正文
如果我们承认Black Scholes的假设，那么所有衍生合同（derviative)的价格，包括Leveraged ETF和Option，必须遵守下面的 Black Scholes 微分方程。
在上面这方程里，V 是衍生和同的价格， S 是原来underlying asset的价格，sigma 是 价格的volatility，r 是利率， t 是时间。为了简单起见，我们假设利率为0，那么这方程就简化为：
dV/dt = -(1/2) * sigma^2 * S^2 * d^2V/dS^2.
注意 dV/dt 就是 theta --- decay，而价格二阶导 d^2V/dS^2 就是 gamma, 于是我们得出：
decay = -0.5 * volatility平方 * 价格平方 * gamma.
这个公式给出了衍生合同decay的标准计算，它是对所有衍生和同，包括leveraged etf和期权，都成立。
在这里特别看一下JNUG, 假设GDXJ的价格是x, JNUG的价格是y, 做为三倍leveraged的etf, 我们有：
dy/y = 3 * dx/x.
解上述简单常微分方程， 我们有 y = C * x^3， 这里 C>0 是一常数。在此我们可以看到 JNUG 的价格和 GDXJ 的价格不是线性关系，而是3次方关系，这就说明 y 对 x 的二阶导是大于 0 的，用 trader 的语言就是 long gamma. 从上面 Black Scholes 公式可以看出 decay 的存在。
一般讲 long gamma 必然要付 decay， 这在理论上是公平的， 但一般散户由于种种原因不能充分利用 gamma 使得 gamma 白白浪费同时要付 decay，这样长期持有leveraged etf变成一个头疼的事。关于如何从期权， leveraged etf种提取 gamma value， 以后有时间再吹吧。
在上面这方程里，V 是衍生和同的价格， S 是原来underlying asset的价格，sigma 是 价格的volatility，r 是利率， t 是时间。为了简单起见，我们假设利率为0，那么这方程就简化为：
dV/dt = -(1/2) * sigma^2 * S^2 * d^2V/dS^2.
注意 dV/dt 就是 theta --- decay，而价格二阶导 d^2V/dS^2 就是 gamma, 于是我们得出：
decay = -0.5 * volatility平方 * 价格平方 * gamma.
这个公式给出了衍生合同decay的标准计算，它是对所有衍生和同，包括leveraged etf和期权，都成立。
在这里特别看一下JNUG, 假设GDXJ的价格是x, JNUG的价格是y, 做为三倍leveraged的etf, 我们有：
dy/y = 3 * dx/x.
解上述简单常微分方程， 我们有 y = C * x^3， 这里 C>0 是一常数。在此我们可以看到 JNUG 的价格和 GDXJ 的价格不是线性关系，而是3次方关系，这就说明 y 对 x 的二阶导是大于 0 的，用 trader 的语言就是 long gamma. 从上面 Black Scholes 公式可以看出 decay 的存在。
一般讲 long gamma 必然要付 decay， 这在理论上是公平的， 但一般散户由于种种原因不能充分利用 gamma 使得 gamma 白白浪费同时要付 decay，这样长期持有leveraged etf变成一个头疼的事。关于如何从期权， leveraged etf种提取 gamma value， 以后有时间再吹吧。
It's NOT ok to hold 3X ETF long. a basic 3X ETF rule.
Short both/Dual and call that Dual-lock.
I hold Dual-lock LT, pay quite high short fees. But profit is also quite good.
好文章!
Just 阳春白雪 曲高和寡