再试解决集合论悖论问题（上）

当前版本： v01

1. 引言

在前一篇博客“集合论的混乱局面该结束了”里我声称用改进的概括公理可以解决集合论悖论的问题。但后来发现集合论的问题并没有被解决。于是我自己加了一个评论，承认了错误，并匆匆做出判断，没有奇点只是一个性质能否定义集合的必要条件，而不是充分条件。再进一步判断如果找到了充要条件，集合论悖论的问题就可以得到解决。但现在看来，这些判断也是错误的。两个性质分别可以定义集合，但它们的逻辑与却不能定义集合，这不是一个条件充分不充分的问题，根本问题是，自从罗素悖论以来，集合就没了定义，所以，在搞清楚集合是什么之前谈论集合论本身就是错误的。

当代流行的公理化集合论把集合的定义放在一边不论，通过公理划定一个很小范围的集合，并只在这一很小的范围内讨论集合论。由于这一很小范围的集合已足以表示数学的基本元素例如数，形等，所以这样的集合论已足以作为数学的基础。但这样的集合论与人们通常所谈论的集合却相去甚远，例如，将一个班级的同学看成一个集合就得不到这些集合论的支持。因此，进一步解决集合论悖论的问题可能对数学已经不重要，但对于逻辑学和人们的思维却仍然十分重要。而且，在没有搞清集合的定义之前，集合论公理的可信度并不比概括公理更强，只是还没有发现矛盾而已。尽管所有公理的可信度都只在于所属理论系统还没有出现矛盾，但是越往深处挖，所找到的公理将来就有越多被检验的机会，从而所属理论系统就会越可靠。因此，搞清集合的定义才是解决集合论悖论问题的最终出路。

对于集合定义的怀疑源于罗素悖论，因此要给集合一个清楚的定义，还要从弄清罗素悖论如何推出矛盾开始。在此，我们先退一步，引入一个“聚集”(collection)的概念用以表示朴素集合论意义下的集合，以便和数学意义下的集合区别开来。先让我们考虑如下论述(discourse)：

设D是一个聚集的范围(range)，现考虑由D内的满足条件x∉x的聚集x所构成的聚集R，则我们有R∉R，而且R不是D中的聚集。R∉R因为如果R∈R，那么R是D中的一个聚集但它不满足x∉x的条件，因此不该被选来构成R，这与R∈R的假设矛盾。R不是D中的聚集因为对任意D中的聚集F，如果F∈F，则F与R不同因为F∈F但F∉R；如果F∉F那么F与R也不同因为F∉F但F∈R。例如，当D只有空聚集Ø一个聚集时，R={Ø}，可以验证R∉R且R不是D中的聚集。

只要D不是“所有聚集”，上述论述就没有问题。当D是所有聚集时，矛盾就发生了，它就是罗素悖论：如果R∉R，那么R应该被选来构成R因为R是聚集而D是所有聚集，因此有R∈R，矛盾。而其中“R是聚集而D是所有聚集，所以应被选来构成R”的推理所根据的是人们关于“宇宙”(universe，宇宙这个词在此并不很好，在找到更好的之前先暂时用着吧)的认识。在此宇宙不是指物理存在的宇宙，而是指思维(mind)的宇宙。人们认为宇宙U包含一切对象(object)，R是一个对象，因此R是U中的一个对象，而所有聚集是指U中的所有聚集，因此R应是D中的聚集。所以，导致矛盾的根本原因还是U包含一切这一人们对宇宙的认识。

但U为什么要包含R呢？难道U在构造R之前就已经包含R了吗？当D不是所有聚集时，R不是D中的聚集说明思维是具备创造性的：由D中聚集构造出的聚集R是一个不同于D中所有聚集的新聚集。在此我们说思维有创造性是因为，即使R在U中，但我们并不知道，我们从已知的D中独立地创造出了一个D中不存在的聚集，这是名副其实的创造。我们能从D中创造，为什么我们就不能从U中创造了呢？其实，我们可以用前面，当D还不是所有聚集时，用过的证明R不同于D中所有聚集的方法，证明当D为所有聚集时，如果不把R强行归入U中，则R与U中的所有聚集都是不同的，也就是说，如果不把R强行归入U中，那么R是由思维创造出来的相对于U是新的对象这一点并没有任何问题，罗素悖论不能导致矛盾。是我们目前对于U包含绝对一切这一关于U的静止的认识，才使得我们把R强行归入U中，进而导致了罗素悖论的矛盾。

U包含绝对一切这一关于U的静止的认识事实上否定了思维的，至少是关于聚集构造的，创造性：所有可能构造出来的聚集都已经在U里了，不可能再构造出不在U里的新聚集。U包含绝对一切这一关于U的静止的认识否定了人们构造聚集时的创造性，它是否也否定人们在其它方面的创造性呢？我们可以再看一个例子：

设D是关于装置设计的一个范围，D为所有装置设计这一范围。有人在研究了D中所有设计后，没找到解决问题的设计。于是他自己设计了一个新装置并解决了问题。但问题是此人的设计S不可能是一个新设计，S必定是D中的一个设计因为D包含所有装置的设计。这个例子尽管只是很直观，但足以让人感受到绝对化的“所有”与新事物不相容，因而否定创新的一面。

因此，集合论的问题不能在集合论里解决，它有更深层的原因。问题出在哲学的认识论上，具体地说，就是人们对宇宙的认识上。目前人们对宇宙的理解是静止不变的，它使得在逻辑上将“所有”绝对化。这种绝对化的“所有”事实上否定了思维的创造性。罗素悖论所揭示的实际上是思维的创造性和“所有”的绝对化之间的矛盾。所以集合论的问题首先应当在哲学层面上解决。

如果我们假设思维具备创造性，具体地说就是论述中的构造具备创造性，那么宇宙U在一个论述中就不是一个静止不变的对象，而是一个变化的对象。在论述中宇宙就不是一个U，而是由一系列实例(instance)构成的一个演进的U。我们将此称为演进式宇宙模型(evolutionary model of the universe)，对应地，将原来的对宇宙的认识称为静止式宇宙模型(static model of the universe)。在演进式宇宙模型的基础上，在数学上我们就可以构造一个不含矛盾的集合论。该集合论可以证明目前流行的公理化集合论的基础部分ZF系统。因此该集合论可以包含ZF系统。

本人的论文”On the base of set theory”具体地说明了如何构造那个集合论，在此只简要地介绍那个集合论的内容，所有证明都略去了，其实都很简单，不含什么特别的技巧。本人试图在arXiv上发表该文，也找到了举荐人(endorsor)，原定于2016-11-07公布，但两周快要过去了，目前却还处于等候(on hold)状态，等待审查人(moderator)的批准。因此目前还无法引用该文。但我想，并没有必要等待审查人的批准。没有人可以垄断对一个想法是否正确的判断，该文是否正确，各位也可以有自己的判断。

2. 对象，宇宙和聚集

任何可以成为思维内容(subject)的东西都是对象。因此，所有我们可以谈论的东西都是对象。论述是用以表达一个想法的一系列思维活动，叙述和证明都是论述的例子。宇宙，这里指的是思维的宇宙而不是物理存在的那个宇宙，有两个含义。第一个含义是指所有对象的整体(totality)。第二个含义是指一个论述所涉及的对象的范围，也就是论域(domain of discourse)。第一个含义是相对于思维的，第二个含义只相对于一个论述。本文一般使用第一含义的宇宙作为论域，所以在一般情况下宇宙的两个含义在本文中是一样的。

宇宙是变化着的，因此当我们谈论宇宙时，我们指的是某一时刻的那个宇宙的实例，其中当前宇宙(the current universe)就是当前的那个宇宙实例，它是我们通常谈论宇宙时所指的那个实例。宇宙的变化，或说演进，就是从一个实例U₀演进到另一个实例U₁。U₁和U₀的差别，就在于U₁比U₀多了新产生的对象。由于本文主要考虑宇宙在一个论述中的演进，因此宇宙的演进被认为只朝对象增加的方向演进。像“忘记”这种使宇宙中对象减少的情况不予考虑。

定义1：聚集是由当前宇宙中的任何对象，包括空，被聚集起来构成的整体。被构造的聚集不是当前宇宙中的一个对象，除非同样的聚集已经被构造过。

定义1所定义的聚集与朴素集合论所定义的集合的差别只在于定义1指出定义一个聚集是创造一个对象。因此，定义聚集D将使宇宙由实例U₀演进为实例U₁。U₁与U₀的差别只在于U₁比U₀多了一个对象D，这被记为U₁=U₀∪{D}。

定义2：任何两个聚集D和F相等当且仅当它们含有同样的元素。

这与所有集合论用外延定义集合相等是一至的。定义2可以用外延公理来表达：∀D∀F(D=F↔∀x(x∈D↔x∈F))。定义1可以用创造公理更准确地表达：

创造公理：任何当前宇宙U内的对象被聚集起来而构成一个整体时创造一个聚集D。D不是当前宇宙内的对象除非同样的聚集在此之前已经被创造过。D的创造使得宇宙演进为U₁以包含D为其对象。另一方面，对于任何聚集D，D是由某个不包含D为对象的宇宙实例U'创造而成的，且D只白含U'中的对象。

由创造公理可知，任何聚集都是由思维创造而来的，没有天生的聚集。除了空聚集Ø可以由任何宇宙实例创造外，任何其它聚集D只能从包含所有D的元素的宇宙实例创造而来。由创造公理也可知，当前宇宙可以构成一个聚集，但它不是当前宇宙中的一个对象。由创造公理可以证明聚集的不自包含定理：

不自包含定理：对任何聚集D，D∉D。

还可以证明不循环包含推论：不存在聚集D, F, G使得D∈F，F∈G和G∈D。不循环包含还可以被推广到涉及更多聚集的循环包含。

3．性质和概括定理

定义3：普通性质(ordinary property)是一个由对象到命题的命题函数P(x)，并且对任何对象b，P(b)的真值不随宇宙的演进而改变。对任何对象b，如果P(b)为真，则称b具备性质P(x)，如果P(b)为假，则称b不具备性质P(x)。

由性质P(x)定义聚集的想法是要确定一个聚集C，从而使得C包含所有当前宇宙U内具备P(x)的对象，即：

         ∀x(P(x)→x∈C)                          (1)

且C只包含U内具备P(x)的对象，即：

         ∀x(x∈C→P(x))                          (2)

逻辑与(1)和(2)可得：

         ∀x(x∈C↔P(x))                         (3)

C只包含其定义前的当前宇宙U₀内的对象，但一旦C被定义，当前宇宙将演进为包含C的宇宙实例U₁，所以(3)应当在U₁上考虑。本文引进了一个等价方程式(equivation)的概念。一个等价方程式是一个含未知变量的等价命题。例如，若将C视为未知变量，则(3)就是一个等价方程式。等价方程式的解是一个能使该等价方程式命题为真的对象。对于等价方程式(3)，它的解是一个聚集D，将D代入(3)后，使(3)在包含D为对象的演进后宇宙实例U₁上为真。

定义4：聚集D被称为是等价方程式(3)的解当且仅当D只包含宇宙实例U₀中的对象且(3)在演进后的宇宙实例U₁=U₀∪{D}上为真。

如果等价方程式(3)有解D，则D就是包含所有且只包含U₁中具备P(x)的聚集。如果P(x)是一个普通性质，则由C只出现在等价式的左边，且解只包含U₀中的对象可知，D是唯一的解。由此，用普通性质定义聚集的问题被转化成对等价方程式(3)求解的问题。使用等价方程式的一个优点是可以扩展对于性质的定义。如果让性质P(x)含C，C为由P(x)定义的聚集，那么回出现循环定义的逻辑问题。但在等价方程式的情况下，让命题函数P(x)包含C则是完全合理的。

当P(x)中含有C时，等价方程式(3)的解可能不唯一。如果等价方程式(3)有两个解D，F且D⊂F，则称D为(3)的一个部分解。如果一个解不是部分解，则称其为一个极大解。如果(3)有唯一解，则该解也是唯一的极大解。(3)有多个极大解但它们互不包含的情况暂时还不能被排除，尽管目前还没有例子证明它的存在。

定义5，略。

定义6：一个特殊性质是一个命题函数P(x,C)，x为对象，C为聚集，且当用P(x,C)替代(3)式中的P(x)时，等价方程式(3)有唯一极大解。若D为该唯一极大解，对任意对象b，如果P(b,D)为真，则称b具备P(x,C)，如果P(b,D)为假，则称b不具备P(x,C)。

特殊性质P(x,C)也可简记为特殊性质P(x)。对于特殊性质P(x)及某些对象b，可能P(b)的真值会随宇宙的演进而改变，这是一个在论述中因当考虑的问题。当谈论性质P(x)时，P(x)可以是普通性质，也可以是特殊性质。

定义7：对于性质P(x)，当且仅当等价方程式(3)有唯一极大解D，则称P(x)可以定义聚集，且称D为由性质P(x)定义的聚集。如果(3)没有解，则称性质P(x)不能定义聚集。

对于一个特殊性质P(x)，它是一个合规的性质已经隐含了它可以定义聚集。

可以证明，定义7所定义的由性质P(x)定义的聚集D就是原先所考虑的那个由P(x)定义的聚集，即D是唯一的在演进后的宇宙实例U₁中包含所有且只包含具备性质P(x)的对象的聚集。

概括定理：对任意普通性质P(x)，P(x)能定义聚集当且仅当包含所有且只包含当前宇宙中具备P(x)的对象的聚集D不具备P(x)。

由概括定理可知，普通性质P(x)=(x∉x)不能定义聚集。因此罗素悖论不成立。普通性质P(x)=(x=x)也不能定义聚集，因此宇宙不是一个由普通性质定义的聚集。

如果普通性质P(x)不能定义聚集，可以证明特殊性质P'(x)=(x≠C)∧P(x)可以定义聚集。由P'(x)定义的聚集D是包含所有且只包含当前宇宙U₀中具备P(x)的对象的聚集。如果P(x)可以定义聚集，则P'(x)也可以定义聚集，且由P'(x)定义的聚集就是由P(x)定义的聚集。

定义8：对于普通性质P(x)，特殊性质P'(x)=(x≠C)∧P(x)被称为P(x)的合理性质。由P'(x)定义的聚集被称为P(x)的合理聚集(rational collection)。

合理聚集定理：对任意普通性质P(x)，可以定义P(x)的合理聚集D，且D是包含所有且只包含当前宇宙U₀中具备P(x)的对象的聚集。

如果普通性质P(x)可以定义聚集，则由P(x)定义的聚集D就是P(x)的合理聚集。当演进后的宇宙实例U₁成为当前宇宙时，D是当前宇宙中的一个对象。如果P(x)不能定义聚集，那么P(x)的合理聚集D永远不能成为当前宇宙中的一个对象。当演进后的宇宙实例U₁成为当前宇宙时，D是当前宇宙中的一个对象，但D已不再是P(x)的合理聚集。虽然D仍然是等价方程式(3)的一个解，但D已不是(3)的极大解。当U₁成为当前宇宙时，(3)的极大解是D∪{D}，这是因为由于P(x)不能定义聚集，所以D具备P(x)。

这里可能已经会产生疑问，为什么D在U₀中是P(x)的合理聚集，但在U₁里又不是P(x)的合理聚集了呢？P(x)的合理聚集一忽儿是D，一忽儿又不是D，那它到底是什么呢？当用普通性质定义聚集时，性质相当于该聚集的内涵，而聚集所包含的元素是该聚集的外延。在每一个宇宙实例中，通过内涵可以确定一个外延，这就是该聚集在该宇宙实例中的实例。当宇宙演进时，该聚集相应的实例也会发生变化。因此，用性质定义的该聚集也是一个变化的聚集。该聚集的实例则是相对于某个宇宙实例的由外延定义的聚集，因此，该聚集的实例是不随宇宙的演进而变化的。由内涵定义的聚集是会变化的，而变化着的聚集相对于宇宙实例的实例则是不变的，这就是解答上述疑问的答案，D，或者说D₀，是P(x)的合理聚集相对于U₀的实例而不是合理聚集本身。当U₀为当前宇宙时，P(x)的合理聚集是D₀。而当U₁=U₀∪{D₀}成为当前宇宙时，P(x)的合理聚集不再是D₀，它变成D₁=D₀∪{D₀}了。

由上述分析可以看出，一个普通性质P(x)可以或不可以定义聚集的差别就在于它们的合理聚集能或不能成为当前宇宙中的一个对象。当P(x)不能定义聚集时，它的合理聚集D不能成为当前宇宙中的一个对象。由于D不能成为当前宇宙中的一个对象，D就不能参加任何聚集的定义，因此也就不能成为任何聚集的元素。宇宙是普通性质P(x)=(x=x)的合理聚集，P(x)不能定义聚集，因此宇宙不能成为任何聚集的元素。但是，某个宇宙实例则可以是当前宇宙中的对象，因而可以成为某个聚集的元素。

现在需要为后面的讨论作一些准备。可以参照集合论的方法在聚集里定义序(order)的概念并引入良序的概念。空聚集Ø被认为对于任何序都是良序的。可以证明，W(x)=”x对于序∈是良序的”是一个普通性质，而且可以定义聚集。一个聚集是传递的当且仅当它的元素都是它的子聚集。可以证明，T(x)=”x是传递聚集”是一个普通性质，而且可以定义聚集。空聚集Ø被认为是一个特殊的传递聚集。可以定义序数为对于序∈为良序的且是传递的聚集。P(x)=”x是一个序数”=W(x)∧T(x)是一个普通性质。

Ø是一个序数，可以证明如果D是一个序数，则D'=D∪{D}也是一个序数。D'称为是D的后继。可以证明，在D和D'之间没有别的序数。不存在作为对象的最大序数，因为如果D是当前宇宙中的一个对象，又是一个序数，那么D的后继是一个比D大的序数。可以证明，序数的元素都是序数。

用性质定义聚集具有很强的表达能力。许多定义聚集的方法都可以表达成用性质定义聚集。一般地，如果D是一个聚集，不论D是如何定义的，P(x)=(x∈D)都是一个普通性质。P(x)的合理聚集是D自己。如果D还是当前宇宙中的一个对象，则P(x)可以定义聚集因为D∉D所以D不具备P(x)，由P(x)定义的聚集也就是D自己。因此，任何一个聚集都可以被看成是由某个普通性质定义的，或者是由P(x)定义的聚集，或者是P(x)的合理聚集。

目前我们以宇宙作为论域。当宇宙演进时，论域也在演进。当论域D不是宇宙时，我们假设D也能演进，而且只朝着包含更多对象的方向演进。命题函数D(x)=”x是论域D中的对象”是一个定义于宇宙上的普通性质。对于任何一个定义在D上的普通性质P'(x)，P'(x)可以被扩展定义为全宇宙的性质，所以P'(x)可以被认为本来就是一个定义于宇宙的性质。也就是说尽管我们在D上讨论问题，但所有性质都可以被认为是定义在宇宙上的。

定义9：对于论域D，一个将对象映射到命题的命题函数P(x)被称为是一个普通性质当且仅当P'(x)=D(x)∧P(x)是定义于宇宙上的普通性质。P'(x)被称为是P(x)的适配性质。

在D上用普通性质定义聚集的问题由此可转化为在宇宙上定义聚集的问题。

定义10：对于论域D和定义于D上的普通性质P(x)，P(x)被称为可以在D上定义聚集当且仅当它的适配性质P'(x)可以定义聚集。由P'(x)定义的聚集被称为P(x)在D上定义的聚集。P'(x)的合理聚集被称为是P(x)在D上的合理聚集。

根据定义10，当论域D为宇宙和不是宇宙时的一个不同之处是，当D为宇宙时，一个普通性质P(x)可以定义聚集只有一个原因：P(x)在D上的合理聚集相对于当前宇宙的实例F不具备P(x)，而当D不是宇宙时，P(x)可以定义聚集可能有两个原因：F不具备P(x)或F不是D中的对象。另一个不同之处是，当D不是宇宙且P(x)可以定义聚集F时，F不能再论述中被当作对象来使用如果F不是D中的对象。因此，一个聚集可以在论述中作为聚集被使用但不能被当作对象来使用的情况并不只限于合理聚集的情况。

4．聚集的相对性，聚集的一致性和集合

前面讨论了静态的聚集，即在当前宇宙中，由性质定义的聚集是什么。接下来要讨论动态的聚集，即在一个论述中，尤其是在含聚集定义的论述中考察聚集，当前宇宙在这样的论述中是变化的。前面已经看到，有些合理聚集是随宇宙的演进而变化的。我们将要看到，这种随宇宙的演进而变化的现象并不局限于一些特殊的合理聚集。

考虑性质W(x)=”x关于序∈是良序的”和T(x)=”x是传递的”。W(x)和T(x)都可以定义聚集。设W和T是当前宇宙中的对象且分别是W(x)和T(x)定义的聚集。再考虑性质P(x)=”x是一个序数”=W(x)∧T(x)以及P(x)在当前宇宙中的实例D。D是由当前宇宙中所有序数构成的聚集。D是传递的因为D的元素都是序数，序数的元素都是序数而D包含当前宇宙中的所有序数，因而D的阿元素都是D的子聚集。虽然本文目前还不能证明D不是当前宇宙中的对象，但在本文的晚些时候将证明，D不是当前宇宙中的对象。在演进后包含D的宇宙实例U₁中，D是传递的，因此T相对于U₁的实例T₁将包含D。而T相对于当前宇宙U₀的实例T₀则不包含D。也就是说，T也是随宇宙的演进而变化的。

事实上，由性质定义的聚集都有可能随着宇宙的演进而改变，只要新产生的聚集具备定义聚集的性质。因此，由性质定义的聚集是相对于宇宙实例的，这就是聚集的相对性。但也不是所有聚集都随宇宙的演进而变化。例如，空聚集Ø就不随宇宙的演进而变化。{Ø}是另一个不随宇宙演进而变化的聚集。再进一步，由Ø出发，通过外延定义的聚集都是静止的，例如，{Ø,{Ø}}，{{Ø}}，{{{Ø}}}，{ Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}}等等都是静止的聚集。

定义11：两个聚集被称为是内涵相等的当且仅当它们是由等价的性质定义的。

聚集的实质相等是由外延公理定义的外延相等。内涵相等不是聚集的实质相等。因此，由性质定义的聚集相对于不同宇宙实例的实例可能是不相等的，尽管它们具有相同的定义。例如T₀和T₁，尽管它们都是同一个由性质定义的聚集的实例，都曾经拥有相同的定义，但它们是不同的聚集。

定义12：聚集D被称为是静止的当且仅当无论宇宙如何演进，D都不会改变。D被称为是演进的如果它可能随着宇宙的演进而改变。D被称为是内容静止当且仅当如果以内涵相等来判断，D是静止的。

{W,T}是一个内容静止的聚集的例子。内容静止的聚集是演进的聚集尽管它的内容从内涵的角度来看并没有改变。

对于一个演进的聚集D，D未必随每一次宇宙的演进而改变，只是宇宙的某些演进会使D发生改变。由此来看，一个静止聚集也可以被当成是演进聚集的一个特例。可以证明，静止聚集可以成为当前宇宙中的一个对象。

定义13：一个普通性质P(x)是一个静止性质当且仅当其合理聚集是静止的，P(x)是演进的如果它不是静止的。

P(x)=(x≠x)是一个静止性质的例子。如果聚集D是静止的，那么性质P(x)=(x∈D)也是一个静止的性质。对于一个静止的性质P(x)，只有当前宇宙中的对象才能具备P(x)，之后再也不能出现任何满足P(x)的对象。因此，静止的性质可以定义聚集。

对于一个普通性质P(x)和它的合理聚集D，当我们在当前宇宙中谈论D时，我们所谈论的实际上是D相对于当前宇宙这个宇宙实例U₀的实例D₀。当当前宇宙随宇宙的演进而演进时，D也会随之演进。在新的当前宇宙U₁中，我们所谈论的是D相对于U₁的实例D₁。宇宙和D都是演进的，但它们的实例U₀，U₁，D₀，D₁却并不再随着宇宙的演进而改变。它们是静止的。而且当宇宙演进时，这些实例并不消失，它们仍然是对象，因为我们可以谈论它们。给它们下个定义可以帮助我们谈论它们。

定义14：对于一个普通性质P(x)的合理聚集D，称聚集D'是D的相对于宇宙实例U₀的实例当且仅当D'包含所有而且只包含U₀中具备P(x)的对象。称聚集D'是D的的一个实例当且仅当D'是D相对于某个宇宙实例的实例。称聚集D'是一个聚集实例当且仅当D'是某个聚集的相对于某个宇宙实例的实例。

一个演进的聚集D对应于一系列D的聚集实例，每个聚集实例是D相对于某个宇宙实例的实例。聚集的演进，更一般地，对象随着思维宇宙的演进，与物理存在中的实体的演进不同，物理实体的演进只保留最后的那个实例，之前有过的实例都消失了。而对象随着思维宇宙的演进过程中的所有实例都可以保留下来成为对象。人们可以谈论1936年的戴高乐将军就是一个例证。

关于理查悖论(Richard paradox)的分析，略。

由于演进聚集在一个包含聚集定义的论述中可能发生改变，这就对聚集在论述中的一致性产生了问题。罗素悖论就是因为忽略了宇宙在论述中不一致这一问题而造成矛盾的。但这一致性问题也启发了关于集合的定义：

定义15：集合是在一个论述中不变的聚集。

因为集合在论述中不变，因此集合在论述中没有一致性问题。但另一方面，某个聚集是否为集合是相对于论述的，这使得该定义也很难被使用。其实，真正的问题是要确定什么样的聚集在什么样的论述中是集合。

静止聚集定理：静止聚集对任何论述都是集合。

另一方面，也可以从论述入手，考察什么样的论述可以保证所有聚集都是集合。如果能找到一些论述的规则，使得只要遵守了这些规则，所有聚集在论述中都不会改变，那么所有聚集在这样的论述中也就都是集合了。

定义16：一个论述被称为合理论述(rational discourse)当且仅当它的论域为该论述开始时的当前宇宙的那一宇宙实例U₀或者为某个聚集相对于U₀的实例。

宇宙实例和聚集实例都是静止聚集。静止聚集的元素都是静止的，所以在一个合理论述开始时已经存在的聚集都不会在论述中改变。对于在论述中定义的聚集D，论述所引用的是D相对于U₀的实例，因此也是静止的。如果D是论域中的对象，那么D不会对论域发生任何影响，如果D是论域中的对象，那么D在论述中只能被当作聚集使用，不能作为对象使用，因此对论域也不会有影响。因此，所有聚集在论述中都不会改变。

引理5：一个论述是一个合理论述如果下述规则都被遵守：

1. 当前宇宙被锁定为论述开始时的当前宇宙。当在论述中定义聚集时，当前宇宙不随宇宙的演进而演进。
2. 一个聚集D在论述中只能被当作聚集使用而不能被当作对象使用除非可以证明D是当前宇宙中的对象。因此，D不能成为一个聚集的元素除非可以证明D是当前宇宙中的对象。
3. 只用普通性质定义聚集，不用特殊性质定义聚集，而且所定义的聚集是合理聚集意义上的聚集。
4. 如果一个普通性质P(x)不含在论述中地定义的聚集，且在概括定理意义上可以定义聚集D，则D可以被认为是当前宇宙中的对象。

引理5是一个更方便使用的关于合理论述的版本。其中锁定当前宇宙只是一种形象的说法，当前宇宙是不能被锁定的。但以U₀作为论域的效果和形象地锁定当前宇宙是一样的：当前宇宙在论述中保持不变。第4条的根据是“可能的事可以被认为是已经发生过的事”这一原则。如果一个普通性质可以定义聚集，那么人们可以认为该聚集在本论述开始前已经被定义过，因此是当前宇宙中的对象。这是一个一般规则，并不特别针对合理论述。放在这里只为方便使用。

一个命题被用合理论述证明和被用其它论述证明其有效性是一样的：所证明的都是该命题在当前宇宙中为真。只是并非所有问题都能被表达成能用合理论述证明的命题。

合理论述定理：在一个合理论述中，所有普通性质都可以定义聚集，而且所有聚集都是集合。

人们通常使用的不锁定当前宇宙的论述被称为自然论述。

5．集合运算

集合运算是一种定义聚集的方法，它根据两个已有的聚集定义新的聚集。

定义17：对于聚集D和F，如果性质P(x)=((x∈D)∧(x∈F))能定义聚集，则由P(x)定义的聚集G称为聚集D和F的交。交由G=D∩F表示。

定义18：对于聚集D和F，如果性质P(x)=((x∈D)∨(x∈F))能定义聚集，则由P(x)定义的聚集G称为聚集D和F的并。并由G=D∪F表示。

定义19：对于聚集D和F，如果性质P(x)=((x∉D)∧(x∈F))能定义聚集，则由P(x)定义的聚集G称为聚集D相对于F的补。相对补由G=D＼F表示。

聚集的交，并和相对补统称为集合运算。对应的G称为运算结果。集合运算对应的性质都是普通性质。在一个自然论述里，如果D和F为演进聚集，则它们的集合运算是否有意义取决于相应的性质能否定义聚集。所以，集合运算并不对所有聚集都有意义。

在进行集合运算时，如果G是对应性质的合理聚集，当宇宙演进至包含G的实例U₁时，相应的D和F也发生了演进。如果G在U₁中既属于D且属于F，则它们的交没有意义，否则交有意义。同样地，如果G在U₁中属于D或属于F，则它们的并没有意义，否则并有意义。如果G在U₁中不属于D但却属于F，则D的相对于F的补没有意义，否则D的相对于F的补有意义。

引理7：对于静止聚集D和F，D∩F，D∪F和D＼F有意义，且D∩F，D∪F和D＼F也都是静止聚集。

推论1：对于静止聚集D和任意普通性质P'(x)，性质P(x)=(x∈D)∧P'(x)可以定义聚集，且由P(x)定义的聚集是静止聚集。

在一个合理论述中，当前宇宙不随着聚集的定义而改变，因此聚集在一个论述中是保持“静止”的。

引理8：在一个合理论述中，对任意聚集D和F，D∩F，D∪F和D＼F有意义。

在一个合理论述中，集合操作的结果是一个新定义的聚集，因此它在论述中只能作为聚集被使用，不能作为对象来使用，除非能够证明它是当前宇宙中的一个对象。

集合操作定理：对于任意集合D和F，D∩F，D∪F和D＼F有意义。

集合操作定理并没有提供比引理7和引理8更多的信息。把它作为一个定理只是要说明“集合操作”这一用词是恰当的。

有了集合操作和合理论述这两个工具，我们可以证明前面留下的“由当前宇宙中所有序数构成的聚集是一个序数”这一命题。先引进“序数的前段”这一概念。一个由序数构成的聚集D被称为是一个序数的前段当且仅当D是一个传递聚集。由当前宇宙中所有序数构成的聚集D是一个传递聚集因为每个序数的元素都是序数因而是D的子聚集。要证明D是一个序数只要证明D关于序∈是良序的就可以了。

考察集合论中关于同一命题的证明可知，证明中使用了集合运算，但集合运算的结果都只被当作集合来使用，没有将集合运算的结果当作对象来使用的情况。因此，可以将集合论中的证明移植过来，作为一个合理论述，这样就可以证明所要证明的命题了。下面将证明的步骤以引理的形式列出，在原文中也只对个别引理进行了证明作为例子。

引理E1：对任意非空序数u，Ø∈u。

引理E2：对任意序数u和v，u∩v是一个序数。

引理E3：对任意序数u和v，如果u⊂v，则u∈v。

引理E4：对任意序数u和v，下列三种情况有且只有一种为真：u=v，u∈v或v∈u。

引理E5：如果x，y和z都是序数，且x∈y，y∈z，则x∈z。

引理E6：如果D是一个序数的非空聚集，则D中存在最小元，即∃x((x∈D)∧(∀y(y∈D→((x∈y)∨(x=y))))。

引理E7：如果D是由序数构成的聚集，则D关于序∈是良序的。

根据引理E7，序数的前段关于序∈是良序的，因此序数的前段是一个序数。因为由当前宇宙中所有序数构成的聚集是一个序数，因此普通性质P(x)=”x是一个序数”不能定义聚集。因此序数悖论在此不成立。P(x)的合理聚集D是当前宇宙中的最大序数。D是当前宇宙中的最大序数因为D不是当前宇宙中的对象，因此在当前宇宙中它没有后继。序数只是一个聚集，并不需要是当前宇宙中的对象。D只是当前宇宙中的最大序数，即只是相对最大。没有绝对最大的序数，因为如果存在绝对最大的序数F，那么当包含F的宇宙实例成为当前宇宙时，F的后继是比F大的序数，矛盾。静止的宇宙模型使得序数悖论忽略了相对最大存在的可能性，即那个相对最大的序数不是当前宇宙中的对象，从而导致了矛盾。

至此集合论的雏形已经有了。还剩“聚集系统，构造系统和归纳法”主要处理构造的问题并引出无穷聚集和幂聚集，和“证明ZF系统”两节。眼下有更重要的事要处理，此事只好先放一下。先以第一部分的形式发表。