闲侃(3)：为什么空间是三维的

这几天码了两个闲侃帖，尽管没有一 个公式符号，但是内容都比较“物理”，所以留给诸位物理学家和蒙古物理学家们海阔天空的余地就不大。光从论坛的回帖看，靠谱的评论几乎是没有，倒是博克这 一块能见到几个闪光点，呵呵。不过俺注意到了，就回帖的内容看，最受广大物理学家和蒙古物理学家们关注的话题之一就是空间和时间。相比之下，时间更 subtle，所以这里我们先谈谈空间。尽管若问“什么是空间”、“空间是如何来的”这样的问题，大家的回答会五花八门，但是我想大部分人都会觉得“空 间”这个概念比“时间”这个概念“简单”些，对不对。这里俺起草个不那么“物理”的话题：为啥空间是三维的。这样的话题，和前面几个闲侃相比，肯定比较 “哲学化”一些，所以留给大家胡掰的余地就大很多 (这里俺们先不谈什么是空间这样看起来更模糊、更哲学甚至更文学更艺术的话题)。

为啥空间是三维的？算是这样一个看上去比较具体的问题，science/physics 里也没有解答，至少没有公认的解答。须知咱们的数学和物理学就描述形式而言，并没有要求空间必须是三维，而是可以任意维的 (其实无论是经典物理学还是量子力学，拉格朗日/哈密顿量还不止容纳几维空间这样的宏观物理量，而且还能容纳广义坐标以及内秉物理量等多得多的自由度，例 如电荷、自旋、色荷等)，但为啥空间偏偏是三维而不是别的维数呢？你可以说出很多五花八门的解释，例如我们人类智慧有限、或者观测手段有限，感知不到、观 测不到四位空间啦，或者我们这个宇宙就是三维空间、但是别的宇宙是多维空间 (例如四维、九维甚至二维) 啦，甚至你还可以和耶和华、佛学扯上联系。这些解释，即使对，总是给人遥远而不得要领的感觉。

有没有比较令人信服一些的解释呢？有。这里我们介绍两个。
1) 超弦理论 & Related。关于超弦理论，俺不敢胡掰什么，因为俺只有科普意义上的了解。众所周知，SuperString Theory 的空间是 9 维的 (共十维时空)。基于SuperString Theory 的M理论要求空间的维数更多，例如 11 维、26 维时空。但是无论怎么样，在超对称最终破缺后，所有额外的空间维数都必须坍缩到普朗克尺度 (大约是 10 的负 33 次方厘米。普朗克尺度相对电子的经典直径，比一颗尘埃相对於太阳，可小多了)，只剩下三维。这是因为，物理是 science，必须和咱们的世界合拍。

有的同学可能很快就会反问：你 (其实是那些研究超弦的数学家和物理学家) 这不等于啥也没说么？为啥大爆炸开始时你的时空是十维 (or more)？就算暂且承认十维有理，那为啥超对称破缺后空间不能坍缩到只剩下四维、而只能是三维？

根本不能令你信服是不？很可能。但是如果有人证明过，例如用计算机模拟，计算结果显示，大 爆炸开始后宇宙从10维 (1+9)时空演化到位4 (1+3)维时空 (亦即我们现在这个宇宙) 的 probability 最大，那你是不是认为这个解释合理不少？(这方面，有兴趣的同学可以参阅这篇 PDF 格式的综述：The Dimension of Decompactified Spacetime from String Theory：http://arxiv.org/pdf/hep-th/9406102v1)

2) From Bertrand's Theorem (伯特兰定理)
SuperString Theory 给出的解释还是有些牵强附会，对不对？我也觉得是，何况 SuperString Theory 是不是 valid physics，都还是疑问。还有没有更令人信服的解释？有。这就是从经典物理学中著名的  Bertrand's Theorem 出发给出的解释。 Bertrand's Theorem 是啥，大家可以参见 wiki 百科的解释：http://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_theorem。这个定理在说，对所有被束缚的质 点，只有两种位势 V 可以给出闭合轨道：
a) 位势和半径成反比的向心势；或者说，作用力是向心力而且大小和距离成反比 (最著名的例子自然就是万有引力、正电荷和负电荷之间的库仑力)；
b) 位势和距离的平方成正比的简谐振子势；例如遵循虎克定律的弹簧。

好，咱们以约束天体运动的主要作用力：万有引力为例来说明空间为啥必须是三维。假设是四 维，那么万有引力的强度会和半径的三次方成反比 (而三维空间万有引力的强度和半径的平方成反比)，Bertrand 定理告诉你，这样的天体运动 (例如地球绕太阳转动) 不能形成闭合的轨道，不能形成闭合轨道的直接后果就是地球上没有生命赖以形成的稳定环境，于是生命不会出现，自然就更谈不上 human being 了。

所以，尽管我们不能肯定所有的宇宙必须是三维的，但是我们这个宇宙必须是三维的，否则我们就不会存在，自己就谈不上在这里讨论咱们这个宇宙为啥是三维了。

用 Bertrand 定理解释我们这个宇宙为啥是三维的，很有说服力，是不是？我觉得是的。

说到这里，本来应该打住了。现在突发奇想，俺也来忽悠一个可能的解释看看。昨天俺说到了著名的诺特定理。这个定理大致的意思是，物理学上基于哈密顿体系的表述中，每一种对称性对应于一个守恒流。用大家熟悉的例子来说，咱们的经典物理存在七个宏观意义上的守恒：
a) 能量守恒 (对应时间平移对称)，一个守恒量，因为你只有一维时间；
b) 动量守恒 (对应空间平移对称)，三个守恒量，因为你有三维空间；
c) 角动量守恒 (对应空间转动对称)，三个守恒量，因为你有三个欧拉角。

略去 a) 不谈 (因为和我们的话题没关系)，仔细研究 b) & c)，你发现了什么？对三维空间，你有三个自由度的平移，也有三个自由度的转动，它们刚好相等，而对非三维空间，这个 claim 是不成立的，例如对二维空间，你有两个自由度的平移，但是很明显只有一个自由度的转动；对四维空间，你有四个自由度的平移，却有六个自由度的转动 (用代数的语言说，就是 SO(n) 群有 n(n-1)/2 个生成元)。这可能不是巧合，可能有某种原因要求咱们这个空间的平移的自由度等于转动的自由度 (从而必须是三维)。当然，在想出这个可能存在的原因前，俺这只能算海阔天空般的忽悠了。

[紫色王家]

谢谢两位

[洋洋日记]

因为地球的速度，其他维度都可以近似为匀速运动，只有三维是非匀速的。比如，当在光速运动时，时间的维度产生弯曲，那就是4维空间了，也就是说时间维度可感知是在光速下的。

[四则舍]

建议楼主同学去找一本“宇宙的创生”（方励之/李淑娴，1987）读一读。写得很清楚。