与大数学家一席谈 之 （Serre 访问记）

与大数学家一席谈 之 （ Serre 访问记）

Jean-Pierre Serre访问记
C. T. Chong   Y. K. Leong

    编者按：Jean-Pierre Serre生于1926年，曾就学于巴黎的高等师范学校（Ecole Normale Superieure）。他1954年荣获Fields奖，从1956年起任法兰西学院（College de France）的代数学与几何学教授。
    1985年2月间，作为法国--新加坡学术交流计划的一部分，Serre教授访问了新加坡国立大学数学系。除作了几个由该数学系和新加坡数学会组织的讲演外，他还于1985年2月14日接受了C. T. Chong和Y. K. Leong的采访。

    问：是什么使您以数学为职业的？

    答：我记得大概是从七、八岁时起喜欢数学的。在中学里，我常做一些高年级的题目。那时，我寄宿于Nimes，与比我大的孩子住在一起，他们常常欺侮我，为了平抚他们，我就经常帮    他们做数学作业。这是一种最好的训练。
    我母亲是药剂师（父亲也是），并且喜欢数学。在她还是Montpellier大学的药剂学学生时，只是出于兴趣，选修了一年级的微积分课，且通过了考试。她精心保存了当年的微积分课本（如我没记错的话，是Fabry和Vogt写的）。在我十四、十五岁时常翻看它们并学习其中的内容。我就是这样知道了导数、积分和级数等（我采用一种纯形式的方式----可以说是Euler风格：我不喜欢也没弄懂epsilon和delta。那时，我一点也不知道做数学家可以谋生。只是到后来我才发现做数学也有报酬！我首先想到的是我将成为一个中学教师：这在我看来是自然的。于是，在十九岁时，我参加了高等师范学校的入学竞争考试并取得了成功。一进“高师”，事情就清楚了，中学教师并不是我要干的，我要的是从事研究的数学家。

    问：您对其他学科，像物理或化学，是否有过兴趣？

    答：对物理不怎么感兴趣，但对化学有兴趣。我说过，我双亲是药剂师，所以他们有很多化学药品和试管。我十五、十六岁时，在做数学之外，经常摆弄它们。我还读了父亲的化学书（我至今还留有一本很吸引人的Jacques  Duclaux著的《胶体》（LesColloides））。然而，在学了更多的化学后，我对其几乎数学化的外表感到失望：有一长系列一长系列的有机化合物，如CH_4、C_2H_6等，看起来差不多都一样。我想，如果你不得不跟系列打交道，还不如做数学的好！於是，我放弃了化学----但并不彻底：我最后与一位化学家绍了婚。

    问：是否有中学老师对您数学产生过影响？

    答：我只有过一位很好的老师。那是在Nimes，我中学的最后一年（1943--1944）。他有个绰号叫“胡子”（Le Barbu）：那个时候留胡子的人很少见。他的条理非常清楚，要求也很严格；它要求把每个公式和证明都写得简洁明了。为了参加名为“中学优等生会考”（Concours General）的全国数学竞赛，他对我进行了全面的训练，使我得了头奖。
    说到“中学优等生会考”，我还试着参加了那年（1944）的物理竞赛。我们要做的题目完全基于一个我应该知道的物理法则之上，可我并不知道该法则。幸好，在我看来只有一个公式可能是对应那个法则的。我假定它是正确的，在此基础之上，做了整整6小时的题目。我甚至以为可以得奖了。不幸的是，那个公式是错的，我什么也没得到----这正是我应得的！

    问：在发现定理时灵感具有怎样的重要性？

    答：我不知道“灵感”的确切含意是什么。定理和理论是以很富趣味性的方式产生的。有时，你只是对已知的证明不满意，力图寻求更好的证明，使之可以用于各种不同的情形。拿我来说，一个典型的例子是在我做Riemann-Roch定理的时候（大约是
1953年），我把它看成是某种“Euler-Poincare”公式（我那时还不知道Kodaira和Spencer已经有同样的想法）。我的第一个目标是对代数曲线的情形给出证明----这情形一个世纪前就知道     了！但我想要一个独具风格的证明。而当我没法找到这样的一个证明时，我记不得费什么功夫就可以过渡到二维的情形（正好Kodaira也已这样做了）。六个月以后，Hirzebruch证明了完整的结果，并发表在他著名的获取教师资格的论文里。

    通常，你不是采取正面攻击的方法，来尝试着解决一个特定的问题。而是，你心中有了些想法，觉得它们应该有用，但又不确切地知道可用在何处。于是，你四处寻找，试图应用它们。就像你有一串钥匙，在好几个门上试开。

    问：您是否有过这样的经验，就是您有一个问题解决不了，当把它搁一段时间以后，一个突然出现的想法导致了该问题的解决？

    答：是的，这种情况当然经常发生。例如，在我做同伦群方面的工作时（～1950），我自信：给定空间Ｘ，必存在一个以Ｘ为基底的纤维空间Ｅ，它是可缩的。这样一个空间的确可以使我（用Leray的方法）做许多同伦群和Eilenberg-MacLane上同调的计算。但怎么找到它呢？我花了好几个星期（在我那个年纪，这是很长一段时间了），才意识到Ｘ上的“路径”空间就是具有所有必需的性质----只是我改称它为“纤维空间”。我这样做了，这就是代数拓朴中环路空间（loop  space）方法的出发点：许多结果很快就跟着出现了。

    问：您经常是一次只做一个问题，还是往同一时间里做许多问题？                                                    

    答：通常是一次只做一个问题，但也并不总是这样。我经常在夜间（似睡非睡到一半状态）工作，那个时候你不需写任何东
西，这使你的脑子更集中，并易于转换课题。

    问：在物理学里，许多发现源于偶然事件，像X-射线、宇宙本底轴射的发现等等。在数学中，您是否有类似的经历？

    答：真正的偶然事件是绝少的。有时，你会感到惊讶，因为你为某种目的进行的论证恰好解决了另一方向的问题。然而，这称不上是“偶然事件”。

    问：代数几何和数论的中心问题是什么？

   答：这我回答不了。你知道，有些数学家有着清楚的、目标远大的“纲领”。例如，Grothendieck对代数几何有一个这样的纲领；而Langlands则有一个与模形式（modular  form）和数论有关的表示论的纲领。我从没有这样的纲领，就是小范围的也没有。我只是做我立时感兴趣的事情。（眼下我最感兴趣的课题是计算有限域上的代数曲线中点的个数。这是一种应用数学：你可以试着去应用代数几何和数论中你所知遣的任何工具……，但做这件事不会十分顺利！）

    问：您认为代数几何或数论在过去五年内最大的进展有哪些？

    答：这比较容易回答。首先想到的是Faltings对Mordell猜想和Tate猜想的证明。还要提到Gross-Zagier在二次域的类数问题上的工作（基于Goldfeld先前的一个定理），以及用模曲线（modular  curve）得到的Iwasawa理论中的Mazur-Wiles定理。           
（模曲线和模函数在数论中的应用特别使人振奋：可以说是用GL_2来研究GL_1！很清楚这个方向将会涌现出许许多多的玩意……，甚至有朝一日会得到Riemann猜想的证明！）

    问：有些科学家在一个领域做了基础性工作后，很快就转到另一个领域。您在拓朴学上工作了三年，然后做别的东西。这是怎么回事？

   答：这里有一条连续的路径相联，而非跳跃式的变异。
1952年，在完成了关於同伦群的论文后，我到了Princeton，在那里讲我的论文（及其续篇“C-理论”）并参加了关于类域论的有名的Artin-Tate讨论班。尔后我回到巴黎。那里的Cartan讨论班正在讨论多个复变量的函数和Stein流形。结果发现用上同调和层的语音，可以更有效的表示（以及更简单的证明）Cartan-Oka之新近的结果。这是很振奋人心的，我在此课题上工作了一个短时间，把Cartan理论应用于Stein流形。然而，多复变量的一个十分有趣的部份是射影簇（仿射簇的对立物--仿射簇在几何学家看来有点病态）的研究；因而，我开始用层论来处理这些复射影簇：
   在1953年，我就是这样得到了围绕Riemann-Roch定理的一系列有关想法。但射影簇都是代数的（周纬良（Chow）定理），用完全可能含许多本性奇点的解析函数，来研究这些代数对象是有点不自然。很清楚，利用有理函数应该就够了----事实也正如此。这使我
（1954年左右）进入代数闭域上的“抽象”代数几何。但为什么         要假设域是代数闭的呢？对诸如Weil猜想之类来说，有限域更使人激动，且从那儿到数域有很自然的转换……。这大约就是我所走过的道路。
    另一个方向的工作来自我和Borel的合作（及友谊）。他告诉了我他对Lie群的独到的见解。这些群和拓扑、代数几何、数论……的联系非常迷人。我只给你们举一个例子（这是我在1968年左右意识到的）:
    考虑SL_2(R)的最明显的离散子群Gamma=SL_2(R)。可以算出它的“Euler-Poincare示性数"kai(Gamma)，等于－1/12（它非整数，是因为Gamma是有挠的）。但-1/12恰好是Riemann-Zeta函数在点S＝-1的值xi(-1)（Euler知道的结果），这并不是巧合！它可以推广到任意的完全实数域K的情形，并可用来研究xi_K(-1)的分母。（正如后来所发现的那样，利用模形式可得到更好的结果。）这类问题不是群论的，不是拓朴学的，也不是数论的：它们只是属于数学。

    问：数学中各种各样的领域达到某种统一的前景如何？

    答：我想说这种统一已达到了。上面我已经给出了Lie群、数论等等互依互存、不可分离的典型例子。我再举个这样的例子（可以容易地举出根多）：
    最近，S．Donaldson证明了一个关于四维紧致可微流形的优美定理。此定理说这种流形的（H^2上的）二次型受到严格的限制：如它正定，则是平方和。证明的关键是构造作为某个（自然是非线性的）偏微分方程的解集的某一辅助流形（一个“配边”）！
这是分析在微分拓朴中的全新应用。使之更引人瞩目的是若去掉可微性假设，则情况完全不同：根据M. Freedman的定理，此时H^2-二次型几乎可以是任意的。

    问：怎样才能跟上数学知识爆炸的形势？
 
   答：你实在没有必要去跟。在你对某个特殊问题感兴趣时，你会发现只有很少已有的工作与你相关。若有些东西确实有关，你会学得非常快，因为你心中有一应用的目标。经常翻阅《数学评论》（特别是数论、群论等方面的合订本）也是个好习惯。你也能从你的朋友那里学到许多：人家在黑板上向你解释一个证明要比你自己去研读它容易。
    更令人担心的问题是那些“大定理”，这样的定理即非常重要又长得无法去验证（除非你把生命中可观的时间花在上面……）。典型的例子是Feit-Thompson定理：奇数阶群是可解的。
（Chevally曾把它作为讨论班的课题，打算给它一个完全的阐述。两年后，他不得不放弃了。）如果不得不运用这样的定理，我们该怎么办呢？诚心接受？也许可以，但这不是很舒服的事情。    对有些课题，主要是微分拓朴中的，我也觉得不舒服。在那里，作者先画一个很复杂的（2维）图形。然后，要求你接受它是5维或者更高维情形的一个证明。只有专家才能“看出”这样一个证明是对的，还是错的----如果能称其为证明的话。

    问：您对计算机将往数学发展中产生的影响有何想法？          
 
  答：计算机早就为数学的某些部份做了许多好工作。例如，在数论里它们就有多种用途。首先，自然是提供猜想或问题。但它也可以用数值例子来验证一般性定理----这非常有助于发现可能出现的错误。
    要对大量情形做检查时，它们也非常有用（例如，假若你非得验算10^6或10^7种情形的话）。有名的例子是四色定理的证明。然而，这里也存在着有点类似于Fiet-Thompson定理中的问题：对这样的证明，人是无法亲手去验证的；你需要计算机（和非常精巧的程序）。这也同样使人感到不舒服。

    问：我们怎样鼓励年轻人从事数学，特别是对中学生？

    答：在这方面，我有个理论，即首先应该劝阻人们去搞数学；因为并不需要太多的数学家。但如果你们还坚持要搞数学，那就应该实实在在地鼓励并帮助他们。
 
   至于中学生，关键是要让他们明白数学是活生生的，而不是僵死的（他们有一种倾向，认为只有在物理学或生物学中有未解决的问题）。讲授数学的传统方法有个缺陷，即教师从不提及这类问题。这很可惜。在数论中有许多这样的问题，十几岁的孩子如果能很好地理解它们：当然包括Fermat大定理，还有Goldbac猜想，以及无限个形如n^2+1的素数的存在性。你也可随意讲些定理而不加以证明（例如，关於算术级数中素数的Dirichlet定理）。
 
   问：您是否会说过去30年的数学发展比在此之前的30年快？

答：我不能肯定这是真的，风格不同了。50和60年代总是强调一般的方法：分布、上同调等等。这些方法非常成功，而现在的人们则做更具体的问题（时常是一些相当老的问题：例如3维射影空间中代数曲线的分类！）。他们应用已有的工具；这是很美好的。（他们也创造新的工具：微局部分析（microlocalanalysis）、超簇（supervariety）、交截上同调（intersectioncohomology）……）。

    问：面对数学的爆炸性发展，您是否认为开始读研究生的学生能够用四、五或六年的时间吸收大量的数学知识，然后直接开始做开创性的工作？

    答：为什么不能？对某个给定的问题，你通常并不需要知道很多----再说，常常是极其简单的想法打开了局面。
    有些理论得到简化，有些理论退隐了。例如，我记得在1949年我曾感到沮丧，因为每一期Annals of Mathematics上都有一篇比以前更难懂的拓朴学文章。但是，现在没有人再瞧它们一眼；它们被遗忘了（应该这样：我认为它们不包含任何深刻的东西……）。遗忘是一种很健康的行为。
    当然，相对来说，有些学科需要更多的训练，因为它们需用大量的技巧。代数几何就是这样，还有表示论。
    无论如何，某个人要是说“我准备搞代数几何”或类似的事情，这是不清楚的。对一些人来说，最好就是去参加讨论班，幻读东西并向自己提出一些问题，然后学习解决这些问题所需的那些理论。

    问：换句话说，首先必须着眼于某个问题，然后去弄清楚解决这个问题所需的无论什么样的工具。
 
   答：有点这个意思。但既然我知道我不能给自己提出好的忠告，我也不应给他人提什么建议。我工作时是没有现成方法的。
 
   问：您提及那些已被遗忘的文章。您认为已发表文章中的百分之几能存活下去？

    答：我相信不会是零。毕竟，我们还在愉快地读着Hurwitz、Eisenstein甚或是Gauss的文章。

    问：您是否会对数学史发生兴趣？

    答：我早有兴趣了。但这绝非易事；我不具备掌握例如拉丁文和希腊文等语言的能力。而且，我能理解写一篇数学史文章要比写一篇数学论文花更多的时间。还有，历史是非常有趣的；它把诸事恰如其分地展现出来。

    问：您是否相信对有限单群的分类？

    答：又信又不信----信的成份多一些。如果有朝一日发现一个新的散在群，我会觉得有趣，但恐怕这种事情不会发生。
    更重要的是，这个分类定理很了不起。现在只要查一查列出所有群的表格，就能查到许多性质（典型例子：n＞4的n-可迁群（transitive group）的分类）。

    问：您对完成分类后有限单群的生命力怎么想？

    答：你是在暗指某些有限群专家在实现分类后士气低落；他们诅（大概跟我说过）“以后将无事可做。”我觉得这是荒谬的。可做的当然多着呢！首先，自然是简化证明（此即Gorenstein说的“修正主义”）。也可以寻找其在数学其它部份中的应用，例如已经有把Griess-Fischer的怪群（monster group）和模形式联系起来的非常奇妙的发现（所谓“月光”（Moonshine））。
    这正像问Faltings关于Mordell猜想的证明是否结束了曲线上有理点的理论。不！这仅仅是个开端。许多问题仍待解决。
    （当然，有时的确可以扼杀掉某个理论。有名的例子是Hilbert第五问题：证明每个局部欧氏的拓朴群是Lie群。当我还是个青年拓朴学家时，我确实想去解决这个问题----但我未能如愿。是Gleason和Montgomery-Zippin解决了它。他们的解几乎扼杀了这个课题。还能在这方向上做点什么呢？我只能想出一个问题：p-adic整数群能否有效地作用在流形上？这看上去很难----但我所能预见的是，即使有了解答也没有任何膀用。）

    问：可以这样认为，数学中的大多数问题都是这样的，即这些问题本身可能很难且富有挑战性，但在解决后，就没有什么用了。实际上，只有很少的问题能像Riemann猜想那样，早在解决之前，就知道有许多推论了。

    答：是的。Riemann猜想是很美妙的：它孕育了许多东西（包括纯粹的数值不等式，例如数域的判别式）。但也有其他类似的例子：Hironaka的奇性消解定理（desingularization theorem）是一个，当然还有上面讨论过的有限单群的分类。有时，一个证明中所采用的方法有许多应用：我确信Falt-ings的证明属于这种情况。而有时，问题本身确实并不意味着有应用，而是对已知理论的一种经验，它促使我们看得更远。

    问：您是否仍回过头来搞拓朴学中的问题？
 
   答：不。我未去掌握新近的方法，我也不知道球面的同伦群pi_{n+k}(S_n)已算到什么地步（我猜测人家已经做到k＝40或50。我只了解大约到k＝10的情况）。

    但广义地说，我仍然在使用拓朴学中的思想，诸如上同调、障碍、Stiefel-Wiltney类等。
 
   问：Bourbaki对数学有什么影响？

    答：问得好。我知道把什么事（例如“新数学”）都归罪于Bourbaki是很时髦的，但这并不公正。Bourbaki没有责任，只是人们错用了他的书。这些书决不是为大学教育写的，中学教育就更谈不上了。

    问：也许本来应该给一个警告性的信号？

    答：事实上Bourbaki给出了信号，这就是Bourbaki讨论班。此讨论班的内容根本不像他们的书那么形式化。它囊括了所有数学，甚至一些物理。如果你把讨论班和书结合起来看，你就会有更适当的看法。

    问：您是否发现Bourbaki对数学的影响正在减弱？
 
   答：影响与以前有所不同。四十年前，Bourbaki有一个目标，他要证明有计划地系统阐述数学是可能的。现在，这个目标已经达到Bourbaki胜利了。其结果，他的书现在只有技术方面的重要性；而问题只在于他们是否给出了那些课题的良好阐述。有的他们做到了（关于“根系”的那本书已成为该领域的标准参考文献）；而有的并不如此（我不想举例，这更多地同各人的口味有关。
 
   问：说到口味，您能否谈谈您最喜欢什么风格（对书或文章）？

    答：精确性和非形式化相结合！这是最理想的，就像讲课那样。你会在Atiyah，Milnor以及其他一些作者的书里发现这种令人陶醉的溶合。但这极难达到。例如，我发现许多法文书（包括我自己的），有点过于形式化，一些俄文书又不那么精确……。
    我进一步想强调的是，论文应含有更多的注记、未解决的问题等，这常常比精确证明了的定理更使人感兴趣。哎，大多数人害怕承认他们不知道某些问题的答案，结果克制自己不提这些问题，即使它们是很自然会出现的。这太遗憾了！至于我们自己，我很乐意说“我不知道”。