小波分析系列讲座4

总结一下前面所讲的内容思想 任何一个事物都对应着多个描述空间（从不同角度观察），每个描述空间都由自身的特征描述基构成，若这些特征基可以描述出S中不同事物，则称特征基在S中是完备的。若这些特征基两两之间不相关，则称其为正交。当然完备并不要求正交，正交的好处在于每个特征基上描述的信息和其他特征基不相关。从而消除了信息的冗余（部分重复）表示。 --描述空间也称描述域。不同特征基也有不同描述和运算规则。 故此我们可以将事物在A描述空间上的特征转为在B空间（也成变换域）的特征，从而更符合于我们的观察或认知角度。 传统的傅里叶变换即是引入无穷余玄基和正玄基来无穷逼近L2空间中的函数。因余玄基和正玄基的许多优秀性质而被广泛应用。 在图像压缩中，我们就是利用了图像数据的特性，将其转化为符合其特性描述的空间上，从而更好的描述了图像而达到压缩的目的。 而自然图像的数据特性就是其中相邻的象素点的颜色在一个大的概率上相关，否则我们将要看到一片颜色乱变的点。 对此，我们引入图像的频域的描述空间概念，对于大范围内平缓变化的信息，我们称其为低频信息，对于小范围内变化很快的信息，我们称其为高频信息，并将这些信息对应频域上的数值。低频和高频信息完全在于人为，并不一定要有统一形式。 离散傅里叶变换即是这样一种变换。它以变化平缓的波来描述低频信息，以变化快速的波来描述高频信息。因自然图像相关性，故低频信息描述了整体的信息，而高频信息描述了局部细节。由此知，大部分高频信息的值应该在一个较小的范围内，再结合其他特性，进行压缩。 但傅里叶变换存在一些不足。例如，要想取得较好的低频信息，我们需要相对较长的变换窗口，而要想取得较好的高频信息，我们又需要较短的窗口。(非常短窗口的低频信息和非常长窗口的高频信息都几乎没什么很大的意义) , 这样就引起一对矛盾。 小波变换应运而生，为了解决傅里叶变换的不足，它就需要用长窗口来提取低频信息，用短窗口来提取高频信息。那么它是如何做的呢 正如第0节讲到的变换，它就满足了这个要求。它也就是haar小波变换。