与大数学家一席谈 之（Kline 访问记）

与大数学家一席谈 之（Kline 访问记）

Morris Kline访问记（1986年）
G. L. Alexandersen

    译者注：Morris Kline的名字对于我们并不陌生，他的《古今数学思想》早在1979年--1981年就陆续被翻译成中文，在我国数学界广为流传。他在数学教有、数学史、教学与研究的关系、理论与应用的关系等问题上都有独到的见解。尽管他的某些观点至今还在被人争论不休，但是译者相信了解这些观点和争论的实质，对于我国数学的发展和数学教育事业是大有裨益的，故将此文译出介绍给广大的数学工作者特别是从事数学教育的园丁们。

    Morris  Kline是纽约州立大学Courant数学研究所名誉教授，近年来也一直担任着纽约市立大学Brooklyn学院的高级客座教授。他在纽约大学获得了博士学位并于1930年开始教书与研究生涯。1936--1938年，他在普林斯顿高等研究所工作。尽管目的是拓朴学的专门训练，但是他作为一个数学家的主要研究工作在微分方程与应用数学方面。他曾主持Courant研究所电磁学研究室多年；获得过多种科学荣誉称号：Guggenheim会员、Fulbright客座教师、许多客座教授席位、以及纽约州立大学的杰出教师奖。
    他写过许多研究性论文，以及许多关于数学教育的论文。他所发表的著作遍及数学《电磁学理论和几何光学》，《电磁波专题论集》、数学在社会中的作用（《西方文化中的数学》）；《数学与物质世界》）、数学史（《古今数学思想》）和数学教育（《Johnny为什么不会做加法：新数学运动的失败》）等不同的领域。除此之外，他还写过几种教科书，其中有《文科数学》；《数学：一种文化探索》、《微积分：
一种直观的和物理的方法》等。他还编辑了通俗读物《当代世界中的数学》，这本书中的文章都是从《科学的美国人》中收集来的。本访问记完成之后，他又出版了《数学：确定性的丧失。

                早期反对“新数学”

    Kline教授对于争论并不陌生，他是“新数学运动”的一个直言不讳的早期批评者。早在50、60年代，他就在《数学教师》（“数学教科书与教师”，“古人和今人”，“对高中数学课程的建议”）和《数学月刊》（“逻辑与教育”）上发表了一系列文章，对“新数学”过份的严密性和处理应用题
材方面的失误进行了抨击。例如，他在“对高中数学课程的建议” 中写道：“我们在陈述数学时不应要求尽可能严格，而应尽可能直观。对于那些学生不自觉就能使用的明显的事实，可以不加解释就接受它，采用它。学生们不会为一条直线能否将平面分成两个部份而辗转难眠。因此只须提供学生们认为是必要的证明就够了。鉴赏严密性的能力是学生年龄的函数而不是数学成熟程度年龄的函数。正如斯坦福大学的Max M. Schiffer教授所指出的：‘在数学中绝不要把逻辑的马车放到启发式的前面。’”在“逻辑与教育”一文中，他又重复了同样的忠告，这一次更多地是针对大学里的教师的。
    在他的著作《教授为什么不会教书：数学与大学教育的困境》之中，Kline教授呼吁加强大学建设并为更新大学教学质量的观念进行了有力的争辩。这本书引起了一些富有刺激性的讨论，甚至比他较早的著作激起的关于“新数学”的论战更甚。

              “回到基础”与“新数学”

    A：Kline教授，我读过您的不少书，内容遍及数学的广阔领域，以及历史的、文化的和教育的题材，我真不知从何谈起，我想人们可以根据您的任何一本著作来制定采访计划。不过这次的采访计划是由您的《教授为什么不会教书》所激起的，因此我肯定要讨论由此书提出的一些议题。尽管如此，还是先让我从“新数学”的几个问题开始吧。“新数学”似乎已到了穷途末路，您是否为此感到鼓舞？

    K：我为美国的教师们认识到“新数学”对于数学教育并不是一个进步而感到满意。不过谈不上高兴，因为真正的退步还没出现。我也为下述事实感到吃惊：杰出的、理智的数学家们竟会相信“新数学”的课程对年轻人是合适的。但是大概没有人要对教育进行一种“先验的”（priori）判断。

    A：我知道您希望在数学课程中看到更多来自物理学的动力。当学校越来越多地放弃了强调结构和公理体系的时候，您看到了它们被介绍给学生的迹象了吗？

    K：我确实希望看到物理问题被作为动力和应用在许多数学课程中加以介绍。当然这些应用必须谨慎地加以选择以适合课程的水平，而且它们不必包含详细的物理背景，它们不需要。我相信现在的教授们不介绍这些物理问题是因为典型的数学博士并不具备物理科学基础知识，他们担心自己无法回答学生们在这方面提出的问题。实际上这种担心是没有根据的，因为课程中仅涉及到很少一点物理学、天文学或化学知识。近来关于应用的问题谈得很多，但我担心它仅仅是一场空谈。

    A：您对“回到基础”的教育课程目前的趋势有何高见？难道它不会在学校里招来一个比一度滥用语言和符号而引起的混乱更糟糕的问题吗？

    K：出现“回到基础”的运动，部份原因来自对“新数学”的反抗，这一运动不是对严肃的数学教育问题的解答。依我看来，它强调20多年前常见的那些毫无实际含义的技巧训练。那种类型的教育失败了，它已为多数理智而受过数学教育的人的态度所证明。几乎可以断言返回基础运动会遭到失败。它虽然不会比“新数学”更坏但是肯定也不会更好。

    A：我想您在自己的书中提出了一个与袖珍计算器有关的观点。您指出一个人要想能够学会代数就得了解算术的技巧。毕竟，做代数运算只是用字母来做他已经会用具体数字做的运算。袖珍计算器本身不能提供算术方面的必要经验。能否在各种程度的课堂上使用袖珍计算器？对此您愿意加以评论吗？

    K：我听到一些优秀的数学家说，在可以利用袖珍计算器的今日，我们无须讲授多少算术。因此我在自己的书中指出了这一主张的错误之所在。当然，在算术教学中，袖珍计算器可以供学生们检验他们通过通常的算术运算所得到的结果。我也相信必要的实验器具是需要的；但严格地说，计算器不是一种实验装置，而是一种新鲜东西，是学生们会摆弄的玩意儿。它是很迷人的。在中等和更高一些的教育中，袖珍计算器具有辅助作用，它可以代替计算尺和对数表。但是这并不意味着不需要讲授对数；因为对数函数在微积分中是重要的。袖珍计算器也能唤起学生对计算机科学的兴趣。

                  历史----教育的指南

    A：您的书中有一处提到，直到1600年左右人们还没有用字母符号来表示数学。在另一处较早的评论中您指出微积分的逻辑基础是19世纪发展起来的，时距Newton和Leibniz已将近300年。可我们今天仍然期望低年级学生就学习代数，期望初学微积分的人就能了解“epsilon-delta”方法的必要性。您认为那些改革数学课程的人应该更多地了解数学的历史发展吗？

    K：我绝对相信历史事实是一种出色的教育指南。微积分的入门不应包括“epsilon-delta”方法，这种严格性的要求属于高等微积分。一个人不需要原原本本地追寻历史，但是如果伟大的数学家在某些创造中曾遇到困难，我们的学生也不会例外。

    A：您主张每一个未来的教师都应上数学史的课吗？

    K：中学和大学里的每一位数学教师都应了解数学史。理由很多，但是最重要的大概是数学史乃是指导教育的指南。

    A：我在“新数学”教材的使用中发现的一个问题是教师们有如下倾向：当他们在夏季训练班接受范围广阔的在职培训时，认为教他们的材料（例如关于几何基础的严格教程）几乎可以不加改变地照搬到中学教室中去。这就忘记了有经验的教师和初次遇到这类问题的年轻学生之间的差别；如前者懂得什么是几何学，他们能够了解经过细心安排的课程的精萃。在今后的课程改革中有无避免这类问题的办法？

    K：您当然是正确的，那些能够理解严格性的教授们并未想到年轻人做不到这一点。向年轻人讲授严格的数学的运动，过去
是、现在仍然是一个错误。学生们还没有做好准备去体会严格性的必要。我在“逻辑与教育”一文中就是试图详细地论证这一观点。对任何课的入门介绍必须是直观的，即使教师们知道从严格性的观点来说这种讲法是错误的。大约2000年来最好的数学家们都认为Euclid的《几何原本》是严格的。这就再次说明历史是教育的一个指南。

                从事研究影响教书吗？

    A：让我们转到您书中提出的更特殊的论题上来吧。您使用了一些激烈的语言，例如关于“新数学”您写道：“当然，‘新数学’对于初等和中等水平的数学教育都是一场灾难……”肯定会有人对此持不同意见。而且您在评论数学研究时也是苛刻的，例如您说：“毫无疑问，在所有学术领域中都有许多没有价值的工作，然而在数学领域这种舍本求末和不得要领的情况尤为盛行。”这本书是否引起了强烈的反应，甚至招来了反击呢？我曾经在《数学通讯员》（The Mathematical Intelligencer）上见过Hilton和Hochstadt所写的两篇反击文章。

    K：我对数学研究的责难跟这些文章之所论无关。事实上我可以为我的观点辨护，也许有朝一日我会这样做的。不过，我在《教授为什么不会教书》中坚持的是：从事现代的、高等专门化的研究并无助于改进在大学教数学的能力。《数学通讯员》上所发表的Peter Hilton和Harry Hochstadt针对我关于研究之论述的批评是无的放失的。例如，Hochstadt说我希望取消研究工作；我从未说过任何这类的话。他们两人都没有耐心去读这本书，而仅仅读了（《数学通讯员》）第一期上的摘要。很难说这样做是严肃的。但庆幸的是，我收到了几十封教师来信，他们不仅同意研究工作与教书无关的看法，而且抱怨要他们去搞研究的压力。

    A：您毫无困难地使我相信大学里存在着些非常糟糕的教学方式，而且卓有成就的研究者们在教室里可能是相当差劲的。但我从您书中得到这样的印象，您几乎不承认有“出色的研究数学家也是出色的教师”的特例。是否存在着在两方面都很出色的人物呢？

    K：兼为出色的研究者和出色的大学甚至研究生教师的人确实是罕见的。理由并不是说搞研究的人没能力成为好教师，而是因为某个人如果要在研究方面出众他就必须追踪大量文献、出席各种会议。并付出那样多的时间来解决重大的问题，这就使他不可能拿出时间来应付那些针对一名教师的复杂要求。这就是说，只有具备过人精力的人才能同时胜任这双重工作。

    A：在读您的书时还有一个问题，即我无法确认一个好教师应该是什么样的？我回想起自己的一位老师，他是一个世界知名的研究数学家。他在讲课中总是花许多时间在那些相当简单的思想上，而常遇到那些依我看来是困难的问题（据我记忆，像Tauber定理的级数）时，他就略去证明并告诉我们说那太难了。当时我曾想自己学习这门功课实属不幸，而我的课堂笔记是些无价值的东西。可是，那位老师怀着满腔热情讲授的内容至今使我难以忘却，而且回忆起来这是我所学过的最好的功课之一。我的观点是教师是以一种微妙的方式影响其学生的思想的，而学生对于一个老师“表演”的肤浅评价并不能说明全部问题。对此您乐于加以评论吗？您认为如何给一个好教师下定义呢？
 
   K：好的教学没有一个完全的、最终的特征。一个能鼓舞自己的学生学习的教师就是好教师。当然他应该不断进取。一个讲课乏味然而却完全知道学生们的疑难之所在，能在课堂里清楚地介绍材料，在课下进行辅导的教师就是一个好教师。甚至那些在教学中既无口才也不特别用心的人，只要他了解自己的学生，并使学生们感到他是能为他们提供任何形式的帮助或建议的朋友，
那么他也是一个好教师。每一位好的教师必须知道普通学生的情况，以此进行有针对性的备课和选择教材。对待学生的反映必须有所保留。

    A：正如我刚才所说，尽管存在着特例，我倾向于认为出色的研究者通常不会是出色的教师，而且他们无论如何不会去充分地接触大学生。但是在您的书中对启用助教有相当多的非难，不错，他们有另外的更重要的事要做，但是我观察到配有助教教学的大学生往往是幸运的，您同意吗？

    K：正因为研究者很少是一名好教师----理由前面已讲过，所以我相信研究生来作助教很少能成为一名好教师。所谓学生通常能从研究生助教那里比从教授那里学到更多的东西，在我心目中只是意味着糟糕的讲解总比什么也不讲要好。

    A：您显然认为对于大学数学教师来说，研究和教书几乎是格格不入的。您在各种文章中建议，大学与研究生部应在财政和教员配备上都分开。请问有多少学校这样做了？这样做获得了多大程度的成功？它是否为大学水平的教学带来更好的效果？

    K：我坚持自己的建议，即大学生与研究生的教育应该彻底地互相独立。研究生院侵占了由大学生交的学费而来的经费。大学不把这些钱用来资助第一流的教师，而是用于聘用研究生助教和采用大课的形式来给大学生上课。这种做法在规模大的大学施行了已有30或40年了。以我个人在纽约州立大学的经验（我负责该校大学部的数学教育已达11年之久），当大学部独立时教学效果要好得多。那时候，教学是在小课堂进行，由熟练的、专职的、通常来说是具有资格的教师来授课。但是纽约大学现在也步上了哈佛、普林斯顿、芝加哥、伊利诺斯、密西根、伯克利以及据我知的所有重要大学的后尘。在《纽约时报》“Op-Ed”栏目近期发表的一篇文章中，一所名牌大学的校长为大学生注册数字面临下降的局面而叹息，因为这意味着可用来资助研究的钱减少了。
 
   A：您叫人注意这样的事实，联邦政府以法律形式和扣发补助基金的办法，迫使大学结束那种不公平的做法是有效的；而政府方面的类似压力也能强制大学来改进教学。您提倡这样的干预吗？应该对大学施加什么样的压力呢？                           

    K：我不愿意在教育中看到过多的政府干预。但是现在的那种设置州立大学的教育体制是最重要的体制，这类大学的管理经费由州（有时由市）提供。州议员们需要确信和看到有充足的资金用在真正的大学教育方面。这是具有头号意义的。当然也应为研究生教育和研究提供经费，但是它应放往满足大学教育的需要之后。国家科学基金和数百个私人基金会为研究生和研究计划提供资助。我不会忘记研究的价值，但是它不应侵害大学生的利益。

    A：您在第235页上写道：“在教育领域，大学坚持把从事研究作为任命与保留住教授席位的标准，……采用大课形式教课，大量启用助教，以及不适宜的教科书对数学的进步和教学的效果都是极为有害的。”肯定有人强烈地认为把研究工作的好坏作为任命与保留住教席的一项标准对于数学的进步是至关重要的，您在此处指的是否仅仅针对大学部教席的任命？研究生院肯定需要搞研究的，除非研究生院放弃培养哲学博士（Ph．D）的目标而改为培养文科博士（Doctor of Arts）。

    K：我在自己书中的第235员上关于研究工作不应作为任命与保留住教席的标准的意见，主要是针对大学部教师的。不过，即使对研究生，特别是在他们的前一、两个学年中，也需要好的教学。同时，许多研究生院开设了服务性课程，这是为那些希望学到更多的数学但并不攻读数学博士学位的（如工程师们）所开设的。在这本书的下一段里，我相当淆楚地表达了这样的意见：除了承认研究成果，还必须承认一个人的学识，当然搞研究的教授对于推进数学和培养未来的研究人材是必要的。

              文科博士学位对教师更合适吗？

    A：您用了一些篇蝠讨论文科博士学位。我当然同意就从事大学教育而言，文科博士在许多方面过去和现在大概是比哲学博士更合适的学位。您认为这一设想将会真的付诸实现吗？人们不会把它看成一个低于哲学博士的二流学位吧？选择文科博士作为二年制学院教师所必备的学位，您对此有何想法？

    K：文科博士学位正在慢慢地被接受。我相信关于什么是好的教育的争论将有助于此。尽管这一学位暂时将被视为是二流的，我相信它将取得自己的地位。对于二年制学院的教师来说，它是合适的学位。现在有大约50%的大学生在二年制学院学习，这些大学生必须有好教师，而我希望新近成立的全美二年制学院数学联合会（American Mathematical Association of Two-YearsColleges）将对培训教师施加影响。

    A：现在我想转而讨论应该教什么样的数学。在第206页（《教授为什么不会教书》）上，您反对教文科生或未来初等学校教师一些通常要教的题材：“实数理论的逻辑发展、集合论、超穷数、布尔代数、真值表、诸如群、环、域之类的抽象代数结构、有限几何，以及份量很重的公理方法与证明等等。”在所有（哦，几乎所有）这些领域里，目前都有很吸引人的问题，但是对于那些并不具备数学天资的学生们来说，它们只是一份乏味透项的题目清单而已。我知道您愿意使用与科学关系更密切的题材，纯数学中，例如数论或几何中是否有这样的题材，它们更接近学生的经验与兴趣。

    K：谈到教文科生和未来初等学校教师的教材，现在流行的内容大多数对他们是无用的。当然，我并不排斥某些纯数学题材。我的《文科数学》就为文科学生提供了一种可用的读本。我不提倡用这本书来教未来初等学校的教师，他们需要更好地理解算术、代数与几何的基础、以及相应水平上的应用。这些学生可以学习多种题材，例如我们采用的数系的各种基，它将加深他们的知识从而使他们成为更好的教师。

    A：我的整个感觉是您对纯数学有些微辞。但是，数论、组合学与几何中的一些题材可以远离实际问题而具有巨大的魅力，还可以用来激励学生学到好的数学技巧。Martin  Gardner的书和专栏文章的广泛流行就说明了这一点。您在自己的书中确信游戏对于低年级学生有积极影响，难道高年级学生就不能从有魅力和有趣的数学中得到好处吗？

    K：我对把纯数学作为课程中的主食的做法不满。作为副食有点那可能是吸引人、令人生奇，很有点意思。但是数学是门最重要的课，而且依我的经验看，最吸引学生的是那些在他们的生活（依年龄而有别）中能派上用场的事物。Martin Gadner的专栏文章和著作的流行主要在于那些难题让人动脑筋；我愿意在任何水平上采用具有真正教育意义的难题，但是许多难题是没什么意义的。让我们想一下纵横字谜的流行吧，它们能在多大程度上体现英语课程的本质内容呢？

    A：我有一个问题是关于讲授来自物理科学或天文学的例子的。可能是我讲得不好，但我总觉得很难把自己在这些问题上的激情传染给学生，最常出现的情况是使我的学生想起在物理课上的不快经历。它们常常需要大量的计算，看起来特别像是真正的工作。至于天文学的计算，尽管有些对空间计划入迷的学生可能颇感兴趣。但在我看来仅仅是如同哥尼斯堡七桥问题一样的日常琐事。

    K：物理并不比数学好教。有些学生对于物理问题的反感不亚于对于数学的反感，这是事实。不过假若数学教学得到改进，物理问题就可以被表达得更具吸引力。何况通过挑选那些与学生们的生活的确有关的问题，我们可以提高他们的兴趣以致克服对物理的反感。对于高中学生来说，用于健身术的物理（有这方面的书）可能是一个合适的应用课题，尽管它大概没有非常大的意义。繁琐的计算应该而且可以通过对数字的精心安排而避免。我们必须通过试验，寻求确实适合各种年龄的学生的不同的应用问题。

    A：您看过一些最近出版的应用问题集吗？（例如MAA-NCTM出版的《中学数学应用资料集》），它们由不同的小组联合选题。为了选择能在课堂上用的例题，我从头至尾地读了其中的一些书。依我看，它们中的大多数都枯燥乏味，我担心无法对自己的学生试用。我觉得它们并不比将被它们取代的那别人为编制的问题更有趣。问题在于能引出例子的好材料；正如您所指出的一样，大多数作者不具备写作出色的应用问题的背景的。如果接受《数学月刊》上Robert Karplus写的“科学中的数学方法”一文的观点，甚至像具有Polya的学术背景和才干的人也会遇到困难。对此问题您有什么简单的解决办法吗？
 
   K：我还没有读MAA-NCTM的《中学数学应用资料集》，但我读过其它的书，通常来说它们是令人失望的、单调乏味的。实行这类写作计划的麻烦在于作者们写的是他们已经知道的东西，而他们之所知是有限的。我相信应用的数量和形式是那样地多，我们总是可以找到好例子的。我自己的笔记中记了数百个应用的实例。当然好的例子必须通过在各个领域艰苦的挖掘才能找到。而且我强调它们必须先进行试讲。Polya是一个伟大的数学家而且对教育真正有兴趣，但是他为高中学生写作的本领是成问题的；如同其他在欧洲接受训练的数学家一样----其中有些人是我在纽约大学的同事----Polya对于美国较初级的教育并不真正往行。

                  为教师们写的介绍性作品

     A：作为几部教科书的合作作者，我不得不承认在读您关于教科书及其作者的那一章时感到有些难为情。让我来引述您的话：“数学教科书的写作不仅极端简洁，而且令人感到冷漠、单调、枯燥、乏味甚至文法不通。”我承认其中的一些责难有理但是不情愿接受最后一条！当然，您的评论不仅适于教科书，甚至更适于杂志上的文章。在许多人眼中，晦涩的数学作品不是一种罪过而是一种德行。请问是否存在合乎情理的改变数学作品风格的希望，以便不再使包含写作动机和历史背景的文章被看成采用了坏的写作方法？

    K：我对教科书的非难是泛泛而言的，就如同对研究人员当教师的批评一样；我并不排除例外。所有的数学家，特别是取得文科博士学位的人，都愿接受写作介绍性作品的训练。写作是一项技能和艺术，并不是生来就会的。如果我们进行培训并合理的安置好的教师，他们就会去寻找写得好的教科书并促使其他想取得职位的人改变现状。对于研究性的文章，我看不出有改进的希望。美国数学会本可以为此做很多事，但是他们不会去做。

    A：我想起数年前访问一所小的文科学院时浏览其书柜中的教科书的情况，我知道该校的学生是什么类型的；在那里我期望找到Granville的微积分读物，但我却发现了Apostol的书。对于某些学生来说，Apostol的书现在当然是一部好教科书。我知道您关于此事会有话讲的，您愿意说说吗？

    K：Apostol的微积分是非常高深的微积分教科书，它不应作为微积分的入门书来使用。许多教授根据他们自己的兴趣选用教材，却全然不顾及学生们的水平。
 
   A：您强调了对一个人学识的评价，而不是其研究能力。我想您所说的学识，指的是综合能力、批判能力，以及用历史眼光看问题的本领。肯定地说，数学是具有下述特点的少数几个（如果不说是唯一的话）领域之一：所谓的学识在这理被忽视了而只有新的创造才算数。如果我们刚才讨论的培养文科博士的计划得到成功，并对数学职业产生了影响的话，那么承认这种有价值的能力就恰是必要的了。我只是希望我们不要用别人的学识来衡量一个学者。我发现读您的《古今数学思想》就像是一次令人叹服奇妙的漫游。 您的讲课中也有历史性评述吗？

    K：我的《古今数学思想》不是一部教科书，它是供专家们必要时查阅并为了提供广泛背景知识的读物。但是历史可以在教学中扮演重要的角色。例如，假如告诉初学微积分的学生们：尽管Newton和Leibniz是声名显赫的先辈，他们自己也没有透彻地理解微积分的许多概念，数学家们大约经过200年的努力，才把这些概念弄确实；那么当学生们开始时不能很好地理解这些概念，也就不至于感到迷惘。相反地他们将得到鼓舞而继续学下去，历史还有许多其它的教育价值。    写好的介绍性文章和批评性文章也是学问。

    A：您是否觉得应该在数学系设置更多的单独的数学史课程？

    K：每一个数学系都应该设置一门数学史课程、无论对于大学部还是对于研究生院都应如此。我可以写一篇长文来论述设置这样一门课程的价值。       
                    
          
                  在纽约大学的生活

    A：您本人一直很接近近期的一些重要历史。您曾经在纽约大学工作了许多年，关于Courant时代我们最近在Reid的书中读到了很多事情。早年，也就是30年代后期，您在高等研究所工作吧？当时Einstein在那里，还有其他一些相当出色的人。在这些令人激动的日子里，纽约大学和研究所的生活是什么样的？您能为我们简要地描述一下吗？

    K：描述从1934年到1958年在Courant管理下的纽约大学的生活需要一本像Coustance  Reid写的那样厚的书。我能够简要说明的只是：Courant是我所遇见过的人当中最博学最具备管理才能的一位，他还把一个微不足道的（数学）系建设成了最了不起的系之一。在为他工作的过程中使我获得了在别处得不到的洞察力。1936-1938这两年间，我在高等研究所所度过的时光也是很值得的。不过只是学到了数学知识而已。Einstein、VonNeumann、Weyl、Morse、Veblen以及Alexander都是那里的数学教授。我是Alexander的研究助手。我不得不告诉你这些人身上也有十分明显的局限性，当然我不是指创力或知识而言。

    A：您一向对应用数学有浓厚兴趣吗？这是受了什么人的影响？有没有数学史或科学史方面的教师或人物对您有影响？您对历史上的哪些数学家给予特别高的评价？

K：在高中甚至在做数学研究生（Courant于1934年到纽约大学之前）时，我对数学是什么没有一点儿自己的想法。我可以按照要求完成作业并得到高分，所以我宁愿选择学数学而不选择诸如英文之类的其它科目。我相信自己是本世纪20--30年代盛行的可怜的教学法与知识缺乏的一个牺牲品。我的博士学位是关于拓朴学的，这是任命我为拓朴学家James W. Alexander的研究助手的一个原因。但是当我返回纽约大学为Courant工作时，他使我确信数学家做出的与应该继续做出的最大贡献乃是帮助人们了解他们自己的世界，于是我转向了应用数学。
    尽管Courant无疑是我所知道的最有能力的管理者，他对于各式各样的人和思想具有不容置疑的判断力，但是依我看，在数学领域中具有最广博知识与最聪明的人是Hermann  Weyl：甚至他在《美国数学月刊》上发表的文章也是值得咀嚼再三的。如果我们把时间上溯，我心目中的英雄则是Leonard Euler。

    A：作为一名应用数学家，您一定参与了目前关于突变理论的争论，您愿意发表评论吗？

    K：我没有足够的了解，因此无法评价Thom在突变理论方面的工作。我怀疑它具有实质内容。但是当它被冠以“突变”一类的词之后，肯定会引起比它原来能得到的更多的注意。
 
   A：我第一次遇见您是1958年，在斯坦福，当时您正利用暑假为接受特别培训的高中教师讲课。那时候您还正在写教学的书，并且已经写出了几份教材和其它与教学有关的著作。您从何时开始就产生了对教学的浓厚兴趣？您一直乐于此道吗？

    K：当我于1930年在纽约大学当教师开始教书时，教课在那里仍被看作是教师最重要的工作，尽管由于众多原因我又回来搞应用数学的研突----二次大战期间我为美国军队搞应用研究，后来在Courant研究所建立了电磁学研究室----我仍然相信教书至少跟研究是同样重要的，而且我继续追求着教学中的乐趣。我们是1958年在斯坦福相遇的，我后来又于1961和1966年再次到那里教书。大约在1945年，研究在我国开始凌驾于教育之上，从那时起我开始对大学生受到的劣等待遇感到气愤；即使研究工作十分繁重，我仍然要抽出时间来为争取好的教学而大声疾呼。
我希望尽自己的力量继续这种努力，幸运的是，Courant对教学有好感，实际上他是懂得教学的，所以我个人在纽约大学没有遇到过麻烦。

                   对教师们的忠告

     A：您是一位享有盛誉的教师。您有什么诀窍可以传授给我们队伍中的其他人？能够教会人们怎样教书吗？是否有人生来就具有这种本领而其他人没有呢？

     K：我相信几乎所有的人都能成为一名好教师。只有一种人是例外，他们大概受早年生活的影响而形成了孤癖或内向的性格；那些性格活泼的人大概生来就具有这种品质。但是我早就注意到人的这种特点是非本质的。实际上有不同类型的好教师。无论如何，教书和学会如何教书肯定要求当事人有这方面的志向和决心。缺乏自知之明的人也不会把事情办好的。一名教师必须了解：学习动力是至关重要的；学生中有思路敏捷的，也有反应迟钝的，但这两种人都能够同样好地学习甚至创造；班上每个学生的知识背景与兴趣都会在课堂上有所反映，而这些背景与兴趣的区别相当大；教师方面友好的甚至同志般的态度是十分关键的；幽默感对于教师亦不可忽视；必须经常寻找最好的教材和陈述方式。好
的教学要求教师具备许多素质，而它们都可以学会的。不过，只要仍然把研究成果作为衡量人及其进步的标准，搞好教学的愿望就会受到压抑，这是人类具有的一种自然的反应。

    A：我记得Polya讲过这样一个关于Hilbert的故事：当有人问他如果500年后能够像Barbarossa那样重返人间，他将希望知道什么问题的答案之时，他说道：“是否有人证明了Rie-mann猜想？”如果您在500年后能够重返人间，您愿意问什么问题呢？

    K：如果我在500年后重返人间并发现Riemann猜想或Fermat大定理被人证明了，我将感到失望。因为根据试图证明这些猜想的已有的历史，我差不多可以肯定，数学家把大量的时间花费在证明这些对于人们的生活并不重要的定理上了。我倒是希望医学有这500年的进展，能像数学物理在过去300年所取得的进展一样神速。当医学发现了怎样治疗和预防癌症、心脏病、先天不足、精神错乱和其它疾病的时候，我会欣喜若狂因此而对那些大部份甚至是无用的数学表示宽容。为人类的幸福下个定义是不容易的，况且如同诗人Archilochus所说的一样：“每个人必定有他自己的方式取得心灵上的欢愉。”但是身体健康是第一个先决条件。大概医学的研究不得不等待数学、物理学和化学中的某些进步，但我相信200年前就能着手进行远比实际规模要大的研究。Harvey发现的人体血液循环，Descartes在生物学方面的实验、John Bernoulli和他的儿子Daniel应用流体力学于动脉和血管中血液流动的设想直到最近才引起注意；而生物学的研究往往披人忽视，这是很可悲的。如果一直有人追随他们和其他某些人的工作，我的希望也许今天就已实现了。

注：  “新数学”－－指50年代首先风起于美国，随后影响到西欧的一场旨在革新数学教育的运动，其主要特点是以集合论与结构的观点贯穿整个数学体系，把微积分、概率统计和数理逻辑等知识下放到中学，取消了传统的几何与三角，并以计算机的使用来代替学生运算能力的训练。

注：  “回到基础”－－是70年代中叶开始，出于对“新数学”的批评与反思，由美国数学教育界喊出的一个口号，其结果是将中学数学教育回复到50年代以前那种大量繁琐的概念陈述和运算训练。