来自constant的 原题和原证：
是否存在连续函数f(x)，使得对任意x，都有 lim(n->oo)f(nx) = 0，但是 lim(x->oo)f(x) != 0?
基本上，有一列区间[d_n,u_n]->oo, 使得f在这些区间上>某个常数c>0。对每个区间，k>1/(u_n-d_n)后，k*[d_n,u_n]之间就没有空隙了，即有一个k*[d_n,u_n]包含了以后的某一个[d_m,u_m]。这样就可以得到一串k_1,k_2,...,n_1,n_2,..., 使得k_i*[d_(n_i),u_(n_i)]包含[d_(n_i+1),u_(n_i+1)]。最后就可以用区间套得到一点x，使得f(k_1*x),f(k_1*k_2*x),f(k_1*k_2*k_3*x),...,都大于c。
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deuss: 直觉是，因x可以任意小，nx会密密麻麻撒满数轴，所以lim_{x->oo}f(x)=lim_{n->oo}f(nx)
其实不然。如果条件改成 for any rational x ， lim_{n->oo} f(xn)=0，nx仍会密密麻麻撒满数轴
但lim_{x->oo} f(x) != 0 仍有可能
设想g(x)=1在所有x=sqrt(p), p 是素数，否则=0 。该函数本身不连续，但可以从(sqrt(p)-r,0)和(sqrt(p)+r,0)各连一线至(sqrt(p),1)，呈脉冲状，其中r=r(p)=1/p^3 。所得连续函数即为所寻f(x).
给定有理数x, h=1/x^2= i/j,这里i,j为整数。我们要证明，当n足够大时，nx不可能落入任一脉冲区。
若不然，nx=sqrt(p)+a, |a|<1/p^3
nn=p*i/j+c, |c|<1/p^2
nnj=pi+cj=pi, (因nnj和pi是整数，而|cj|<1/p<1)
由于p是大素数，所以，不可能。
好漂亮的思路和图示.谢谢!!!