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费尔马大定理及其证明

(2008-01-25 14:29:35) 下一个

近代数学如参天大树,已是分支众多,枝繁叶茂。在这棵苍劲的大树上悬挂着不胜其数的数学难题。其中最耀眼夺目的是四色地图问题、费尔马大定理和哥德巴赫猜想。它们被称为近代三大数学难题。
  300多年以来,费尔马大定理使世界上许多著名数学家殚精竭虑,有的甚至耗尽了毕生精力。费尔马大定理神秘的面纱终于在1995年揭开,被43岁的英国数学家维尔斯一举证明。这被认为是“20世纪最重大的数学成就”。

费尔马大定理的由来

  故事涉及到两位相隔1400年的数学家,一位是古希腊的丢番图,一位是法国的费尔马。丢番图活动于公元250年前后。

  1637 年,30来岁的费尔马在读丢番图的名著《算术》的法文译本时,他在书中关于不定方程 x^2+ y^2 =z^2 的全部正整数解这页的空白处用拉丁文写道:“任何一个数的立方,不能分成两个数的立方之和;任何一个数的四次方,不能分成两个数的四次方之和,一般来说, 不可能将一个高于二次的幂分成两个同次的幂之和。我已发现了这个断语的美妙证法,可惜这里的空白地方太小,写不下。”

  费尔马去世后,人们在整理他的遗物时发现了这段写在书眉上的话。1670年,他的儿子发表了费尔马的这一部分页端笔记,大家才知道这一问题。后来,人们就把这一论断称为费尔马大定理。用数学语言来表达就是:形如x^n+y^n=z^n的方程,当n大于2时没有正整数解。

  费尔马是一位业余数学爱好者,被誉为“业余数学家之王”。1601年,他出生在法国南部图卢兹附近一位皮革商人的家庭。童年时期是在家里受的教育。长大以后,父亲送他在大学学法律,毕业后当了一名律师。从1648年起,担任图卢兹市议会议员。

  他酷爱数学,把自己所有的业余时间都用于研究数学和物理。由于他思维敏捷,记忆力强,又具备研究数学所必须的顽强精神,所以,获得了丰硕的成果,使他跻身于17世纪大数学家之列。

艰难的探索

  起初,数学家想重新找到费尔马没有写出来的那个“美妙证法”,但是谁也没有成功。著名数学家欧拉用无限下推法证明了方程 x^3+y^3=z^3和x^4+y^4=z^4不可能有正整数解。

  因为任何一个大于2的整数,如果不是4的倍数,就一定是某一奇素数或它的倍数。因此,只要能证明n=4以及n是任一奇素数时,方程都没有正整数解,费尔马大定理就完全证明了。n=4的情形已经证明过,所以,问题就集中在证明n等于奇素数的情形了。

  在欧拉证明了 n= 3, n= 4以后, 1823年和 1826年勒让德和狄利克雷各自独立证明了 n= 5的情形, 1839年拉梅证明了 n= 7的情形。就这样,一个一个奇素数证下去的长征便开始了。

  其中,德国数学家库默尔作出了重要贡献。他用近世代数的方法,引入了自己发明的“理想数”和“分圆数”的概念,指出费尔马大定理只可能在n等于某些叫非正则素数的值时,才有可能不正确,所以只需对这些数进行研究。这样的数,在100以内,只有37、59、67三个。他还具体证明了当 n= 37、59、67时,方程x^n+y^n=z^n是不可能有正整数解的。这就把费尔马大定理一下推进到n在100以内都是成立的。库默尔“成批地”证明了定理的成立,人们视之为一次重大突破。1857年,他获得巴黎科学院的金质奖章。

  这一“长征”式的证法,虽然不断地刷新着记录,如 1992年更进到n=1000000,但这不等于定理被证明。看来,需要另辟蹊径。

10万马克奖给谁

  从费尔马时代起,巴黎科学院曾先后两次提供奖章和奖金,奖励证明费尔马大定理的人,布鲁塞尔科学院也悬赏重金,但都无结果。1908年,德国数学家佛尔夫斯克尔逝世的时候,将他的10万马克赠给了德国哥庭根科学会,作为费尔马大定理的解答奖金。

  哥庭根科学会宣布,奖金在100年内有效。哥庭根科学会不负责审查稿件。

  10万马克在当时是一笔很大的财富,而费尔马大定理又是小学生都能听懂题意的问题。于是,不仅专搞数学这一行的人,就连很多工程师、牧师、教师、学生、银行职员、政府官吏和一般市民,都在钻研这个问题。在很短时间内,各种刊物公布的证明就有上千个之多

  当时,德国有个名叫《数学和物理文献实录》的杂志,自愿对这方面的论文进行鉴定,到 1911年初为止,共审查了111个“证明”,全都是错的。后来实在受不了沉重的审稿负担,于是它宣布停止这一审查鉴定工作。但是,证明的浪潮仍汹涌澎 湃,虽然两次世界大战后德国的货币多次大幅度贬值,当初的10万马克折算成后来的马克已无多大价值。但是,热爱科学的可贵精神,还在鼓励着很多人继续从事 这一工作。

姗姗来迟的证明

  经过前人的努力,证明费尔马大定理取得了许多成果,但离定理的证明,无疑还有遥远的距离。怎么办?来必须要用一种新的方法,有的数学家用起了传统的办法——转化问题。

  人们把丢番图方程的解与代数曲线上的某种点联系起来,成为一种代数几何学的转化,而费尔马问题不过是丢番图方程的一个特例。在黎曼的工作基础上,1922 年,英国数学家莫德尔提出一个重要的猜想。:“设F(x,y)是两个变数x、y的有理系数多项式,那么当曲线F(x,y)= 0的亏格(一种与曲线有关的量)大于1时,方程F(x,y)=0至多只有有限组有理数”。1983年,德国29岁的数学家法尔廷斯运用苏联沙法拉维奇在代 数几何上的一系列结果证明了莫德尔猜想。这是费尔马大定理证明中的又一次重大突破。法尔廷斯获得了1986年的菲尔兹奖。

  维尔斯仍采用代数几何的方法去攀登,他把别人的成果奇妙地联系起来,并且吸取了走过这条道路的攻克者的经验教训,注意到一条崭新迂回的路径:如果谷山——志村猜想成立,那么费尔马大定理一定成立。这是1988年德国数学家费雷在研究日本数学家谷山——志村于1955年关于椭圆函数的一个猜想时发现的。

  维尔斯出生于英国牛津一个神学家庭,从小对费尔马大定理十分好奇、感兴趣,这条美妙的定理导致他进入了数学的殿堂。大学毕业以后,他开始了幼年的幻想,决心去圆童年的梦。他极其秘密地进行费尔马大定理的研究,守口如瓶,不透半点风声。

  穷七年的锲而不舍,直到1993 年6月23日。这天,英国剑桥大学牛顿数学研究所的大厅里正在进行例行的学术报告会。报告人维尔斯将他的研究成果作了长达两个半小时的发言。10点30 分,在他结束报告时,他平静地宣布:“因此,我证明了费尔马大定理”。这句话像一声惊雷,把许多只要作例行鼓掌的手定在了空中,大厅时鸦雀无声。半分钟 后,雷鸣般的掌声似乎要掀翻大厅的屋顶。英国学者顾不得他们优雅的绅士风度,忘情地欢腾着。

  消息很快轰动了全世界。各种大众传媒纷纷报道,并称之为“世纪性的成就”。人们认为,维尔斯最终证明了费尔马大定理,被列入1993年世界科技十大成就之一。

  可不久,传媒又迅速地报出了一个“爆炸性”新闻:维尔斯的长达200页的论文送交审查时,却被发现证明有漏洞。

  维尔斯在挫折面前没有止步,他用一年多时间修改论文,补正漏洞。这时他已是“为伊消得人憔悴”,但他“衣带渐宽终不悔”。1994年9月,他重新写出一篇108页的论文,寄往美国。论文顺利通过审查,美国的《数学年刊》杂志于1995年5月发表了他的这一篇论文。维尔斯因此获得了1995~1996年度的沃尔夫数学奖。
  经过 300多年的不断奋战,数学家们世代的努力,围绕费尔马大定理作出了许多重大的发现,并促进了一些数学分支的发展,尤其是代数数论的进展。现代代数数论中 的核心概念“理想数”,正是为了解决费尔马大定理而提出的。难怪大数学家希尔伯特称赞费尔马大定理是“一只会下金蛋的母鸡”。

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