凯利公式还有两个隐藏的推论，第一个是只有胜率100%的赌局才值得all in，否则不存在必赢；第二个是只有赌局的期望收益率为正数

凯利公式还有两个隐藏的推论，第一个是只有胜率100%的赌局才值得all in，否则不存在必赢；第二个是只有赌局的期望收益率为正数才能使用凯利公式，否则是不值得投资的，更别提必赢。

“凯利公式”是有关赌博和投资的一个利益最大化策略。

 

1818黄金眼采访受骗当事人

那么，凯利公式究竟是什么？它真的有所谓的必赢魔力吗？

我们当然要从凯利这个人讲起，他的全名叫小约翰·拉里·凯利，是个美国人。二战的时候在美国海军当飞行员，战后在德克萨斯大学读了本科和研究生，1953年博士毕业。

凯利的博士论文是做材料研究的，别以后也找了一份比较对口的工作，但并不顺利，没有得到老板的赏识，到他30岁的时候，加入了贝尔实验室。

在贝尔实验室，凯利被认为是一个非常有趣的人，他加入枪械俱乐部，和妻子组队打桥牌锦标赛，给敞篷车装上弹射座椅……他也被认为是当时整个贝尔实验室里第二聪明的人，而第一聪明的是香农。

凯利公式也是他玩出来的一个意外。当时凯利正在研究电视信号的压缩方法，结果却研究起了赌博来，源头是一档电视答题节目的热播，名叫《64000美元的问题》（The $64000 Question）。

节目本身和赌博其实不太相关，最多算是博弈，但因为节目的火爆，有人就开设了赌局，赌的是哪个选手能够最终获胜。可是由于节目在纽约录制，住在美国东海岸的人可以看到实时直播，而西海岸的播出要延后3小时。

因此就有西海岸的赌徒利用电话提前获得了节目信息，利用这种手段作弊赌博。凯利对此很感兴趣，但是他不是想赢钱，而是希望研究一下这些作弊赌徒如何将利润最大化的问题。

当然，这也说明东西海岸节目播出虽然有3个小时的时间差，但可能停止投注时节目还没有播完，因此赌徒通过电话得知的信息有限的，但足以大大提高胜率。

《64000美元的问题》节目录制现场

凯利就针对这种简单的赌局推算出了一种利润最大化的“必赢”公式。

f*=（bp-q)/b，其中f*为计算出来的凯利最优投资比例，b 为赔率，即期望盈利/预计亏损，p 为成功概率，q 为失败概率，即 1-p。

举个最简单的例子，假设一个抛硬币猜正反的简单赌局，每局赌注1元，猜中了得2元，猜错了输掉1元，也就是赔率b=2，胜率p=0.5，带入公式后算得f*=0.25。

也就是说，在这样一个简单的抛硬币赌局中，如果所有的条件都不变，且能够无限次重复的情况下，每次投入所持有本金的25%，可以在不输光本金的前提下实现收益最大化。

同时，凯利公式还有两个隐藏的推论，第一个是只有胜率100%的赌局才值得all in，否则不存在必赢；第二个是只有赌局的期望收益率为正数才能使用凯利公式，否则是不值得投资的，更别提必赢。

凯利的这个研究也引起了香农的兴趣，建议他写成文章发表到杂志上，起初拟的标题为“信息理论与赌博”，但当时AT&T公司的高管认为可能导致大众认为电话业务助长了非法赌博，最终在1956年发表的时候改为了“信息率的新解释”。

老男神克劳德·香农

不过这篇文章在发表后其实并没有激起多大的水花，直到一位叫爱德华·索普的赌徒出现。

索普其实也不是普通人，28岁就在麻省理工当教授了，他当时利用职务之便使用早期的计算机IBM 704计算了赌博游戏21点的胜率变化。

后来又在香农的建议下读了凯利的文章，了解到了凯利公式这种投资策略，并创造接下来的奇迹。

IBM 704计算机

在赌桌上，索普通过记牌的方法来判断胜率，再运用凯利公式来计算自己投注金额，第一次从技术上打败了赌场，在20世纪60年代，索普和一个职业赌徒用一个周末的时间就赢了11000美元（相当于今天约500000美元，以金价计算）。

后来索普把自己的研究和经历写成了畅销书，他出名了也被赌场封杀了，但他后来成为了华尔街成功的对冲基金经理，而凯利公式也顺带进入了大众的视野。

爱德华·索普和他的二十一点研究

但实际上，经典的凯利公式并不适用于二十一点游戏，因为二十一点的胜率会随着牌的变化而变化的。

二十一点的规则大多数人应该都了解，简单来说就是手上的牌点数总和不得超过21点，否则爆掉输掉赌注，剩下的点数大的为赢。

赌场的多人游戏中，玩家除了要与其他对手竞争，还要与庄家竞争，而庄家按照规定的策略拿牌，当点数大于17时才停止拿牌，庄家的存在才能让赌场保证赚钱。

索普的突破口就在庄家，当剩余的牌里小点数（2-8点）的牌越少，玩家的优势也就越大，因为庄家很可能会因为拿到大点数的牌而爆掉。

在一些情况下，比如剩余牌的数量较少，且点数较大，玩家的胜率能得到显著的提高，此时才会符合凯利公式中期望收益率为正的前提，但仍然是变化的，只能说索普应用了凯利公式的策略。

总之，凯利公式出名了，或许是最早被赌徒们奉为必胜的秘诀，或许是索普成为对冲基金经理后的成功被人马后炮了，再加上后来流传巴菲特和格罗斯都曾使用凯利公式来投资，也就难免有人把这些归功于数学公式的神奇。

凯利公式（红线）在100次硬币赌局模拟中的收益

然而，经典凯利公式只能说给投资者提供了一些策略建议，但现实中的投资行为要比假设的二元赌博游戏复杂得多，盲目套用只会适得其反。

赌博游戏的规则是人为设定的，赔率和胜率都是一致或者可以计算的，并且游戏可以无限次地重复下去。而现实生活中的投资，比如股票、基金、期货，它们的赔率和胜率不仅未知且难以估算。

另外，简单的二元赌博游戏中，输了会损失本金，而现实中的投资一般并不会完全亏损掉本金，因此凯利公式的一般形式是不能直接套用的。

还有更细节的问题，现实中的单笔交易金额并不一定是可以无限分割的，即便它满足了凯利公式中的条件，也有可能因为剩余资金低于最低交易额，比如股票交易中的一手，就会导致投资无法继续下去，必须注入新的资金。

凯利公式在很多实际投资中并不是必赢的，甚至也不是收益最大的。

有学者做了一个简单的投资模拟，假设有一个投资有60%的概率涨20%，同时有40%的概率跌20%，总体的期望收益率达到4%，算是不错的投资。

套用凯利公式后，得出最佳的投资比例为资金的20%，进行100轮模拟交易后，所得为初始资金的1.98倍，而投资100%和拉了150%杠杆的模型分别为6.24倍和3.36倍。

可见凯利公式（红线）的在模拟中的收益并非最大

当然在这个简化的投资模拟中，凯利公式的收益更稳定，而后两者的收益和风险也更大，这可能无法反应真实的交易，但也足够说明凯利公式并非万能。

不过话也不能说得太死，在满足条件的游戏或者投资中，严格遵循凯利公式理性投资的话是真的可以稳定获益的，只不过这样期望收益率为正的稳定送钱局，又有哪个憨憨庄家愿意开呢？

别忘了凯利最初的研究针对的可是用电话作弊的赌局，而索普则是用更先进的计算机钻了赌场游戏规则的空子，而大多数普通人只会被骗子钻了情感的空子。

最后，交友需谨慎，投资有风险，赌博毁一生。