球放在天平的右边。如还左右平衡，说明坏球在B组中剩下的四个球中，如左右不平衡，坏球必在B_1组中并且轻重已知。这两种情况，再用两次天平，可轻易找到坏球和轻重，不赘述。
2 天平左重右轻
这意味着，坏球在L或R这26个球中。虽然有26个球，但我们有额外的信息：如坏球在L中则重，在R中则轻。
第二次如何使用天平？这时有几种不同方法，原理都是一条，就是将26个可能的坏球分为三组，使坏球在三组中的概率尽可能相等。如何做到这一点？从L中取出6个(归入X_1组)放到天平左边，6个(归入X_2组)放到天平右边，再从R中取出3个(归入Y_1组)放到天平左边，3个(归入Y_2组)放到天平右边。还有8个球不在天平上。
第二次称球，仍有三种可能：左右平衡，左重右轻和左轻右重。
第二次称球如左右平衡，则坏球在剩下的8个球中。剩下的8个球，有1个是L组的，余下7个都在R组中。如何两次找到答案？同样有几种办法，我们用法如下。
将R组中的6个球等分为两组，分别放在天平两边。如左右平衡，则坏球必在剩下的两个球中，将其中之一与好球相称便可得到答案。
如左右不平衡，则坏球必在轻的那边，再称一次也可知答案。
第二次称球如左重右轻，则表示坏球要么在X_1中，要么在Y_2中。将X_1中的球等分为二，放在天平两边，如天平左右平衡， 则坏球在Y_2中且轻，再称一次可知答案；如天平左右不平衡，坏球必在重的那边，再称一次也可知答案。
第二次称球如左轻右重，可如法炮制，不赘述。
3 天平左轻右重
可按2如法炮制，不赘述。到此方法一完。
二 用递归方法
所谓递归方法，就是将复杂的问题，划为较简单的问题，并由简单的问题的解答，给出复杂问题的解答。数学归纳法就是如此。
同样，第一次使用天平最为简单，就是三等分39个球为L,R和B三组。将L分为L_1和L_2两小组，L_1有4个球，L_2有9个球。类似，也将R和B分别分为R_1，R_2以及B_1和B_2两小组，R_1和B_1各有4个球，R_2和B_2各有9个球。第二次使用天平如下：
L_1和B_2放天平左边，R_1和L_2放天平右边，B_1和R_2不在天平上。比较两次称球的结果。
如两次结果相同，表示坏球没有挪窝，在L_1，R_1和B_1等12个球之中；如两次结果不同，坏球必在L_2，R_2或B_2三者之一中。
先看两次结果相同的情况，即同为左右平衡，同为左重右轻或同为左轻右重。这时B_2和L_2中的球必为好球，所以第二次使用天平与L_1放天平左边，R_1放天平右边等价。我们已经知道如何用三次天平找到12个球中的坏球和轻重，所以在这种情形，再用两次天平，就可找到坏球并知轻重。
再看两次结果不同的情况。
如第一次左右平衡，则表示坏球在B组中。第二次如左轻右重，坏球必在B_2中且为轻；第二次如左重右轻，则坏球必在B_2中且为重。注意B_2中有9个球，再称两次便可找到坏球并知轻重。
如第一次左轻右重，则表示坏球在L和R中。第二次如左右平衡，坏球必在R_2中且为重；第二次如左重右轻，则坏球必在L_2中且为轻。注意R_2中或L_2均有9个球，再称两次便可找到坏球并知轻重。
如第一次左重右轻可如法炮制，省略不提。
方法二到此完成。
三 用轨迹的办法
用轨迹的办法，就是记住每个球4次都在哪一组。比如说，lrrb就表示某球依次在天平的左边，右边，右边，然后不在天平上。如果该球是好球，轨迹不能告诉我们什么。但如是坏球，就提供了有用的信息。为方便叙说，分别用L，R，B表示左重，右重和左右平衡。 如坏球为重，其结果必为LRRB；为轻则为RLLB。同理，如坏球的轨迹为rllb，其结果也是LRRB或RLLB之一；如坏球为重，其结果必为RLLB，为轻则为LRRB。如lrrb和rllb中只有一个出现，由LRRB或RLLB便可推知坏球轨迹从而找到坏球。由于所述原因，我们称lrrb和rllb为等价轨迹。随便给定一个轨迹，将l和r互换，就得到与之等价的轨迹。
下面列出所有可能的轨迹：
llll, lllr, lllb, llrl, llrr, llrb, llbl, llbr, llbb,
lrll, lrlr, lrlb, lrrl, lrrr, lrrb, lrbl, lrbr, lrbb,
lbll, lblr, lblb, lbrl, lbrr, lbrb, lbbl, lbbr, lbbb,
rlll, rllr, rllb, rlrl, rlrr, rlrb, rlbl, rlbr, rlbb,
rrll, rrlr, rrlb, rrrl, rrrr, rrrb, rrbl, rrbr, rrbb,
rbll, rblr, rblb, rbrl, rbrr, rbrb, rbbl, rbbr, rbbb,
blll, bllr, bllb, blrl, blrr, blrb, blbl, blbr, blbb,
brll, brlr, brlb, brrl, brrr, brrb, brbl, brbr, brbb,
bbll, bblr, bblb, bbrl, bbrr, bbrb, bbbl, bbbr, bbbb
在所列的轨迹中，bbbb表示某球始终不在天平上。不上天平，就无法知轻重，必须排除。同样，我们也排除轨迹llll和rrrr。然后将剩下的轨迹分为39个等价类，给球用1到39中的数标上号，并将每一个球归为一个各不相同的等价类。
1:{lllr,rrrl} 2:{lllb,rrrb} 3:{llrl,rrlr} 4:{llrr,rrll} 5:{llrb,rrlb} 6:{llbl,rrbr} 7:{llbr,rrbl}
8:{llbb,rrbb} 9:{lrll,rlrr} 10:{lrlr,rlrl} 11:{lrlb,rlrb} 12:{lrrl,rllr} 13:{lrrr,rlll} 14:{lrrb,rllb}
15:{lrbl,rlbr}16:{lrbr,rlbl} 17:{lrbb,rlbb} 18:{lbll,rbrr} 19:{lblr,rbrl} 20:{lblb,rbrb} 21:{lbrl,rblr}
22:{lbrr,rbll} 23:{lbrb,rblb} 24:{lbbl,rbbr} 25:{lbbr,rbbl} 26:{lbbb,rbbb} 27:{blll,brrr} 28:{bllr,brrl}
29:{bllb,brrb} 30:{blrl,brlr} 31:{blrr,brll} 32:{blrb,brlb} 33:{blbl,brbr} 34:{blbr,brbl} 35:{blbb,brbb}
36:{bbll,bbrr} 37:{bblr,bbrl} 38:{bblb,bbrb} 39:{bbbl,bbbr}
然后再从每一个等价类中取出一个轨迹，使得每次都有13个l，13个r和13个b。如何作到这一点？因为排除了llll，rrrr和bbbb，每个轨迹都有至少一次变化。定义l->r->b->l为顺时针变化，并将各个等价类中第一次变化为顺时针变化的取出来归为一类，叫重球类。我们的重球类如下：
1:{lllr} 2:{rrrb} 3:{llrl} 4:{llrr} 5:{llrb} 6:{rrbr} 7:{rrbl}
8:{rrbb} 9:{lrll} 10:{lrlr} 11:{lrlb} 12:{lrrl} 13:{lrrr} 14:{lrrb}
15:{lrbl}16:{lrbr} 17:{lrbb} 18:{rbrr} 19:{rbrl} 20:{rbrb} 21:{rblr}
22:{rbll} 23:{rblb} 24:{rbbr} 25:{rbbl} 26:{rbbb} 27:{blll} 28:{bllr}
29:{bllb} 30:{blrl} 31:{blrr} 32:{blrb} 33:{blbl} 34:{blbr} 35:{blbb}
36:{bbll} 37:{bblr} 38:{bblb} 39:{bbbl}
接下来，我们根据重球类轨迹安排称球方案如下：
天平左边 天平右边
----------------------------------------------- -------------------------------------------------
1,3,4,5,9,10,11,12,13,14,15,16,17 2,6,7,8,18,19,20,21,22,23,24,25,26
1,3,4,5,27,28,29,30,31,32,33,34,35 2,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17
1,9,10,11,21,22,23,27,28,29,36,37,38 2,3,4,5,12,13,14,18,19,20,30,31,32
3,7,9,12,15,19,22,25,27,30,33,36,39 1,4,6,10,13,16,18,21,24,28,31,34,37
现在是收获果实的时候了。将四次称球的结果依次记下；并将R变为r，L变为l，B变为b，就得出相对应的轨迹类。轨迹类所对应的球，就是坏球；轨迹如在重球类，坏球为重，否则为轻。
试举两例：
如结果为RRLL，对应轨迹为rrll，对应4号球，不在重球类，所以4号球是坏球并且轻。
再看结果为LRRB,对应轨迹为lrrb，对应14号球，在重球类，所以14号球是坏球并且重。
哈哈，我已经弄糊涂了，头脑还清楚的同学可继续试试其它结果。
