华人家长热点议题之九——美国人的数学很差吗？（续）

那么美国或加拿大人是怎么训练孩子的数学思维的呢？

数学不是一个脱离生活的枯燥学科。我儿子9年级了还在学代数（分式运算），不过我注意到他的许多习题都和生活中的实际问题有关，每解答一题，就明白了一个道理，真正学到了知识，甚至了解了常人无从知晓的科学理论。

某日他问我一道习题，我仔细一看，吓一跳。这不是牛顿的万有引力和爱因斯坦的相对论公式吗？原来老师只是把这个公式介绍给学生，同时讲解了万有引力和相对论的原理，再把和公式上相对应的参数告诉学生让他们对号入座，求出两个星球之间的引力和飞船的速度罢了。

同样是套公式计算，中国学校是枯燥的题海，这里是计算结合科普，学习知识和计算联系相辅相成，学生能很好的领会数学在现实生活中的作用。

另外，学习数学的意义不在于告诉学生已知的所有条件和公式，让学生做‘计算员’，更重要的是培养学生独立解决问题的能力和创造性。比如这样一道典型的应用题：已知游泳池的长、宽、深。另知一台抽水的抽水速度，求抽完游泳池的水需要多长时间。

国内的孩子会根据公式迅速计算出各种不同游泳池的抽水速度，或是其它由同类原理演变的试题，但是必须要有现成的数据。不过这样一来，学生的作用也就是一台计算器了。国外的学校，老师往往拿一个小小的问题来让学生做个长篇project。比如这个游泳池问题吧，老师会提问：怎样知道一台抽水机用多长时间抽完游泳池的水？哪些是最基本的必备条件？如何得到这些数据？做一个报告上来，这么一个“简单”的问题，可能会花费一个星期的时间。

但是，让学生独立找到解决问题的必备条件和方法，才是正真培养数学能力。游泳池的水、池子的长、宽、深、容积以及抽水机的抽水速度等，这些变量之间的联系和逻辑关系应该让学生自己去整理出来。池子的深度用尺量？潜水下去？用竹竿？用细绳吊重物？游泳池的形状如果不是长方体而是拟柱体，或是圆柱体怎么办？如何知道抽水机抽水的速度？说明书上找？做个试验？根据机器的功率换算？所有这

些问题在课堂上讨论，甚至到实地勘察，对学生创造性思维的启迪和解决问题的能力都是极大的促进。花一个星期的时间，写出一个像模像样的研究报告，从实验问题到方案设计和数据收集、计算方法和结论，就是一篇像样的专业论文了。哪怕是最后计算错误，也比在课堂上做一百道计算题的意义不知大多少倍。

下面是另一个更具有典型意义的例子：

国内好像是初二就教三角函数、相似三角形了。老师大概花半节课讲解正弦、余弦、正切、余切定理，然后就让学生大量的做习题，求边，求角，直到公式背得滚瓜烂熟、应用题解得炉火纯青，到高中就可以向微积分迈进了。

有一道比较经典的应用题是这样的： 学校的旗杆在地上的投影长x米，投影末端与旗杆顶端的仰角为xx度，求旗杆的高度。利用正切原理，不用一分钟，这道题就有解了。可是，这道应用题是否真正有应用价值呢？没有，应为那个至关重要的仰角是很难测到的，而学生要等老师把这些必备条件逐一告诉他，才能动手解题。那么，在实际生活中求旗杆的高度是不是有更好的办法呢？别人把解决问题的方法和必要的条件都告诉了你，你才能解决，你最多只能算是个工匠；自己去发现问题，解决问题，才是真正的有用之才。

加拿大的学校要到十年级（高一）才教三角函数。同样的问题，有一个老师是这么教的。

老师把全班学生带到操场上，指着旗杆说：今天我们要精确地测量出这个旗杆的高度。大家分成三组讨论，我们选出最好的解决办法！

于是，学生们开始Brainstorming (不知道用中文怎么表达这个词)。

有人说，我爬上去！带一根绳子……。“很勇敢！但是有危险，暂不采纳。”

有人说，我在升旗的绳子上做一个记号，拉上去，再拉下来，就可以量出高度了。

“好主意！可是绳子并不到旗杆的顶端，还不能达到精确的目的。”

有人说，对了，用刚学过的三角函数，只要量出仰角，就能得出旗杆高度了！

“很好！我们看到探寻真理的目标了，可是怎样才能测得这个仰角呢？”

Brainstorming 又开始了……

又有人说，我去找一根棍子，垂直插在地上，用一根绳子把棍子的顶端和它投影的末端连起来，不就可以量出仰角了吗？

“太好了！我们向真理迈出了一大步！动手吧！”

三组学生都分别动手找工具，测仰角……

最后，三组学生得出了三组不同的数据，毕竟用这种简单的工具得不到精确的数据。怎么办？

再开动脑筋！可不可以把三组数据平均一下？或者……？

突然，有一位同学看着地上插着的棍子，来了灵感！

让我们先量出棍子的高度，再量出它投影的长度，用相似三角形的原理，不就能得到旗杆的高度了吗？（旗杆与棍子投影的比值等于旗杆与棍子的高度之比）

“Bingo!”所有的同学欢呼起来，老师更是兴奋，看着他的学生，他好像看见了一颗颗智慧之星，看见了他的学生们都成了伟大的科学家……

这一堂课，学生们恐怕是终生难忘的。解决了旗杆的高度，还有必要反反复复地做一大堆练习吗？以后只要有一根棍子，一卷尺，要测量电视塔的高度也不是什么难题了。

一道题用了一堂课去解，值吗？值！这一堂课，或许抵得上一辈子的感悟。我敢说，那些得了奥林匹克数学竞赛金牌的学生也未必会用一根棍子测出旗杆的高度，他/她也许会等着你告诉他/她那个重要的仰角。

同样的问题也表现在考试上。中国的学校，尤其是小学的数学考试看起来很难，但都是复杂的计算，教师往往脱离现实，把本来简单的问题故意弄复杂了，试题难倒了学生，学生即使会做，但不会解决现实中的问题。学生对数字的敏感、对数字和空间概念的研究和观察在这些考试里也反映不出来 请看一下几个国内小学四年级的真实试题：

1. 小红看一本126页的故事书, 已看了一些还剩38页, 小红看了多少页? （评：此题意义何在？看了多少页一目了然，怎么会先知道剩下的页数而要求看了多少页呢？不就是把简单的问题弄复杂了，让学生在数字游戏里转悠？）

2. 家具店运来45把木椅, 运来的折椅比木椅的3倍还多10把, 家具店共运来多少把椅子? （评：怎么会不知道共运来多少椅子？挨个数一下不比先知道折椅比木椅多多少倍更容易？）

3. 王庄乡有水田507公顷, 比旱田的3倍还少3公顷, 王庄乡有旱田多少公顷？（评：同样是一个脱离实际编造的问题，学生只是套公式摆弄数字，对解决现实问题几乎没有帮助）

这些试题的共同点是，把简单的问题复杂化，明明都是一目了然的问题，偏要转一个圈子，让学生拐弯抹角地找答案，严重脱离了现实生活，还有这农田、家具店和眼下孩子的生活有多大关系？

 

 

请看加拿大BC省四年级Numeracy部分试题：

学校要举办一次游园会，学生们四处张贴广告。星期一他们贴了25张，第二天比前一天多贴7张，按照这个规律，星期五学生们需要贴多少张广告？
• 32
• 53
• 149
• 195

山姆用一卷4.2米长的纸做了一个2.5米长的横幅，
他还有多少纸剩下来？
• 1.7cm
• 17cm
• 170cm
• 1700cm



游园会的门票连续出售了8天，按照图中规律，
第八天结束时会售出多少门票？ 
• 875
• 1000
• 1100
• 1175


莎莉为丢沙包的游戏堆积木，如图所示，她堆到第六组时需要多少块积木？
• 21
• 28
• 36
• 45




莉萨做了一个问卷调查，并制作了一张图表。
按图所示，她的问题是什么？
• 游园会共盈利了多少钱？
• 男孩更喜欢钓鱼游戏（fish pond）吗？
• 每项活动参加的人数是多少？
• 为什么有近60人去了书展（book stand）？

 

吉米买了一本关于养猫的书，此书共有223页，
他第一天就看了76页，第二天又看了48页，
还有多少页吉米就把书看完了？
• 199
• 124
• 101
• 99

游园会结束的时候，一共义买出38块小蛋糕，每块蛋糕售价$1.95。以下哪项计算能最精确估计所筹得的款数？
• 30 X $1.00
• 30 X $2.00
• 40 X $1.00
• 40 X $2.00

这些题目的特点是，围绕同一个主题，学生用所学的技能解决实际生活中碰到的问题，大多数题目都不需要生硬的套公式，也不必机械的计算，而是通过对数字间的规律和逻辑关系的推理找到答案，同时，对于图表的运用和空间物体的想象能力的考察也十分到位。对于计算，最后一道关于蛋糕的问题并没有让学生计算出准确的数字，而是考察学生解决问题的方法以及对各个数字大小之间的关联和逻辑推理。这种方法在生活中具有更大的实际意义。

顺便提一下，加拿大的中学数学分三个不同层次，学生可以根据自己的能力和兴趣爱好选择不同的课程，教师也可“因材施教”。当然，这不是说要学习中国的文理分科。文理知识、逻辑思维和艺术想像同样重要，教师可以给“文科生”讲解“鸡兔同笼”的计算原理，训练他们解决诸如巧拿火柴棒、幻方、商人过河等问题，甚至可以讲解哥德巴赫猜想的命题，让形象思维强的学生也插上逻辑思辨的翅膀。

数学好，就必须具备起码的逻辑思维。可是国内许多所谓作家、名记者的文章，通篇是主观臆断，缺乏严谨的考证推理。这些人可能算术不错，也能写诗吟词，可是往往连一个简单的观点也表达不清，要么就是绕一大圈，故弄玄虚，要么引用一大堆科技术语和专业名词，读者糊涂，作者自己也未必明白。（国外类似的报道，都是从最基本的原理谈起，一步步地用逻辑论述让读者明白）。至今，不少国内“数学好”的学者还认为哥德巴赫猜想就是要证明1+1=2。

数学，不仅仅是1+1=2那么简单啊。

[nancy30]

“其本质是在争论衡量数学教育质量的标准问题”非常同意这个观点，也许在中国现有的教学基础上加强基础科学在实践中的应用，提高学生的科学思维能力。毕竟天才是少数，教育的本质不因该是培养天才而是让大多数普通人有基本谋生的技能。

[真麻烦啊]

我个人认为争论中国的数学教育好还是美国（北美）的数学教育好，其本质是在争论衡量数学教育质量的标准问题。就是说，什么是衡量数学教育质量的标准？是数学思维能力？还是数学解题能力？

讲两个小事吧。

一个是关于我本科毕业学校物理系的一个的老师的评价。此老师是物理系出名的教高等数学的好老师。不但物理系有名，在全校也有名。校级的教学优秀奖都得了几次。后来上硕士的时候，碰上母校数学系的一个年轻教师。聊起数学教育的问题。这位数学系的年轻教师就说物理系的那个优秀教师只是会教解题方法而已，不会教数学思维。

第二件事是关于一本书－－《女士品茶》（The Lady Tasting Tea ）。这是美国的著名统计学家David Salsburg写的一本书统计科学方面的通俗读物。作者在书的前言中说读这本书的读者只需要具备高中毕业的数学知识就可以了。本书被翻译成中文版后，中译者说这本书的对象是统计学专业的学生、研究生等。不知道这样的天壤之别从何而来？
http://www.pinggu.org/bbs/dispbbs.asp?boardid=54&id=264608

我在教育行当也算混了快20年了。我绝对不认同中国的教育质量高于美国的说法。尽管我对中国现行的教育体制并不像很多人那样持批评的态度。

[狗肉]

I have a boy who is a 3rd grader and I saw algebra questions in his book the other day, many of them were similar to the "bad examples" raised in here, not much difference. E.g. Sue said that her family had 1.5 litter milk before breakfast, after breakfast, only 0.5 litter left. Is that possible?" Comparing to your book page problem, which one is worse? When I was in graduate school, I graded pre-calculus for Math department, the content was just about Chinese junior high level. The funny thing is that I got the answer sheet from the instructor and the answer sheet was wrong! In some colleges here, there is this class called "calculus using calculator" by the math department, you tell me.

[kebob]

文章的题目和内容很不匹配，题目说的是美国，文章的例子是加拿大的，不懂。

[smallking]

People who made comments shall first go through the Chinese math education and the American way of education before making comments.

To understand math is to understand the fundamentals behind the math. It is to understand the logic, reasoning, step by step behind these elegant formula or questions.

At a higher level, to understand the universe and the laws of nature, you need really good at grasping math, not just remembering how to solve the questions.

The American way of math education to high school/undergraduate is totally superficial. Don't you see the 30 years of rapid economic growth in China; isn't that not related to great number of the students graduated in China that are well educated in math and sciences!

[locke]

游泳池和旗杆的题国内也作。用一节课来讲解旗杆的题，效率太低，可想而知，一学期能学到多少东西。看来加国的数学教学水平还真是差不少。

[ubcdavid]

In study and research, the most important thing is to find the question, not the answer. How can you find the question, that is the goal and target of education in North America. Even you can get 100 in exam, that just means you can repeat others' works very well. That's the reason so many "stupid" professors leading so many clever students.

[SHIWANG]

数学是人们对量化逻辑的抽象认识，是建立在大量重复训练和天分上的，美国人在这方面的训练水平的确是较中国低。使用数学来解决问题的能力受到数学素养的限制，所以常见的模式是“无知”的美国教授有很多的疯狂的“猜想”带了一大帮中国的，印度的，欧洲的数学天才博士后！

[smallking]

math is the crown of the science. the current Chinese math education is much better, in my opinion, which teach the students, the fundamentals, not just something seems interesting in real life.

American/Canadian only learn the surface, or half-full. It will be very difficult for a country to grow without a large amount of graduates really understand math.

[静听风吟]

这种论点国内也有，不单单是海外华人有权指手画脚。只不过中国的人口是14亿。人口众多，资源相对贫乏，所以人们的思维当然是如何得到高分考取好的中学，大学为目标，因为这样今后才能有出路，才能挣更多的钱。不要说国内的人有关系就能如何，因为有关系的人是少数，大多数人是普通人。不谁都想活的更好，而目前，在人们脑中似乎只有金钱是可靠的，所以国内的大多数人（老师，学生，家长）才会选择应试的思维方式。这种方式并不妨碍有些数学好的人继续数学好。而美国的方式也不能保证大多数人成为数学尖子。（有些科学家不是说数学天分是遗传的）吗？另外不要总认为美国加拿大人就不是为了钱而学习，都是人，都有缺点，只不过表现形式不同罢了。说这些，只是想表明，坚实的经济基础是决定人如何思维的，国家也一样。当然林子大了，什么鸟都有，但是美国人总体的数学差，又不是某个中国人说的。同样，对于有些数学问题，一定的重复训练是不可少的。

[tomamy2007]

Nice!