康MM讲座
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正文
拿石子游戏(NIM)
NIM是一种两人玩的游戏，规则是这样的：有三堆石子，每堆分别有三，五，七个。两人轮流拿，每次拿的个数不限，但只能从一堆拿。拿最后一个的胜。围绕着NIM棋有一整套理论。我们从简单讲起。
问题1。有一堆50个石子。每人每次可以拿1到10个，拿最后一个的胜。第一次拿几个可以保证必胜？
这道题比较简单。只要给对方11的倍数就行了。因为 50 = 6 mod 11，第一次应该拿6个。但是从这里我们可以展开NIM理论。
这种游戏有下列特征：
1。游戏由一系列(有限个)不可逆状态组成。
2。允许走法由状态决定。
3。到不能继续时游戏结束，走最后一步的人胜。
如果对一个状态必胜策略存在，称之为胜状态，否则为负状态。从胜状态出发，一步一定可以到达一个负状态，而从负状态出发，一步到达不了另一个负状态，只能到达胜状态。对每一种状态P定义P的NIM值N(P)如下：
1。不能继续的状态的NIM值为0。
2。对状态P，设S为所有从P可以一步到达的状态的NIM值的集合。则N(P)等于不在S中的非负整数中最小的。
比如说，如果从P出发可以一步到达的状态的NIM值为0，1，2，5，7，N(P)就为3。容易看出下列定理：
定理1。状态P是胜状态的充分必要条件是N(P) > 0。必胜策略是达到NIM值为0的状态，即负状态。
我们看看怎样用定理1来解问题1。根据定义可以算出来正整数n的NIM值等于N(n) = n mod 11。必胜策略是拿走n除以11的余数。
再看一个例子：
问题2。有充分多的一分，五分，十分，二十五分，五十分，一百分硬币。二人轮流向一个瓶内投硬币，每次一枚，先投到20.05元为胜，超过为负。第一次应该投哪一个硬币？
这个问题相当于有一堆2005个石子，每次可拿一，五，十，二十五，五十，一百个。计算可得前15个NIM值为：1,0,1,0,1,0,1,0,1,2,3,2,3,2,0。15以后为周期性。因为2005 = 10 mod 15，其NIM值为2。必胜策略为投十分，二十五分，或一百分。
有时问题不用理论也能解，例如
问题3。有一块6X8的矩形巧克力，左下角那一块坏了。两人分吃，每次掰掉一条，即剩下的还是矩形。吃最后一块为负。第一次应该掰多少？
当然是给对方留下正方形，即第一次掰2X6。如果用NIM值来算。下面是每个矩形的NIM值：
5，4，7，6，1，0，3，2
4，5，6，7，0，1，2，3
3，2，1，0，7，6，5，4
2，3，0，1，6，7，4，5
1，0，3，2，5，4，7，6
0，1，2，3，4，5，6，7
还有时即使用了理论也不好解，例如
问题4。(和上一题差不多。)有一块6X8的矩形巧克力，左下角那一块坏了。两人分吃，每次掰时，先选定一块，然后把这块及其上面和右面的都掰掉。(剩下的是锯齿形。)吃最后一块为负。第一次应该掰多少？
这一题的NIM值就很难算了，要编一个程序才行。下面是矩形的NIM值。(还不包括锯齿形。)
5，8，12，16，21，13，28，32
4，7，11，13， 6，21，23，22
3，5， 9， 6，13，16，19，12
2，4， 5， 9，11，12，13，16
1，2， 4， 5， 7， 8，10，11
0，1， 2， 3， 4， 5， 6， 7
从这里可以看出问题4的必胜策略存在，但看不出是什么。再继续计算锯齿形的NIM值才能知道唯一必胜策略是掰掉4X5的一块。
有意思的是在这个问题中大于1X1的矩形的NIM值都不是0。这是可以证明的：设P为一个矩形状态，P’是P掰掉右上角的一小块后剩下的锯齿形状态。注意所有从P’能一步达到的状态，都能从P一步达到。因此不论N(P’)是否为0，N(P)都不为0。这样我们就得到了一个非构造性的证明：任何大于1X1的矩形状态都是胜状态。
下面一道题也是非构造性的。
问题5。一张纸上写着从1到N的自然数。两人轮流从纸上擦去一个数。这个数的所有因子自动消失。比如：划掉数8， 则纸上 8 4 2 1自动消失。划掉最后一个数的人获胜。问：当N=3000 的时候，最后谁赢?
第一个人一定能赢。假设他不能赢，则不管他划几，第二个人都能赢。第一个人就划1，设第二个人划k能赢。但第一个人可以直接划k，就赢了。
我们注意到，在上面的理论中，NIM值只是0才有用。只要算到1就行了，大于1的可以都算成1。还有另一个问题就是NIM值太难算。下面我们对一大类游戏来简化NIM值的计算，算法中就要用到大于1的NIM值了。
这类游戏可以分解为几个独立子游戏，每个子游戏满足前面的条件，子游戏的规则可以相同也可以不同，每人每次只能在其中一个子游戏中走一步。这类游戏的状态也是由子状态组成的。
定理2。整个状态的NIM值等于对所有子状态的NIM值进行二进制的不进位加法，即逻辑中的XOR运算。
例如，如果三个子状态的NIM值分别为3，5，7，则整个游戏的NIM值为 (11) XOR (101) XOR (111) = 1。我们用圆括号(x)来表示正整数x的二进制形式，如7 = (111)。
定理2的证明不难，只是用到NIM值的定义和二进位数基本运算。但是却十分有用。下面看一看怎样用它计算NIM值及必胜策略。
在NIM游戏里，初始状态「3，5，7」的必胜策略是什么？状态「3，5，8」的必胜策略又是什么？状态「3，4，5，6，7」呢？
前面已经算过这个初始状态的NIM值N「3，5，7」为1，必胜策略就是从任何一堆拿一个就行了。
一般来说，先把NIM值表成二进位数，找一个在NIM值的最高位为1的子状态，然后比较整个状态和子状态的NIM值。所有整个状态为1的位上，子状态是1就改成0，是0就改成1。
例如「3，5，8」的NIM值为14 = (1110)，最高位是第四位。8 = (1000)的第四位为一，所以这个子状态的NIM值应变为(0110) = 6。必胜策略就是在8的一堆上拿两个。
「3，4，5，6，7」的NIM值是3 = (11)。要找一个第二位为1的子状态，3，6，7都可以。大家可以自己算一下应该拿几个。(答案：3，7拿3个，6拿1个)
NIM还有一个变种：走最后一步为负。这种情况下，一开始还是和普通NIM一样，但到了只有一个子状态的NIM值大于1时就不同了。如果有奇数个子状态为1，就把大的一堆拿光，如果有奇数个，就剩一个。也就是说，给对手剩下奇数个1。
下面再看几种NIM类型的游戏。
问题6。现代保龄球是由古希腊一种叫KAYLES的游戏发展而来。KAYLES的规则如下：11个瓶排成一排，两人交替击瓶，可以击倒任意一瓶，也可以击倒相邻两瓶(不准故意击不中)。击倒最后一瓶为胜。现在对手击倒2号瓶，问怎样才能获胜？
这个游戏的特点是可以产生出新的子状态。一开始是状态「11」，现在变成了「1，9」。但所有的原理仍然有效。可以算出前9个数的NIM值为
1，2，3，1，4，3，2，1，4。
因为N「1，9」= 5，必胜策略是把值为4的子状态变成1，简单算一下，N「8」= 1，N「2，6」= 1，所以必胜策略包括击倒3号，5号，9号，11号瓶。
KAYLES游戏的NIM值已经完全解出：除了少数例外，以12为周期取下列值：1，2，8，1，4，7，2，1，8，2，7，4。仅有的13个例外为：N「3」= N「6」= N「18」= N「39」= 3， N「9」= N「21」= N「57」= 4，N「11」= N「22」= N「34」= N「70」= 6，N「15」= 7，N「28」= 5。
类似于问题4，KAYLES中所有单一状态的NIM值也都不是0。实际上也很容易看出，对没有空档的初试状态，必胜策略就是击中央，总数是单数时打一个，双数时打两个。以后保持对称就可以了。
问题7。砍树游戏：在纸上随便画几棵树（例如下图），两人轮流砍。每次可以在任何一个节点处砍掉一枝。可以砍掉整个一棵树。如果一个节点有几个树枝，只能砍掉一枝。最后无树可砍的人负。
就下图而言，先砍能不能获胜？
答案: 如果没有分叉，即每个节点只有一枝，这就变成了标准NIM。有分叉的道理也差不多：左边的树有两枝，中间的树上面两枝可以抵消，中间两枝可以抵消，所以相当于一枝。我们知道在NIM里面（1，2，3）是负状态，所以先砍的人可以把第三棵树左边的小枝砍掉，剩3枝。
对更复杂的树，还有简单算法。
定理。如果在节点处有超过一枝，那么这些枝可以用一枝代替，这一枝的NIM值为这些枝的NIM和。
以右边的树为例，两小枝的NIM值分别为1和2，它们能用值为3的一枝代替，也就是说整个树的NIM值为4。这样就可以清楚的看到唯一正确解是把右边树的NIM值变为3，即砍掉左边小枝。
拿石子类型的游戏多极了，有些是NIM的变种，有些不是，但道理都有点相似。下面给出一些例子：
问题8。有两堆石头，每堆都是100个。现两个人来拿石头，规则如下：
1）只能从一堆拿，至少拿一个，多拿不限；
2）如果某人拿光一堆，这个人可以把另一堆分成两堆，也可以不分；
3）拿最后一个的人赢。
现问先拿者输还是后拿者输？应如何拿？
规则可以稍微改一改：
问题9。有若干堆石子，两人玩拿石子游戏。每人每次可以选下列两种走法之一：任选一堆拿走一个石子，或任选至少有两个石子的一堆，将其分成两堆。什么时候先走的人有必胜策略？
问题10。有若干堆石子，两人轮流拿，每次从其中一堆中拿一个。拿走的石子可以扔掉，也可以加在后面挨着的一堆上。（如果从第3堆拿一个，拿走的石子可以扔掉，也可以加在第4堆上，即使第4堆当时是空的也可以。如果从最后一堆拿，就只能扔掉了。）拿最后一个的胜。
假设一开始有5堆，每堆一个，先拿有没有必胜策略？有几种？
问题11。和第1题一样，但是拿走的一个可以加在后面任意一堆上。（如果从第3堆拿一个，一共有7堆，可以加在第4到第7的任意一堆上。）
还是一开始有5堆，每堆一个，先拿有没有必胜策略？有几种？
问题12。有一堆石子共N颗(N＞1)，两人轮流从中取石子，其数目依次是a1, b1, a2, b2, ....。取石子的规则是：
(1) 第一次不能拿完，即：1≤a1≤N-1;
(2) 以后每人取石子数不能超过对方刚取的数。即：a1≥b1≥a2≥b2≥ ....≥1;
取最后一颗石子的为胜者。什么时候有必胜策略？第一次应该拿几个？
问题13。桌上有一堆石子。你和对手轮流拿。谁拿到最后一颗算谁胜。规则是：
１。第一个人第一次不能拿完。
２。从第二次开始，每次所能拿的颗数是从一到两倍于你的对手上一次拿的颗数。比如你的对手上次拿了４颗，那么你就可以拿１颗到８颗里的任意数。
什么时候有必胜策略？第一次应该拿几个？
问题14。桌上有15个球。两人从中论流取球，每次可以取1，2，3个，最后取完这15个球后，看谁总共取的球数是奇数谁赢。第一次应该拿几个？
问题15。桌上有15个球。两人从中轮流取球，每次可以取1到4个，最后取完这15个球后，看谁总共取的球数是奇数谁赢。第一次应该拿几个？
NIM是一种两人玩的游戏，规则是这样的：有三堆石子，每堆分别有三，五，七个。两人轮流拿，每次拿的个数不限，但只能从一堆拿。拿最后一个的胜。围绕着NIM棋有一整套理论。我们从简单讲起。
问题1。有一堆50个石子。每人每次可以拿1到10个，拿最后一个的胜。第一次拿几个可以保证必胜？
这道题比较简单。只要给对方11的倍数就行了。因为 50 = 6 mod 11，第一次应该拿6个。但是从这里我们可以展开NIM理论。
这种游戏有下列特征：
1。游戏由一系列(有限个)不可逆状态组成。
2。允许走法由状态决定。
3。到不能继续时游戏结束，走最后一步的人胜。
如果对一个状态必胜策略存在，称之为胜状态，否则为负状态。从胜状态出发，一步一定可以到达一个负状态，而从负状态出发，一步到达不了另一个负状态，只能到达胜状态。对每一种状态P定义P的NIM值N(P)如下：
1。不能继续的状态的NIM值为0。
2。对状态P，设S为所有从P可以一步到达的状态的NIM值的集合。则N(P)等于不在S中的非负整数中最小的。
比如说，如果从P出发可以一步到达的状态的NIM值为0，1，2，5，7，N(P)就为3。容易看出下列定理：
定理1。状态P是胜状态的充分必要条件是N(P) > 0。必胜策略是达到NIM值为0的状态，即负状态。
我们看看怎样用定理1来解问题1。根据定义可以算出来正整数n的NIM值等于N(n) = n mod 11。必胜策略是拿走n除以11的余数。
再看一个例子：
问题2。有充分多的一分，五分，十分，二十五分，五十分，一百分硬币。二人轮流向一个瓶内投硬币，每次一枚，先投到20.05元为胜，超过为负。第一次应该投哪一个硬币？
这个问题相当于有一堆2005个石子，每次可拿一，五，十，二十五，五十，一百个。计算可得前15个NIM值为：1,0,1,0,1,0,1,0,1,2,3,2,3,2,0。15以后为周期性。因为2005 = 10 mod 15，其NIM值为2。必胜策略为投十分，二十五分，或一百分。
有时问题不用理论也能解，例如
问题3。有一块6X8的矩形巧克力，左下角那一块坏了。两人分吃，每次掰掉一条，即剩下的还是矩形。吃最后一块为负。第一次应该掰多少？
当然是给对方留下正方形，即第一次掰2X6。如果用NIM值来算。下面是每个矩形的NIM值：
5，4，7，6，1，0，3，2
4，5，6，7，0，1，2，3
3，2，1，0，7，6，5，4
2，3，0，1，6，7，4，5
1，0，3，2，5，4，7，6
0，1，2，3，4，5，6，7
还有时即使用了理论也不好解，例如
问题4。(和上一题差不多。)有一块6X8的矩形巧克力，左下角那一块坏了。两人分吃，每次掰时，先选定一块，然后把这块及其上面和右面的都掰掉。(剩下的是锯齿形。)吃最后一块为负。第一次应该掰多少？
这一题的NIM值就很难算了，要编一个程序才行。下面是矩形的NIM值。(还不包括锯齿形。)
5，8，12，16，21，13，28，32
4，7，11，13， 6，21，23，22
3，5， 9， 6，13，16，19，12
2，4， 5， 9，11，12，13，16
1，2， 4， 5， 7， 8，10，11
0，1， 2， 3， 4， 5， 6， 7
从这里可以看出问题4的必胜策略存在，但看不出是什么。再继续计算锯齿形的NIM值才能知道唯一必胜策略是掰掉4X5的一块。
有意思的是在这个问题中大于1X1的矩形的NIM值都不是0。这是可以证明的：设P为一个矩形状态，P’是P掰掉右上角的一小块后剩下的锯齿形状态。注意所有从P’能一步达到的状态，都能从P一步达到。因此不论N(P’)是否为0，N(P)都不为0。这样我们就得到了一个非构造性的证明：任何大于1X1的矩形状态都是胜状态。
下面一道题也是非构造性的。
问题5。一张纸上写着从1到N的自然数。两人轮流从纸上擦去一个数。这个数的所有因子自动消失。比如：划掉数8， 则纸上 8 4 2 1自动消失。划掉最后一个数的人获胜。问：当N=3000 的时候，最后谁赢?
第一个人一定能赢。假设他不能赢，则不管他划几，第二个人都能赢。第一个人就划1，设第二个人划k能赢。但第一个人可以直接划k，就赢了。
我们注意到，在上面的理论中，NIM值只是0才有用。只要算到1就行了，大于1的可以都算成1。还有另一个问题就是NIM值太难算。下面我们对一大类游戏来简化NIM值的计算，算法中就要用到大于1的NIM值了。
这类游戏可以分解为几个独立子游戏，每个子游戏满足前面的条件，子游戏的规则可以相同也可以不同，每人每次只能在其中一个子游戏中走一步。这类游戏的状态也是由子状态组成的。
定理2。整个状态的NIM值等于对所有子状态的NIM值进行二进制的不进位加法，即逻辑中的XOR运算。
例如，如果三个子状态的NIM值分别为3，5，7，则整个游戏的NIM值为 (11) XOR (101) XOR (111) = 1。我们用圆括号(x)来表示正整数x的二进制形式，如7 = (111)。
定理2的证明不难，只是用到NIM值的定义和二进位数基本运算。但是却十分有用。下面看一看怎样用它计算NIM值及必胜策略。
在NIM游戏里，初始状态「3，5，7」的必胜策略是什么？状态「3，5，8」的必胜策略又是什么？状态「3，4，5，6，7」呢？
前面已经算过这个初始状态的NIM值N「3，5，7」为1，必胜策略就是从任何一堆拿一个就行了。
一般来说，先把NIM值表成二进位数，找一个在NIM值的最高位为1的子状态，然后比较整个状态和子状态的NIM值。所有整个状态为1的位上，子状态是1就改成0，是0就改成1。
例如「3，5，8」的NIM值为14 = (1110)，最高位是第四位。8 = (1000)的第四位为一，所以这个子状态的NIM值应变为(0110) = 6。必胜策略就是在8的一堆上拿两个。
「3，4，5，6，7」的NIM值是3 = (11)。要找一个第二位为1的子状态，3，6，7都可以。大家可以自己算一下应该拿几个。(答案：3，7拿3个，6拿1个)
NIM还有一个变种：走最后一步为负。这种情况下，一开始还是和普通NIM一样，但到了只有一个子状态的NIM值大于1时就不同了。如果有奇数个子状态为1，就把大的一堆拿光，如果有奇数个，就剩一个。也就是说，给对手剩下奇数个1。
下面再看几种NIM类型的游戏。
问题6。现代保龄球是由古希腊一种叫KAYLES的游戏发展而来。KAYLES的规则如下：11个瓶排成一排，两人交替击瓶，可以击倒任意一瓶，也可以击倒相邻两瓶(不准故意击不中)。击倒最后一瓶为胜。现在对手击倒2号瓶，问怎样才能获胜？
这个游戏的特点是可以产生出新的子状态。一开始是状态「11」，现在变成了「1，9」。但所有的原理仍然有效。可以算出前9个数的NIM值为
1，2，3，1，4，3，2，1，4。
因为N「1，9」= 5，必胜策略是把值为4的子状态变成1，简单算一下，N「8」= 1，N「2，6」= 1，所以必胜策略包括击倒3号，5号，9号，11号瓶。
KAYLES游戏的NIM值已经完全解出：除了少数例外，以12为周期取下列值：1，2，8，1，4，7，2，1，8，2，7，4。仅有的13个例外为：N「3」= N「6」= N「18」= N「39」= 3， N「9」= N「21」= N「57」= 4，N「11」= N「22」= N「34」= N「70」= 6，N「15」= 7，N「28」= 5。
类似于问题4，KAYLES中所有单一状态的NIM值也都不是0。实际上也很容易看出，对没有空档的初试状态，必胜策略就是击中央，总数是单数时打一个，双数时打两个。以后保持对称就可以了。
问题7。砍树游戏：在纸上随便画几棵树（例如下图），两人轮流砍。每次可以在任何一个节点处砍掉一枝。可以砍掉整个一棵树。如果一个节点有几个树枝，只能砍掉一枝。最后无树可砍的人负。
就下图而言，先砍能不能获胜？
答案: 如果没有分叉，即每个节点只有一枝，这就变成了标准NIM。有分叉的道理也差不多：左边的树有两枝，中间的树上面两枝可以抵消，中间两枝可以抵消，所以相当于一枝。我们知道在NIM里面（1，2，3）是负状态，所以先砍的人可以把第三棵树左边的小枝砍掉，剩3枝。
对更复杂的树，还有简单算法。
定理。如果在节点处有超过一枝，那么这些枝可以用一枝代替，这一枝的NIM值为这些枝的NIM和。
以右边的树为例，两小枝的NIM值分别为1和2，它们能用值为3的一枝代替，也就是说整个树的NIM值为4。这样就可以清楚的看到唯一正确解是把右边树的NIM值变为3，即砍掉左边小枝。
拿石子类型的游戏多极了，有些是NIM的变种，有些不是，但道理都有点相似。下面给出一些例子：
问题8。有两堆石头，每堆都是100个。现两个人来拿石头，规则如下：
1）只能从一堆拿，至少拿一个，多拿不限；
2）如果某人拿光一堆，这个人可以把另一堆分成两堆，也可以不分；
3）拿最后一个的人赢。
现问先拿者输还是后拿者输？应如何拿？
规则可以稍微改一改：
问题9。有若干堆石子，两人玩拿石子游戏。每人每次可以选下列两种走法之一：任选一堆拿走一个石子，或任选至少有两个石子的一堆，将其分成两堆。什么时候先走的人有必胜策略？
问题10。有若干堆石子，两人轮流拿，每次从其中一堆中拿一个。拿走的石子可以扔掉，也可以加在后面挨着的一堆上。（如果从第3堆拿一个，拿走的石子可以扔掉，也可以加在第4堆上，即使第4堆当时是空的也可以。如果从最后一堆拿，就只能扔掉了。）拿最后一个的胜。
假设一开始有5堆，每堆一个，先拿有没有必胜策略？有几种？
问题11。和第1题一样，但是拿走的一个可以加在后面任意一堆上。（如果从第3堆拿一个，一共有7堆，可以加在第4到第7的任意一堆上。）
还是一开始有5堆，每堆一个，先拿有没有必胜策略？有几种？
问题12。有一堆石子共N颗(N＞1)，两人轮流从中取石子，其数目依次是a1, b1, a2, b2, ....。取石子的规则是：
(1) 第一次不能拿完，即：1≤a1≤N-1;
(2) 以后每人取石子数不能超过对方刚取的数。即：a1≥b1≥a2≥b2≥ ....≥1;
取最后一颗石子的为胜者。什么时候有必胜策略？第一次应该拿几个？
问题13。桌上有一堆石子。你和对手轮流拿。谁拿到最后一颗算谁胜。规则是：
１。第一个人第一次不能拿完。
２。从第二次开始，每次所能拿的颗数是从一到两倍于你的对手上一次拿的颗数。比如你的对手上次拿了４颗，那么你就可以拿１颗到８颗里的任意数。
什么时候有必胜策略？第一次应该拿几个？
问题14。桌上有15个球。两人从中论流取球，每次可以取1，2，3个，最后取完这15个球后，看谁总共取的球数是奇数谁赢。第一次应该拿几个？
问题15。桌上有15个球。两人从中轮流取球，每次可以取1到4个，最后取完这15个球后，看谁总共取的球数是奇数谁赢。第一次应该拿几个？
对拿石子游戏(NIM) 理论的疑问
可能数学专业人士的思想太复杂，很多问题其实很简单：
问题4。(和上一题差不多。)有一块6X8的矩形巧克力，左下角那一块坏了。两人分吃，每次掰时，先选定一块，然后把这块及其上面和右面的都掰掉。(剩下的是锯齿形。)吃最后一块为负。第一次应该掰多少？
这一题的NIM值就很难算了，要编一个程序才行。下面是矩形的NIM值。(还不包括锯齿形。)
5，8，12，16，21，13，28，32
4，7，11，13， 6，21，23，22
3，5， 9， 6，13，16，19，12
2，4， 5， 9，11，12，13，16
1，2， 4， 5， 7， 8，10，11
0，1， 2， 3， 4， 5， 6， 7
==〉很简单的掰掉0 的上方 1 的那块留下0 这块不就行了吗？
下面按照 NIM 路线算出来的又是必败策略：
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在NIM游戏里，初始状态「3，5，7」的必胜策略是什么？状态「3，5，8」的必胜策略又是什么？状态「3，4，5，6，7」呢？
前面已经算过这个初始状态的NIM值N「3，5，7」为1，必胜策略就是从任何一堆拿一个就行了。
一般来说，先把NIM值表成二进位数，找一个在NIM值的最高位为1的子状态，然后比较整个状态和子状态的NIM值。所有整个状态为1的位上，子状态是1就改成0，是0就改成1。
例如「3，5，8」的NIM值为14 = (1110)，最高位是第四位。8 = (1000)的第四位为一，所以这个子状态的NIM值应变为(0110) = 6。必胜策略就是在8的一堆上拿两个。
「3，4，5，6，7」的NIM值是3 = (11)。要找一个第二位为1的子状态，3，6，7都可以。大家可以自己算一下应该拿几个。(答案：3，7拿3个，6拿1个)
NIM还有一个变种：走最后一步为负。这种情况下，一开始还是和普通NIM一样，但到了只有一个子状态的NIM值大于1时就不同了。如果有奇数个子状态为1，就把大的一堆拿光，如果有奇数个，就剩一个。也就是说，给对手剩下奇数个1。
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对上面所有问题，我的胜策很简单：先拿者胜！
每堆拿剩一个，最后一堆全拿光。
如果走最后一步为负，则在拿最后一堆时仍留一个。
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下面这个按NIM值计算出来的结果也有问题：
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问题6。现代保龄球是由古希腊一种叫KAYLES的游戏发展而来。KAYLES的规则如下：11个瓶排成一排，两人交替击瓶，可以击倒任意一瓶，也可以击倒相邻两瓶(不准故意击不中)。击倒最后一瓶为胜。现在对手击倒2号瓶，问怎样才能获胜？
这个游戏的特点是可以产生出新的子状态。一开始是状态「11」，现在变成了「1，9」。但所有的原理仍然有效。可以算出前9个数的NIM值为
1，2，3，1，4，3，2，1，4。
因为N「1，9」= 5，必胜策略是把值为4的子状态变成1，简单算一下，N「8」= 1，N「2，6」= 1，所以必胜策略包括击倒3号，5号，9号，11号瓶。
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我的策略就将完全击败 NIM 计算：
1， ，3，4，5，6，7，8，9，10，11 轮康MM, 按照上面算的必胜策略包括击倒3号
1，，，4，5，6，7，8，9，10，11 轮对手，击倒7，8两瓶
1，，，4，5，6，，，9，10，11 轮康MM,
此时无论康MM选哪一个或两个击，都将输掉。
例如：
康MM选 1 ==〉4，5，6，，，9，10，11
对手选 4 ==〉5，6，，，9，10，11 此后，无论康MM 怎么选，都会输
例如：康选5或者6，对手就选9，10； 康选5，6，对手选10；康选10,对手选5，6。。。
又例如：
康MM选 4（或6，9，10都一样） ==〉1，，，5，6，，，9，10，11
对手选1， ==〉5，6，，，9，10，11 回到了上面的例子
又例如：
康MM选 5（或10都一样） ==〉1，，，4，，6，，，9，10，11
对手选9，10 ==〉1，，，4，，6，，11 仍然是对手胜！
所以NIM理论很值得怀疑！（说实在的，我都没有搞明白康MM的NIM值是怎样算出来的).