想比做好

总有人问我什么是抽象思维，今天有空，结合教学的经历，聊几句。只是这个话题太大，我只是想到什么聊什么。好在我又不是进行系统化研究的数学家，只作为经常接触到这类问题的私塾教书匠，所以才敢来抛砖引玉一下。

我们小时候都做过鸡兔同笼的题目，说一个笼子里关着一些鸡和一些兔子，数一下，一共有5个头和16只脚。问有几只鸡几头兔子？我记得是这样解题的：让所有的兔子都抬起前腿直立行走，这样两种动物的落在地上的脚都是每只2条，因为有5个头，所以应该有5*2=10只脚还在地上。由此可以推论出有16-10=6只前腿抬起来了，每只兔子抬起两条前腿，所以一共应该是6/2=3只兔子。然后鸡就剩下5-3=2只。

我们也可以设方程，把鸡的个数设成x,兔子的个数设成y。然后列出方程单纯地只表达题意:

第二步才是解方程。这个时候就不管这道应用题里的具体说的是什么，而只是单纯的按照数字的法则来解决数字问题，也能得出同样的结果。

虽然这两种办法结果一样，但是思路不同。第一种办法更灵活，但有点就事论事的味道。第二种办法更可以广泛推广，因为这个办法首先只是把文字转化成数字的等式，除了这个以外，不包含任何计算。到了第二步才是真正的计算过程。而这个计算的过程是完全标准化的，不仅仅可以适用于整数，负数分数等都没有问题。两个步骤分工合作，边界分明，各司其职。人的大脑可以用第一种办法处理一些简单的逻辑和计算混在一起的问题还是够用的，想到如果能让每只兔子和鸡有同样的脚的数量的话就好了，如果这样的话，整个还在地面上的脚的数量就应该只剩下了10只。这个聪明的思路及其计算在第二种办法里就是单纯的一个计算问题，就是把第一个等式两边乘以2：

然后再把两个等式相减，得出结论：

这个办法把需要一些“智力”才能想到的聪明办法下降到了人间，变成了一个纯粹的数学计算方法。人的“智力”做的事情被打包成为了一个解二元一次方程的固定模式，大工业标准化的实现了，不用在这方面费劲去思考，剩下脑力可以去专心干更多其他需要思考的。而且这种计算办法是普适的，可以运用到任何其他问题，而不只是一个鸡兔同笼的问题。这就是分工合作的威力。

所谓抽象思维，就是把问题中需要计算的部分剥离出来，这些计算部分已有既定的法则，实际上并不需要人脑就能完成，所以含金量并不高。我们得到解放的脑力用于更重要的前期的问题分析上去，也就是如何把碰到的每一个“新”的具体问题都“抽象”归类到已经解决了的问题上去。其实绝大多数实际问题都是在重复，从理论上来说我们都是在拾前人牙慧，但人类社会就是因为有了传承才能进步的，毕竟一个人的寿命有限，不站在巨人的肩膀上重复做先辈的事情就永远无法整体上有所进步。能够意识到看似不同的问题其实是一类问题，然后进行准确的归类已经算是一个技术活，其实并不容易。所以不少学生计算题问题不大，到了文字题问题就很多就是这个原因，深层次的抽象思维能力不够。

当我们学习数学从计算开始的时候，不能忘了告诉学生不能只着眼于计算，必须习惯于“分析”问题，然后才是解决问题。其实就是先对问题进行等式表达，然后再进行计算。这样才能更准确，功利的来说，正确率才更高。

另外举一个更简单一些的比例运算的例子：

我总是和学生们说，不要急着算数字，第一步首先要做的是把文字题转换成数字等式。也就是把上述的文字变成：

然后再进行计算。我本以为这第一步是很自然需要首先进行的一种转换，大家都应该是这样想的，只有教书了以后才开始了解不同人的思路是完全不一样的。有一部分学生看到的只是文字题中的两个数字，脑子里想的是如何直接把这两个数字进行运算得出结果，而并没有中间的一个列出等式的过程。所以你看他们的解题步骤中很少有等号，往往就是一个数字去乘以（或者除以）另一个数字，然后就得出以为是正确的答案了。这种情况在数字比较简单的时候还行，比如题目假如是”2 is what percent of 50?”。学生会想，“如果”题目中的数字是100， 那答案就是2（100的2%就是2）。现在这个数字是50，50是100的一半，那答案或者是2的两倍或者是一半。好一点的学生会做出来是4，但猜测成分大一点的学生的正确率就只有50%了。另外有一些的学生会直接把题目中给出的两个数字2和50进行运算，他知道应该是乘法或者除法运算，但不清楚是哪一个，很多情况下会乱猜一个（或者自以为正确的选一个），所以得出的答案就很大程度不靠谱了，正确与否全靠运气。

实际上应该先列出以上只包含数字和数学符号的等式，把一个文字题完全转化成数学等式，然后可以完全依靠数学规则进行运算。至于到底该用乘法还是除法，到底是哪一个数字作为除数，哪一个是被除数完全是由数学规则定义好了的，不用你操心。关键不是第二步的计算，而是第一步中的用数学等式作出的逻辑表达，这种表达很重要，体现在很多学生都不写的上面的那个红色的等号上。他们不写等号其实就是不重视这种表达，没有意识到第一步的抽象过程的重要性。

好吧，这个有点高大上了。不谈如何去“抽象”一个问题，这个我感觉似乎与生俱来，难以传授。举遍无穷的具体例子，最后还只能以心传心，如人饮水，冷暖自知。

再举两个稍微高一些年级又比较容易理解的例子：

假如邮递员每天下午在1PM和3PM之间来送信，而你在每天下午2点到3点之间去看看你的信箱里有没有信。有多大可能性你去看信的时候邮递员已经把信送到了？（这个是AOPS里面的题目。）

虽然我整个可能去看一下有没有信的时间是一小时，而邮递员送信的时长是两小时，但可能性应该不会是1/2。因为我很聪明啊，知道在邮递员来送信的整个的2小时内，越往后信已经送到了的可能性越大，所以才在后一个小时（2PM-3PM）而不是前一小时（1PM-2PM）去看看有没有信，可能性应该高一些，超过1/2，但到底超过多少呢？这个问题可以看成和几何问题等同，可以画图求解：

把邮递员送信的时间作为横坐标，把我取信的时间作为纵坐标，整个的矩形就是可能的空间，其中每一个点代表了各种邮递员送信和我取信的时间的组合。这些组合中，黄色就代表了我能拿到信的时间组合。黄色面积和整个矩形面积的比例就是我能拿到信的可能性。而面积是很容易计算的，这个比例就是3/4。只要能想到，计算不是问题。

数学里这种把问题变换成等同几何问题的事太多了，困扰人类三百年的费马大定理就是用几何解决的。但那个。。。即使想得到，计算对于我们常人来说，还是问题。数学工具更加高级和复杂了。但突破，首先是要想得到。

物理里也是一样的：

说有一个猎人，看到树上有一只猴子。猎人对准猴子瞄准射击的同时被猴子看到了，在猎人开枪的同时从树上吓得掉下来。猴子高度比枪的高度高出10米，猎人和猴子的横向距离是20米，子弹的速度是200m/s。假设重力加速度是10m/s^2，不考虑空气阻力，猴子能逃过猎人的猎枪吗？逃得过的话，子弹是擦过猴子的脑袋还是脚跟？

学过物理的学生可以开始用Kinematics的公式进行计算，从子弹在空中的时间开始算。横向距离除以子弹的横向速度得出子弹到达树所需要的时间，然后用这个时间去分别算出子弹和猴子在空中的纵向高度，比较一下就可以得出结论。这个计算稍微复杂一点点，但肯定属于Kinematics里面必须掌握的。家有读书郎的只要学过普通物理就应该会做，可以考一下自己的孩子，看看能不能做。答案是纵向高度是一样的，子弹肯定命中猴子：

但其实不用这么大费周章，换一个角度思考问题。假如你是猴子，站在猴子的角度来看，猴子在下落的同时子弹也在下落。子弹和猴子有同一个大地母亲，地球对子弹和猴子的吸引力的场强是完全一样的，大地母亲对谁的爱是一样的，所以这两者的下落加速度和速度也是完全一致的。从猴子的角度来看，子弹是一直在直直地对着自己飞来，根本就没有下落过。只要猎人一开始瞄得准，之后子弹相对于猴子的运动就是直线运动，自然就肯定能击中目标了。

这就是物理，你可以脚踏实地地“做”出来，也可以“想”。两者之中，总要有一样能过关才行。想在前，做在后。相比而言，“想”比“做”强。

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我开班网上数学物理辅导课程有好几年了，大多数是周围的朋友。我所有的上课材料都放在网上，即使是疫情之前也早就如此。最近想着试试在网上找一些生源，而不只是local的生源。所以做两件事：

1. 允许网上的新生旁听，但为了不影响我现有学生，需要事先联系。上课时只是旁听，不会像通常的学生一样会被要求互动（也就是回答问题和在屏幕上写公式步骤）。时间限制20分钟。课程包括美国高中程度的数学和物理课程，具体上课时间随我现有课程的进度，事先联系（微信:jeff7324972291）。
2. 美国一个月我办一个网上讲座，随时可以加入。这个无须事先联系，下一次讲座时间是 美国东部时间 2022/01/22 5:30PM-6:30PM。主要针对对象是美国高中学生的家长，讲一些美国高中数学物理的进程和介绍一下我的课程。

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