神秘的空间 （上）

（对外在世界的认知之七）

 

不以物喜，不以己悲。生活了大半辈子，本来觉得已经修炼得对各种躁动能淡漠相处了，可最近发生的一些事情，还是令我心生波澜难抑感慨。当然，实际上我是进一步确认了，不同的人真是有不同的特质，当你能把自身的潜能特质在合适的地方发挥出来，你就能创造奇迹。

 

比如说，搞政治的人，就得脸皮厚，能欺人的同时还要能从容不迫地自欺，等自己喜欢的谎言在自己的嘴里和别人的嘴里都说得情真意切的时候，那么见证奇迹的时刻就要来到了。现在，中美两国人民好像都有这个福分，都在等待伟人即将创造的奇迹。与此相反的是，倾心搞艺术搞科学的人，脸皮就不能厚，因为他们要保持思维和感觉的敏锐，这样才能发现和创造新的理论新的成果。不单脸皮不能厚，他们通常还很神经质，不能容忍任何谎言、差错甚至不完美。由于这种人大多是天才，而真正天才的人追求的是脑力能够到达的极限。

 

1777年出生在德国布伦斯维克的数学王子高斯，就是这样的一个天才。据说他小的时候说话较晚，不善言辞。有天晚上，做小生意的父亲坐在烛台下算账，等他比比画画忙了一阵子把最终结果写出来时，坐在旁边话还讲不利索的高斯弱弱地说道：爸爸，你算错了！

 

高斯的神童名声在他十一岁时就已经在当地家喻户晓了，布伦斯维克大公听说后，专门把他选拔出来送到了最好的学校去培养。在大学校园里，高斯结识了一个来自匈牙利的叫做鲍耶（Farkas Bolyai）的音乐天才。这鲍耶有点像是毕达哥拉斯的再世传人，他喜欢音乐但也精通数学。有一次他们两人一起步行90多公里去看望高斯住在乡下的父母，高斯的母亲问鲍耶，她的儿子这么幸苦自己，是在积攒什么吗？鲍耶说，高斯正在积攒成为欧洲第一的数学家。听闻此言，高斯的母亲顿时泪流满面。果然以后不久，高斯就开始在天文学、电磁物理学和数学等诸多领域成绩斐然，刚刚三十岁，就出任哥廷根大学的物理学教授及哲学系主任。

 

高斯的成就，不单单在于那些以他的名字命名的定理公式，同样可贵的是他埋下的一些种子，一些日后引起了脑力革命的种子。高斯说，自1792年他十五岁的时候起，有个问题就在他的脑后不停地蠕动。这是一个冬眠了超过两千年的问题，是来自欧几里得几何原理里面的第五公理，平行线的定义问题。高斯曾在一封信中告诉鲍耶说，大多数人把这个当成公理，但我不这么认为。

 

在原著中，欧几里得书中第五公理的陈述有些绕口，他的原话是说 ：若两条直线都与第三条直线相交，并在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。欧几里得之后，很多数学家看到这个公理都觉得有点冗长费解，就试图去证明它，但都是无功而返。后来，我们前文提到的那个开普勒也对这个问题下了一番功夫，经过一番深思熟虑之后，他把这个公理重新定义了一下，开普勒的说法是，两条平行的直线相交于无限远处。这话看上去的确就好懂多了，但也开始有了点反叛的意味。不过疑问好像并没有解决，事实真是这样吗？无限远又是多远呢？开普勒自己也无法证明。

 

高斯对这个问题一直沉吟犹豫决心不定，但他能感觉到这里一定有个出口存在，而通过出口，可能会有一片全新的天地。就这样，时光一晃就过去了三十几年，直到有一天，他的好友鲍耶发表了一部有关科学基础理论的著作，他看到后大吃一惊。让高斯感到震惊的，倒不是这个大部头著作本身的内容，而是一段叫做“展示绝对真实科学的空间”的附录章节，这里面展示出来一个不依据欧几里得平行线公理的全新几何世界，而这段理论的发明者是高斯好友老鲍耶的儿子，雅诺什. 鲍耶（Janos Bolyai）。

 

说起来这个小鲍耶可真是个混世魔王般的人物，他天分极强又不安分守己。与他爸爸一样，小鲍耶属于毕达哥拉斯的又一代传人，他喜欢音乐，拉得一手漂亮的小提琴。二十出头的时候，小鲍耶在军队服役，但他个色的天性得罪了班上所有的人，他们都提出来要与他同一天决斗，十二个人轮番进行。鲍耶接受了挑战，但他给出了一个条件，就是在前一场决斗结束后，如果他还活着，他要有时间去拉一段小提琴，然后再进行下一轮。不知道是神佑还是命硬，鲍耶创造了奇迹，他通赢了这十二场决斗。所以，这就难怪了，这么一个福大命大的天才，义无反顾地投身到对欧氏几何的反叛中去，能够得到的，肯定是令人吃惊的战果。

 

几乎与雅诺什.鲍耶同时的年代，在俄国的喀山大学，洛巴切夫斯基也独自想通了这个问题，他从推翻第五公理的方法入手，给出两条平行线能够相交，以及直线外的一点可通过多条与之平行的直线，这样的反推理假设，一步步倒推回去，结果发现除了欧几里得的第五公理，别的公理都能适用，整套以此反推理的假设演算出来的理论合乎逻辑。只不过，欧氏平行线特征只是在曲率为零的面上延展的；而鲍耶和洛巴切夫斯基他们想到的这种可能相交或者渐开发散的平行线，是在马鞍型双曲面上弯曲变化的。至此，孤独了两千年的欧氏几何终于迎来了一个异族同类，非欧几何，鲍耶——洛巴切夫斯基几何。

 

能给出直观印象的洛巴切夫斯基曲面用微分几何的概念成型的话，是一个曲率是负值的曲面。那么，曲率为正值的时候，面线关系又会是什么样子呢，那又会带给人们什么样子的空间观感呢。

 

 

 

图中从左至右，零曲率面，正曲率面， 负曲率面