数学的未来

数学的未来

(2014-05-11 19:50:00)

 

曾大江

 

人类数学经过1万年的发展，形成了数理逻辑、集合论、数论、代数学、分析学、几何学、概率论等分支，每个分支下面又有若干分支。例如：数论分为初等数论、代数数论和解析数论。分析学包括实分析、复分析和泛函分析等。几何学包括欧氏几何、巴氏几何、黎曼几何等。不同的人对数学的各个分支的分类是不同的。曾大江把数学分为四个部分：形式数学、量变数学、复杂数学和质变数学。理论上，数学各个分支的形式部分构成形式数学，量变部分构成量变数学，复杂部分构成复杂数学，质变部分构成质变数学。实际上，一些数学分支主要是形式的，一些数学分支主要是量变的，一些数学分支主要是复杂的，一些数学分支主要是质变的。因此，可以把数学分为形式数学、量变数学、复杂数学和质变数学四个部分。过去一万年的数学主要是形式数学和量变数学。随着混沌、分形、元胞自动机、复杂网络和复杂系统的出现，复杂数学开始兴起。但是，质变数学尚未诞生。如果过去一万年的数学是形式数学和量变数学，那么未来一万年的数学就是复杂数学和质变数学。曾大江认为无论人类文明，还是外星文明，文明的使命就是成为宇宙文明：把文明传播到宇宙的每个角落，拥有控制宇宙演化的能力，永恒地推动宇宙的人工进化。因此，曾大江有义务集形式数学和量变数学之大成，创立复杂数学，开创质变数学。虽然曾大江不一定能够做到，但是曾大江必须这样去做。义务就是做得到要做，做不到也要做。

虽然无数革命先烈在有生之年没有实现革命理想，但是革命先烈义无反顾地为革命而奋斗和牺牲。因此，即使曾大江不能在有生之年实现数学理想和宇宙文明的理想，曾大江也必须义无反顾地为数学理想和宇宙文明的理想而奋斗和牺牲。

形式数学

符号本身没有意义。符号的意义是由人给定的。例如：符号“1”、“A”、“a”、“α”、“一”都可以表达“第一”或“最好”或“一个”等含义。也可以规定用符号“0”或“2”等表示“一”的含义。人类为了交流方便，规定或约定了一些符号的含义。汉字符号和符号串的含义约定后，汉字符号和符号串就是汉语的载体，表达汉语的含义。英语符号和符号串的含义约定后，英语符号和符号串就是英语的载体，表达英语的含义。数学符号和符号串的含义规定后，数学符号和符号串就是数学的载体，表达数学的含义。

形式数学给出符号本身，并规定符号如果构成符号串，但不给出符号和符号串的含义。形式数学就是只给出符号和符号串本身，但不表达任何意义的数学。一个形式数学系统由给定的若干符号和这些符号构成符号串的规则构成，即若干符号和按照形成规则形成的符号串就是一个形式数学系统的全部内容。例如：简单双符号系统由符号“a”、“b”和形成规则（符号的任意组合都是一个符号串，但一个符号串最多由2个符号构成）构成，即简单双符号系统的全部内容就是“a,b,aa,ab,ba,bb”。也可以规定简单双符号系统由符号“0”、“1”和形成规则（符号的任意组合都是一个符号串，但一个符号串最多由2个符号构成）构成，即简单双符号系统的全部内容就是“0,1,00,01,10,11”。“a,b,aa,ab,ba,bb”与“0,1,00,01,10,11”是同一个简单双符号系统，只是使用的符号不同而已，是本质相同但形式不同的简单双符号系统。一些形式系统可以拥有有限个符号和无限个符号串，无法列出该系统所有的符号串。这时就用有限个符号和符号形成符号串的规则来给出形式系统的全部内容。形式系统也可以拥有无限个符号。例如：把表示所有自然数（0,1,2,...,11,12,...）的符号作为一个形式系统的符号，但这些符号不再表示自然数的含义。可以让0到29999与3万个汉字符号对应，让30000之后的数字与汉字符号串对应。汉字符号串可以有无限个。

形式数学对纯形式的没有给定意义的符号和符号串的性质进行研究。例如：括号形式系统由“{”和“}”两个符号和形成规则（“{”和“}”配对出现的符号串都是本系统中的符号串。如果一个符号串中“{”和“}”不能完全配对，那么该符号串不是本系统中的符号串）构成。容易知道，括号形式系统具有性质：任意符号串必由2n个符号构成，n为大于0的自然数。

形式数学的语义

任意形式系统的符号和符号串都可以被赋予一定的意义。这些被赋予的意义称为形式系统的语义。例如：简单双符号系统 “a,b,aa,ab,ba,bb”可以赋予这样的意义，a表示好人，b表示坏人，aa表示好好人（即很好的人），ab表示既好又坏的人（即不好不坏的人），ba表示既坏又好的人（即不好不坏的人），bb表示坏坏人（即很坏的人）。“a,b,aa,ab,ba,bb”也可以赋予如下意义：a表示0，b表示1，aa表示00=0，ab表示01=1，ba表示10=2，bb表示11=3。“a,b,aa,ab,ba,bb”还可以赋予如下意义：a表示1，b表示2，aa表示11，ab表示12，ba表示21，bb表示22。

同一个形式系统可以被赋予多种不同的意义，即一个形式系统可以具有多套语义解释。在形式数学中往往只关注具有数学价值的语义解释。形式数学就是研究形式系统的性质及其语义解释的数学。理论上，可以把数学的任意分支都切分为形式部分和语义部分。数理逻辑、集合论、数论、代数、分析、几何、概率等数学的各个分支都可以切分为仅由符号和形成规则构成的形式系统和该系统的语义解释两部分。但是，如果一个数学系统切分成的形式系统的形成规则比其语义解释都更为复杂，那么这种切分就是没有必要的，也是不方便的。因此，不必将数学的每个分支都进行形式化和语义化的切分。另一方面，如果数学的各个分支都以一个较为简单的形式系统作为一个形式基础或形式引入基础，那么对数学的各个分支都是有益的。因此，曾大江在《形式数学》中，主要探讨逻辑、集合和数的形式化。数学的其他分支的形式化则在各分支的专著中探讨。

量变数学

量变数学就是假定数学对象只发生量变，不发生质变，只使用演绎推理，且可以无限演绎推理的数学。当无限演绎推理出现悖论时，量变数学使用增加公理的方法来避免悖论的出现，使得在公理系统中可以进行无限演绎推理。量变数学系统就是内部无矛盾的数学系统。例如：在自然数系统中，有限个自然数的和或积仍然是自然数，自然数有无限多个，自然数可以任意大，但不能无穷大，且无限个自然数的和或积不能进行。自然数系统通过人为规定获得内部无矛盾的性质，但显得很不自然：从0,1,2,...一直数到无限，才能得到无限多个自然数，但是自然数必是有限大数，而数到有限，必可数出有限大数。可以无限地数下去，但数到的必是有限大数，不是无穷大数。这就是量变中的潜无限：可以无限地量变，但量变的结果必是量变，不是质变。现实中，无限量变是不存在的，无限演绎是不成立的，而量变数学却以无限量变和无限演绎为基本假设和理论基础。数论、代数、分析和几何等都是量变数学。因此，曾大江在《量变数学》中主要探讨数论、代数、分析和几何。

复杂数学

可以用解析表达式、公式、方程、公理或定理精确描述的数学都可以称为简单数学。但是混沌、分形、元胞自动机、复杂网络和复杂系统的性质往往只能通过逐步迭代才能精确描述。以逐步迭代为主要的精确描述手段的数学就称为复杂数学。例如：由x_n+1=x_n+1，x₀=2可知x_n=n+2，n为自然数，给定一个n就立即得到一个x_n，无须计算x_n-1,x_n-2,...的值，是简单数学。由于不存在素数公式，要计算出第n个素数，就必须先计算出前n-1个素数。这就可以作为复杂数学的内容的。给定元胞自动机的规则和初始状态，要知道元胞自动机在第n步的状态，往往需要先计算出前n-1步的每一步的状态。复杂数学研究逐步迭代的过程和逐步迭代的全部结果，研究迭代和迭代结果的性质。如果一个复杂过程可以不迭代就给出结果，那么这个复杂过程就简化为简单过程了。必须通过迭代才能给出结果的复杂过程，虽然其迭代过程不可避免，但其迭代过程和迭代结果的性质仍然是值得详细研究的。复杂数学中经常出现一些出人意料的性质和结果。例如：2号蚂蚁自动机在第1万步之后走出一条周期为104步的公路，6号蚂蚁自动机在150步之后走出一条周期为18步的公路。因此，曾大江在《复杂数学》中探讨混沌、分形、元胞自动机、复杂网络和复杂系统。

质变数学

质变数学就是数学对象可以质变、数学系统内部可以存在时间或矛盾、可以使用不完全归纳推理的数学。例如：在量变数字中，如果所有集合构成的对象仍然是集合，那么就会导致悖论。因此，在集合论中增加一条内涵公理，使得所有集合构成的对象不是集合，从而避免悖论。在质变数学中，所有集合构成的对象仍然是集合，也导致悖论。但质变数学不通过增加公理来避免悖论，而是通过承认数学对象可以发生质变来消除悖论。可以规定，所有集合构成的对象质变为超集合或真类。量变数学追求数学系统内部无矛盾，质变数学允许数学系统内部存在矛盾，且矛盾可以相互转化。例如：把集合分为两类，以自身为元素的集合和不以自身为元素的集合，所有不以自身为元素的集合构成的集合应属于那一类？在量变数学中，这就是罗素悖论。在质变数学中，以自身为元素的集合和不以自身为元素的集合可以相互转化，这就不是悖论了。所有不以自身为元素的集合恰好是能实现这个转化的数学对象。量变数学中的很多问题用质变数学的方法来解决可以得到全新的理解。量变数学中的一些分支经过质变化处理可以直接成为质变数学的分支。曾大江将在《质变数学》中进行详细的论述。

数学的未来

现在，数学主要由形式数学和量变数学构成。未来，复杂数学和质变数学将成为数学的核心。复杂数学使得数学越来越像物理，质变数学则使数学和物理可以统一。未来，哲学、数学和物理将实现统一。终极理论将是一个能够解释一切的理论，也是所有学科完美统一的理论。从粒子、原子、分子、细胞到人体、人脑，从宇宙演化到社会演变，都可以用终极理论解释。

人类文明要成为宇宙文明就必须让科学技术爆炸式进步，不断进行科技革命。数学是所有科学技术的共同基础和公共工具，数学的未来就是科技的未来，数学的未来就是人类文明的未来。