401K的小智力题 -答案兼讨论

401K的小智力题 -答案兼讨论
bayfamily

上小学的时候，应用题老是作什么追击问题。什么一列火车从甲地到乙地，何时追上，何时相撞的傻题目。现在看来，这些根本就不是什么应用题。长大了，一是不开火车，开了火车也是按时刻表走。二是后来在现实世界里，大家都忙着追美女和钞票了，对铁轨没什么兴趣。

写了个401K的追击问题，没想到各位这样捧场。大家洋洋洒洒地讨论了一圈，又是公式，又是假设。看来如今房市低迷，大家对401K的热情很高吗。大家小时候都是好孩子，作应用题留下的后遗症不轻。

题目有点tricky. 我今年比较走远，到今天为止，我的今年回报是12%。这样，我今年401K的增值超过了15K。我当时想，如果我再也不存401K了，每年的增值也会大于15K，而一个新人，最多只能存15K。难道一个新工作的人，就永远追不上我了么？怎么想也有悖直觉，因为我也才工作6年而已，难道年轻人就永远不能赶上？

我草草算了一下，写了个智力题。大家一回复不要紧。晚上我伏案猛算，越算越晕。

我开始和表情版主和黄牛同志犯了同样的错误，给年轻人多了一年的时间，所以得出相同的结论。本想大发一通议论。8.54%是magic number. 因为，巴菲特认为未来股市的长期回报应该在8%左右。而过去历史平均回报是12%。取决于你相信谁的，来决定是否在存401K。

FrontLine，车前草同志的计算很精确。不考虑按月和市场波动的话，年轻人是追不上的。永远差一个”P“。大丫同志，对不起，你说的很对。不愧是带着MBA大脚啊。玉兄的推倒很正确。可惜写晚了，不然还能挽救我的面子。

这个追击问题计算的意义。

1）你现在要是30岁出头，401K存了20几万就差不多了。没必要再多存。大不了比常人晚退休五六年，换来的是未来三十年的投资自由，再也不用存401K了。

2）401K要早存。投资理财要从娃娃抓起。中年以后要慢慢戒掉。

抱歉让各位失望了，都是常识，意义不够伟大。

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附件一：原题

我今年的401K的资产增值部分超过15K。 401K的contribution上限是每年15K。

现在有个年轻人，刚刚开始工作。他每年contribute 401K，最多15K。

是不是可以这样说。我即使以后再也不存401K了。我的资产也永远比他多。因为我的增值比他的contribution还多。

假设：我以后每年回报和今年相同。我和他的投资组合一模一样。
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附件二：计算与评论

抛砖引玉：

现在是T万，每年平均回报是r

年轻人：每年1.5W，每年平均回报是r

n 年后，
阿贝：T*(1+r)^n
年轻人：1.5*(（1+r)^n-1)/r

令 C=（1+r)^n, 这样阿贝有T*C，年轻人有1.5*(C-1)/r

如要 T*C>1.5*(C-1)/r,

则 T*r > 1.5*（C-1）/C

n（年数）和r（平均回报)越大，（C-1）/C 越接近1

就是说，阿贝现有财产×平均回报要接近1.5万，才能超过年轻人

r 是负的就不算了

黄牛：

这么难的题也说简单

假设你401账户今年钱数为X，增长率i, N 年后，你的账户：

X * i**N

年轻人每年contribution 为C, n年后，
C * (1 + i + i**2 + i**3 + ... + i**N)
= C (1 - i ** (N+1)) / (1-i)

当i>1, N->infinity, 年轻人的钱更多。

表版主：

我的答案:

假设投资回报 10% :
你现有15万，每年不再投入，３０年后是261万；
他现有0万，每年投入1.5万，３０年后是271万

假设投资回报 5% :
你现有30万，每年不再投入，３０年后是129万；
他现有0万，每年投入1.5万，３０年后是104万

假设投资回报 15% :
你现有10万，每年不再投入，３０年后是662万；
他现有0万，每年投入1.5万，３０年后是750万

车前草：

我想表情的问题出在她给那个年轻人多了一年的时间.我用微软的Excel来说明
(10%,只列头三年)
0 15
1 1.50 16.50
2 3.15 18.15
3 4.97 19.97
到第30年
30 246.74 261.74

再答BayFamily题目.
表情用的是一种"线性"算法,也就是投资是按严格线性比例增长.在这种情况下年轻人绝无超过BayFamily的可能.

为了简化,可以假定投资的方式不变,比如只是投资SPY,而且忽略分红裂股什么的.
由于BayFamily没有追加资本,可以认为他的SPY股数30年不变.而年轻人随着每年的投资,SPY股数慢慢增加.
如果SPY一年中大部分时间股价低迷,到年底才涨上去,年轻人用同样的钱,必然能买到更多的SPY.这样年轻人就有机会超过BayFamily,虽然SPY每年的增长率相同.

CashLover：

你们之间的差距永远也不会变。
假设把你的401k分成两部分，一部分是你现有的本金，另一部分本金为0。每年你把第一部分的收益15000放入第二部分。
这样，你的第一部分永远都不会变，第二部分和年轻人的401k一模一样，每年有15000的投入。不管过多久，你们之间的差距永远是你第一部分401k中的钱。
这和我的公式计算结果是一样的。