台湾退役少将于北辰在2022年8月参加岛内的一档电视政论节目时，做出了如下“计算”：
“通常天弓一发的拦截率是70%，这样的拦截率已经很高。但是为了以防万一，我们三发一起拦截，拦截率就是210%！”
当时有台湾网友回应：“照这逻辑，四杯25℃的水倒在一起，直接就沸腾了！”
原以为只是个别官员愚蠢，“肉食者鄙，未能远谋”。最近发现同胞中有很多人缺乏基本的概率知识，所以作个说明。
发三枚导弹打靶，有四个事件可能发生：1）三发三中，2）三发两中，3）三发一中，4）三发零中。相对于这四种事件的概率由以下的二项分布函数决定：
(p + q)^3 = p^3 + 3*p^2*q + 3*p*q^2 + q^3
上面的二项式展开有四项，分别对应上面四个事件的概率。
1）三发三中：p^3
2）三发两中：3*p^2*q
3）三发一中：3*p*q^2
4）三发零中：q^3
p是天弓每发的拦截率（= 0.7），q = 1 – p = 0.3，所以
1）三枚都打中：p^3 = 0.343
2）三发两中：3*p^2*q = 0.441
3）三发一中：3*p*q^2 = 0.189
4）三发都不中：q^3 = 0.027
至少有一枚击中的概率是 1 – 0.027 = 0.973
据说最先进的反导导弹可以达到平均85%的拦截率。这样的导弹，只要两枚就可以达到97.75%的成功拦截率。美国和以色列现在基本上是两枚拦截导弹打一枚进攻导弹。
概率论的近代祖师爷是俄罗斯的安德烈·柯尔莫哥洛夫。他将一切概率推导都归纳于概率空间之内。这个概率空间有三部分。第一是由实验所决定的抽样空间（sample space），即基本事件的集合。如果实验是打靶，其抽样空间就只有两个基本事件：中靶和脱靶。第二是事件空间（event space），包括基本事件和复合事件。“三发两中”就是一个复合事件。第三就是概率函数，给各不同事件提供概率，如上面的二项分布就给上面的四个复合事件提供了相应的概率。从此以后，概率论就规范化了。
如5个人3副牌打红桃勾，总共是162张牌。主牌是6个王12个勾加上其他3*12张红桃总共54张主。所以每人预期可以抓到54/5 张主牌（约11张主牌）。底牌7张，每人抓31张牌。每抓一张牌，是主牌还是副牌构成两个基本事件，概率分别为p = 54/162 和 q = 1 – p。抓到多少张主牌由如下的二项分布式决定：
(p + q)^31
如果你不是庄家而抓到了14张主牌，是不是可以连着出主牌而打得庄家没主了让你用勾扣底呢？你抓到14张或更多主牌的概率只有0.1152，所以机会难得。因为你抓到了14张主牌，其他人就总共只有40张主牌，所以他们抓到一张主牌的概率是p = 40/(162-31) 。庄家连底牌一起有38张牌，所以他的主牌数由如下的二项分布式决定：
(p + q)^38
他有14张或更多主牌的概率是0.2482。如果有四次这样的牌，你平均会有三次打得庄家没主，让你的勾扣底。当然你还得有其他考虑。如果其他三个人愁眉苦脸，那庄家有14张或更多主牌的概率很可能大于0.2482；如果其他三个人喜形于色，那庄家有14张或更多主牌的概率很可能少于0.2482。
当然也有德高望重的老者，只求娱乐，不求输赢。看到其他人面红耳赤，心中暗喜，知道自己心如止水，成佛在即。
你问的问题是：“在最多 n 次独立试验中，第一次成功发生在第几次？”这是个几何分布。
博主的问题是，“在 n 次独立试验中，一共成功了几次？”这是个二项分布。
雷神公司的产能确实出人意料之外。泽林斯基说每个月产65枚（略多于每天2枚），但是这次战争的第一天就发射了803枚，即相当于一年多的产量。所以美国要求NATO国家增援。南韩总统李在明抱怨说美国把部署在南韩的THAAD给搬到中东去了。估计部署在台湾的都是假货，不然也会被搬到中东去。
可以看这幅照片。
https://www.twz.com/patriot-missiles-paired-with-naval-vertical-launchers-pitched-by-lockheed
每一辆爱国者导弹发射车有 16 个排列紧密的发射筒。
每一枚导弹发射以后，都有一个巨大的锥形火龙尾巴，还四散废部件。
如果三个发射筒同时发射导弹，三枚导弹并肩冲天，之间只有几厘米距离，随机的震动和四散的废零件大概率会使它们射出不久就会碰撞、自毁。
所以，根据常识推测，如果目的是击中敌方导弹而不是自毁，三枚导弹同时发射不太可能。
不全是。
我的猜测是：爱国者导弹发射车分开、连续发射三枚导弹。一枚导弹射出以后，等火龙消失、空气恢复常态，马上就发射下一枚，而不是等到上一枚没击中再发射下一枚。
这样，不会有三枚导弹并肩冲天，互撞自毁。
一枚导弹也不会钻进上一枚导弹的火龙尾巴里被烧掉。
我猜，三枚导弹会分别针对敌方导弹轨迹的三个不同阶段，你打这一公里，我打下一公里，它打下下一公里。
保护美国在波斯湾的伊朗对面的十几个军事基地，加上大使馆和要害部门的爱国者反导弹系统的“弹药”出现严重危机。雷神公司目前的产能是每天2枚（不是开玩笑）。开战头两天伊朗用老旧液体燃料导弹诱使这些爱国者系统耗尽弹药，接着用新型导弹进攻。美国在这些基地的设施，特别是固定雷达损失惨重。。。我当然不同情伊朗神棍政权，但这场战争对美国没有半点好处。如果伊朗政权不倒，老川又能够“胜利”撤军，那一定是亏在一般人看不见的地方。
实际上，如果抽象地讨论概率，博主和新林院说的不是一回事。 博主的计算，给出了某一个事件组合发生的概率，是一个“路径”问题； 而新林院的计算着眼于“打中”的概率，是只谈“结果”。 概念不同，不是一回事，两者容易被误解。
如果着眼于“打中打不中”， 那就可以简单用 （1-q^发数）来计算， 所以两种思路在三发导弹打中/打不中的问题上结论是一样的，也是博主说，如果拦截成功率是85%，两枚就可以达到97.75%的成功拦截的计算
1 - f(0) 就是至少有一枚击中的概率 --> 97.3%
如之前导弹击中，则再击中概率=0，如之前导弹未击中，基于独立性，每发击中概率还是=70%
2发中1发击中的概率 = 1 - P（都没击中）- P（都击中）= 1 -（1- 0.7）**2 - 0 =0.91
同理，3发中1发击中的概率 = 1 -（1- 0.7）**3 - 0 = 0.973
我有以下分析。我不是权威，只供讨论，看对不对。
我认为：1）三发三中，2）三发两中，这两个事件都不可能发生。
三发里的第一发击中以后，敌方导弹就成了碎片，第二、第三发拦截弹就无目标可击，所以不可能三发三中。
所以，有四个事件可能发生：（这四个事件是 mutually exclusive，而且包括所有结果，所以总概率是 1。）
（1）第一发击中
（2）第一发没击中，第二发击中，
（3）第一发没击中，第二发没击中，第三发击中
（4）第一发没击中，第二发没击中，第三发没击中
假设一发拦截弹的拦截率是70%。
（1）的概率是70%。（第一发没击中的概率是30%）
（2）的概率是30% X 70% = 21%（第一发或第二发击中的概率是70% + 21% = 91%。第一发和第二发都没击中的概率是9%。）
（3）的概率是 9% X 70% = 6.3%（第一发或第二发或第三发击中的概率是91% + 6.3% = 97.3%。）
（4）第一发和第二发和第三发都没击中的概率是2.7%。
综合到一起：第一发或第二发或第三发击中的概率是97.3%。第一发和第二发和第三发都没击中的概率是2.7%。
好奇，我认为博主“三发三中、三发两中”的事件都不可能发生，怎么我的结果和博主的结果一样？