从最新AMC8看和学校代数的关系

之前写过一篇短文：AMC8和SAT的关系，把AMC8和SAT重叠的地方挑了两个地方，讲了一下。今天有空，再挑两个有关AMC8和美国初高中的代数的关系挑两道题目讲一讲。我一直说，AMC8属于入门级的数学竞赛，只要对数学不反感的学生，都应该学一下，因为AMC8和学校数学关系还比较密切，对学校的数学学习有很好的辅助作用。等上升到了AMC10/12，路子就完全不一样了，对数学感兴趣的学生才有会有这个兴趣去学。

先说代数，主要是指代数一和代数二。两者的区别主要是一条线打不打弯。在代数一里面，两个变量的关系是直线关系，比如 y = kx。比如距离，速度和时间的关系，如果一个人每小时走5公里，那2小时就走10公里。太多低年级的学生会计算写成了数字的数学等式，但不会把文字题转换成等式，因为他们搞不清哪一个算是x，哪一个该作为y，哪一个该作为斜率k。在这部分学生心里，那些数字都是没有意义的不带单位的数字而已。如果你问他像前面的非常简单的5x2=10的例子，几乎没有学生会搞错。但是如果你改一种说法，开始说速度是10公里/小时，走两小时，走了多少公里？这时候就开始会有一小部分学生由于前面一题的印象，会直接回答你走了5公里而不是20公里。他没有注意到这几个量分别对应的是直线关系中x,y和k的哪一个。如果你说一个人2小时能走10公里，现在这个人走路的速度减慢了1公里/小时，那他两小时能走多少距离？更多的学生就会开始回答走了9公里而不是8公里。前面这个关系中是没有注意到，这道题目中他是搞不清。如果你用一些稍微复杂一点不是整数，不能一眼看出计算结果的数字，错误率会高一些。如果你用字母代替，那错误率更高。因为在学生们的心目中，他记忆的是算术中的数字乘除，只是去回忆似乎是两个数字的乘除。如果两个整数的话，就比较容易看出来（实际上是半猜性质）更有可能是哪两个数字相乘除。有的学生记忆的根本就不是字母所代表的关系，所以如果换成无法直接得出结果的复杂数字或者字母的话，马上就卡壳了，凭猜那就有一半的几率是错的。

如果你用更复杂点的关系，说一个人从A点走到B点需要2小时，另一个人从B点走到A点需要3小时。两个人同时各从AB两点相向而行，过多久碰面？大多数的七八年级的学生已经无法回答这种问题了。这个在一开始学习代数一的时候还不要求，但是这个就是在SAT层次，或者说竞赛类AMC8所要求的层次了。唉，相向而行的问题，我记得是我们小时候常做的问题。算了，扯远了。

举例：最近2022年AMC8第15题给出了一个图形：

说这是一个pepper的价格和重量的关系图。问哪一个重量的单价最低？

其实非常简单，只要理解了单价其实就是斜率，就像速度就是距离和时间关系图上的斜率一样，然后从原点开始，划一条线，如下：

什么都不用算，蓝色点代表的重量是3 ounces的就是最低单价。

在这个例子里，AMC8根本就没有要求学生计算，只是要求学生懂得具体问题在代数线性方程中的灵活运用，也就是，你是不是真正领会如何正确解答学校里代数一里的速度距离时间问题。我以前写过一篇文章：“想比做好”，就是说明先要理清关系，然后才是计算。这道题目考的就是最基本的，也是最重要的关系，是第一步。

到了代数二，函数代表的线开始打弯，这也是SAT里面所开始要求学生懂得的。AMC8里面也有一些涉及最基础的概念，但不要求计算。比如第九题。说是一杯212℉的水，和环境温度差每过5分钟减少一半。如果环境温度是68°F，过了15分钟水变成了多少度°F？

计算过程很简单。一开始温差是212-68=144。

过了五分钟，温差是144/2=72。

再过五分钟，温差是72/2=36。

再过五分钟，温差是36/2=18。

所以，最后水温是68+18=86°F。

在这种情况下，每五分钟温度的变化不是固定的值，如果画一个图形的话，就不是直线了。如果要求的不是15分钟，而是14分钟的话，就需要用到代数二里面的指数对数图形。但是在AMC8的层次，他给学生的数字（15分钟）是凑好的，只要求你看得懂这个过程，并不要求学生掌握繁杂的计算。就是一个考验学生理解能力的题目。

AMC8和普通高中数学有不少重叠的地方，其他的比如统计概率这种地方和代数二重叠得更多一些。以后我有空再一一写一些。

我就是一个受了正统的国内理科教育，然后又在美国呆了很久了的教书先生。现在教学美国高中的数学和物理。欢迎浏览我的网站: