祖冲之是怎样得到圆周率的近似值

在谈到中国数学史时不能不提祖冲之。他是南北朝人，生于公元 429 年。他写过一本数学书提出了圆周率可以近似地用 22/7 或 355/113 代替。 他还写到圆周率在 3.1415926 和 3.1415927 之间。 不幸的是他的书没有很好地解释他是怎么得到这些结果的。也没有学 生把他的方法传下来。他的书在四五百年后就失传了，主要可能是因为没有 人能看懂。然而他的圆周率近似值保持了近一千年的世界记录。后人只能猜 他为什么会去算圆周率以及他是怎样计算的。

早两百年前魏晋朝时刘徽就写过正多边形边长的计算。祖冲之同时代 有数学家对圆周率有研究。他们有近似值 3.14，3.15，3.16，22/7 等不同的 值。这些近似值并不很复杂，只要做更精确的测量就能看出来这些都不是精 确值。史书上说祖冲之对测量很有研究。他对圆周率的兴趣应该是从这些同 时代的人那里来的。

前面提到的刘徽写过计算圆内正多边形边长从而得到圆周率的近似值。 历史上古希腊大数学家阿基米德在公元前两百年做过同样的工作，比刘徽 早四五百年。刘徽应该是从那里学来的。如果圆的半径为一直径为二，它的 内接正六边形的周长为六。从正 n 边形的周长到正 2n 边形的周长有一个递 推公式。用这个公式就可以得到正十二边形，正二十四边形，正四十八边形 等等的边长，从而得到圆周率更好的近似值。但是这个公式用到勾股定理要 开平方，这在祖冲之的时代很不容易。一般认为祖冲之是不大可能用这个公 式来得到他的近似值的。一千年后才有人用这个公式计算出更好的近似值。 进入微积分时代圆周率的近似计算用到无穷级数，祖冲之也是不可能用到 这个方法的。

祖冲之得到的 355/113 应该是很多测量的结果。不难想象他应该也试 过了做以任意从 7 到 113 为直径的圆，结果是直径在等于 7，106，113 时， 周长分别和 22，333，355 非常接近。他的时代没有阿拉伯数字他没法在纸 上做除法。他也没有算盘。但他应该有和算盘类似的工具做除法运算得到近 似值：
               22/7= 3.1428571,
         333/106= 3.1415094,
         355/113= 3.1415929.
接下来的问题自然是这些值是不是精确值了。他的办法应该还是去测量。理 论上如果做一个以 100,000 尺为直径的圆，那么周长是在 314,159.26 尺和 314,159.27 尺之间。但十万尺等于一万丈。如果以一丈等于三米则一万丈等 于三万米等于三十公里。实际测量是很难做到这样精确的。当然也可以做一 个以一尺为直径的圆绕十万圈，或者是做一个以一千尺为直径的圆绕一百 圈，得到同样得长度。有经验的人会去做多次测量，多种测量。从这些测量 的结果也许就能看出这个值，从而知道这三个分数值都不是精确值。 象在前面提到的，我们不知道他是不是这么干的。祖冲之说是对天文历 法很有研究。我们不知道他的计算是不是和什么天文数据有关。或许他干脆 就是胡猜了一下，刚好他走运猜对了。 祖冲之没有提 333/106 这个近似值大概是因为在做一个以 1,000 尺为 为直径的圆然后测量周长时就能看出这个值不是精确值了。

这样写他的工作也许会让人觉得祖冲之的工作没有那么了不起了。但 这只能怪他自己没有好好写清楚他的工作。

参考文献

[1] 华罗庚, 从祖冲之的圆周率谈起, 中国青年出版社,1962.