与大数学家一席谈 之 （Polya 访问记）

与大数学家一席谈 之 （Polya 访问记）

 George  Polya 访问记
 G. L, Alexanderson

    1977年12月13日，是斯坦福大学名誉数学教授George Polya的90岁生日。该校数学系在教员俱乐部为他举办了祝寿宴会。那天，Polya教授的许多朋友和过去的学生观聚一堂；不少教授就他的工作致了颂词。来宾中有：Polya过去的学生，斯坦福大学校长Halsey  Royden；斯坦福大学计算机科学系教授
Danald  Knuth；纽约大学Courant研究所所长、美国数学会本届主席Peter  LaX教授；加里福尼亚大学贝克莱分校统计学教授Jerzy  Neyman；斯坦福大学名誉物理教授、Nobel奖获得者、Polya在瑞士联邦技术学院的学生Felix Bloch。跟他有过长期合作的同事、斯坦福大学教授Gabor  Szego，虽然健康状况不佳，也赶来参加了庆宴。
    与会者的踊跃，标志著Polya教授对数学和教育的广泛影响。搞研究的数学家熟识他，因为他们是他的同事或合作者；二年制或四年制大学的教师认识他，因为他们深知他的数学成就，他为数学教育所做的努力、以及他跟美国数学联合会的长期合作关系；有不少中学教员认识地，因为Polya曾在斯坦福举办的许多教师 进修班上教过他们。正如Royden校长在会上提到的：他的许多数学发现，在未来的许多年里仍将是研究生攻读的内容。这些发现涉及相当广泛的数学领域：实分析与复分析，概率论，组合理
论，数论，几何及其他一些领域。由于这些贡献，他被好几个国家的科学院选为院士，其中包括有威望的巴黎科学院。
    Neyman教授指出，Polya的《怎样解题》(How to Solve It)已被译成15种文字；他的《数学的发现》(Mathematica1 Dis-covery）也已有8种译本。教师们把Polya的名字跟这些著作以及其它许多运用发现数学的方法解题和教学的作品融成一体，“按Polya的风格”、“Polya的方法”成了各地数学教师的专用
语。Polya的作品清晰、优美，在数学书刊中是很难得见到的。读他的书或文章，几乎是一种享受。他在选择研究课题和具体问题时，表现出罕见的、深刻的鉴赏力。
 
   生日宴会后几天，作者访问了他，下面是这次访问的摘要。
 
   访问者：统观你的数学工作，人们钦佩你在如此广泛的领域从事研究，而且在许多领域做了重要贡献。对许多数学家来说----不论他的能力如何，这都是超凡的记录。请问你是怎么做到这一点的？你怎麽能在如此众多的领域找到那么多好的问题？

    Polya：部份原因是受了我的老师以及当时的数学风尚的影响。后来，又受到自己在发现数学时的兴趣的驱使。有少数几个问题，我是想找出如何处理有关的一整类问题的办法。说得更远一点，我并非一上来就是搞数学的，我所经历的迂回曲折的道路，也对我有影响。

              数学，介於哲学、物理之间

    访问者：是指你搞过哲学和物理吗？

    Polya：不，问题要更复杂些。我最初学的是法律，不过只维持了一个学期，就再也没办法忍受了。接着，我攻读了两年语言和文学。两年后，经考试取得了教师资格证书，可以在预科学校低年级----学生年龄从10岁到14岁----教拉丁语和匈牙利语。但这张证书我从来没用过。后来，我又学习哲学、物理和数学。事实上，我不是直接选中数学这一行的。我真的对物理和哲学更有兴趣，对这两门学科中的思想感兴趣。下面的说法虽然略显宠统，但也不失大意：我认为我搞物理不大灵，搞哲学绰绰有余，搞数学则介于两者之间。

    访问者：我记得在概率论、组合理论、几何、代数、数论，当然还有函数论等领域，都有你的定理。请问是否还存在哪一个数学领域是你不屑一顾的？

    Polya：嗯，你没有提到我还接触过数学物理的皮毛。是跟Szego合写了一本《数学物理中的等同不等式》(IsoperimetricInequalitiesin Mathematical Physics)。这本书反映了我旧时对数学物理的兴趣。喔，这就足够了。
 
   访问者：我发现某些经典问题正在用新的严格性加以检验。  例如，有些年轻数学家在积极地探索解决像Riemann猜想这类问题。几年前，在温哥华举行的会议上，Riemann猜想就受到了极大的关注。您愿意评论一下五十年代、六十年代以及七十年代数学发展的方向和数学风尚吗？

    Polya：当然可以。不过别把我的评论看得那么认真。首先，我对最新的数学没做研究；同时，我有自己的偏好。我过去总是对漂亮的应用感兴趣。我感到，除了确实在推动数学前进的数学家之外，他们的追随者中，至少有些人被搞推广的思想缠住了，什么东西都在那儿推广。他们的理想似乎就是搞出具有完美的一般性的数学定理，而这类完美的一般性定理却导不出特殊的结果。

    访问者：若干年前，你跟Hermann  Weyl打过一场赌，很有名气，它跟由Brouwer的思想引出的问题有关。所以，我想你喜欢打赌。你愿不愿意对今后几年内能否证明Riemann猜想设个赌？

    Polya：我不好打赌。相反，我相当谨慎。如果非要我打赌，我将说：今后十年内不可能证明Riemann猜想。我认得几个人，都是非常出色的人物，他们在搞Riemann猜想。尽管如此，我还是下这样的赌注----今后十年内证明不了……，这是你非要我下赌的呀！

注：                                         
                    Polya和Weyl的赌局

     G. Polya和H. Weyl按下述协议打赌。内容涉及当今数学中的以下定理：
   （1）每一个有界实数集有上确界。
   （2）每一个无限实数集有一个可数子集。

Weyl预言：
    A. 20年内（即到1937年底），Polya本人或大多数一流数学家将承认，上述定理中涉及的、也是我们今天普遍需要依赖的实数、集合和可数性概念，完全是含混不清的；要问目前含义下的这些定理的真伪，比问Hegel自然哲学中的主要论断的真理性更加没有意义。

    B. Polya本人或大多数一流数学家将承认：无论怎样措词，按照一种合理的、可行的、清晰的解释（如何认定这种解释，或者通过讨论，或者到那时已有定论），定理（1）和（2）都是错的；或者，如果在规定时间内找到了这两个定理的清晰的解释，使得至少有一个是正确的，那么，必然出现某个有生命
力的成果，通过这一成果，数学基础将出现一次新的、开创性的转折。数和集合的概念也将具有我们今天尚无法预见的一种新的含义。，

    如果上述预言实现，则Weyl嬴；否则，Polya获胜。
 
   如果规定时间到期，他们对输嬴不能达成一致意见，那么，将邀请瑞士联邦研究院、苏黎世大学、格廷根大学和柏林大学 的数学教授（赌者除外）一起来评判，并以多数人的意见为准；若仍不分胜负，赌局输嬴将被认为是未定的。
    输家将承担义务，自费在德国数学会《年鉴》上公布打赌的条件并认输。

H. Weyl，G. Polya1918．2．9．于於苏黎世