关于平行线相交的问题，答 trivial 和 Numero

我说的一个故事

 Lobachevsky上中学的时候，发现可以让平行线相交 建立新的几何学。被老师斥责无可救药。他苦恼至死，死后12年公认 - 兄贵 

我写了这么一句后，被两个网友质疑：

• 更正一下：是线外过一点可以有不止一条平行线。任何几何学中“平行线”的定义都是不相交的线。 - trivial - 

你那个Lobachevsky的典故理解错了，给你批判一下 LOL

来源: Numero 于 2023-03-20 13:23:04 [档案] [博客] [旧帖] [给我悄悄话] 本文已被阅读： 44 次 (469 bytes)

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任何几何学中平行线的定义是：如果两条线没交点则称为平行。

欧氏几何中是这样：“过线外一点有且只有一条线和已知线平行”

而非欧氏几何（Lobachevskian geometry），也就是双曲几何，平行线多了而已

是这样的： “过线外一点至少有两条不同的线和已知线平行“

其实可以有无数多条。。。

这两位应该是大学数学教授，所以我觉得应该回答一下。

首先我说的是 一个众所周知的事实，不知道他们反对什么，网上可以查，类似的很多：

https://k.sina.com.cn/article_6501934712_1838ba67800100rviq.html?from=science 

首先我说的没有错。再来看他们的论点：

trivial说的，任何几何学中“平行线”的定义都是不相交的线 反而是错的，诺巴切夫斯基和黎曼都是从质疑平行线是否相交开创的非欧几何的研究，而且平行线相交也是一种流行说法，见：

Numero 给了欧几里得几何和双曲几何的平行线定义。欧几里得几何是处处曲率为1 的特别特殊的几何，双曲几何是无数非欧几何中一种特别的几何，罗巴切夫斯基重点研究了双曲几何，黎曼重点研究了椭圆几何。这些都是一些特例，随便说一句，双曲几何可以引无数条平行线。你给的两个特例定义，完全不能否定从平行线相交的质疑。而且椭圆几何的平行线，确实是相交的，如地球经线相交在南极北极。

在非欧几何中，不存在直线的概念，所以，我从来不用平行线这个词。非欧几何中最短的是测地线，距离的系数是度规，从度规可以计算曲率，各个地方的曲率可以完全不同，甚至难以计算。欧几里得几何的平行线，在微分几何中，平行线相当于是曲面或者流形上的于测地线成90度角的系列线，因为测地线是曲率最小的曲线，沿着测地线平移的向量的大小和方向不会改变，对于给定的度规张量，这些“平行线”可以通过求测地线的微分方程来求解。

所以，Numero 的两个定义是可取的，但是不全面，更没有动摇我的说法。而trivial是完全不靠谱的。