一 两人对决
在一片荒野之地，甲乙两人相距百步之外，各自持枪怒目而立。他们签下了生死文书，接受了如下挑战：轮流向对方射击，生死由命，存亡在天。经过抽签，甲先行。两人均非百发百中的神枪手：甲乙打中目标的概率分别是a和b，并且都带有用不完的子弹。
请问，甲乙各自存活的概率是多少？
用p和q分别表示甲乙存活的概率。甲如何才能活下来呢？甲要活下来，只有通过以下方式。
1：甲第一枪命中，概率为a；
2：甲第一枪不中，乙第一枪也不中，甲第二枪命中，概率为(1-a)(1-b)a；
3：甲第一枪不中，乙第一枪也不中，甲第二枪不中，乙第二枪也不中，甲第三枪命中，概率为(1-a)(1-b)(1-a)(1-b)a；
4：。。。
等等，等等，依此类推，。。。，所以
p=a+(1-a)(1-b)a+(1-a)(1-b)(1-a)(1-b)a+...
=a{1+(1-a)(1-b)+(1-a)(1-b)(1-a)(1-b)+...}
=a/{1-(1-a)(1-b)}。
同理可得
q=(1-a)b+(1-a)(1-b)(1-a)b+(1-a)(1-b)(1-a)(1-b)(1-a)b+...
=(1-a)b{1+(1-a)(1-b)+(1-a)(1-b)(1-a)(1-b)+...}
=(1-a)b/{1-(1-a)(1-b)}。
概率p，还可用以下办法通过条件概率算得。
用A表示甲第一枪命中，用B表示甲第一枪不中，乙第一枪命中，用C表示甲第一枪不中，乙第一枪也不中，则：p=P(活|A)P(A) + P(活|B)P(B)+P(活|C)P(C)。
不难算出：P(A)=a，P(B)=(1-a)b，P(C)=(1-a)(1-b)，并且P(活|A)=1，P(活|B)=0，P(活|C)=p。为什么P(活|C)=p？因为这时又是甲先行，旧戏重现。所以p=a+p(1-a)(1-b)。从中也可得p=a/{1-(1-a)(1-b)}。
二 乱世英雄
好莱坞有部经典西部影片“The good, the bad and the ugly”。影片的结尾，三个枪手等距离站立在墓地的一块空地上，正进行三人的生死角逐，观众凝神而视：好人，坏人，丑陋之人，谁将赢得最后的胜利？
我们也将看到一场三人的生死角逐：在旷野之地，等距离地站着甲，乙，丙三人，持枪而立。三人的枪法如下：丙是神枪手，百发百中；乙枪法也佳，十有九中；甲差一点，只有五五之数。角逐的规则如下：如轮到某人打，他可决定先打谁，如打中，余下的那人接着打，如未中，则被打之人优先接着打，甲先行。枪击持续到只有最后一人胜出。
平时不努力，临阵徒伤辈，甲该如何办呀？
大家都想活下来，甲应该先打谁呢？
用a,b,c分别表示甲，乙，丙打中的概率。已知：a=0.5,b=0.9,c=1。
策略一：甲先打乙，P(甲活)=P(甲活|甲打中乙)P(甲打中乙)+P(甲活|甲未打中乙)P(甲未打中乙)。
我们已知P(甲打中乙)=a，P(甲未打中乙)=1-a。如甲打中乙，则轮到丙打，甲必死，所以
P(甲活|甲打中乙)=0。如甲未打中乙，则轮到乙打，乙必先打丙；如打中，便回到甲乙对决的局面了。如未中，丙必先打乙，乙死，甲有最后一次机会。所以有：
P(甲活)=P(甲活|甲未打中乙)P(甲未打中乙)
=(1-a)P(甲活|甲未打中乙)
=(1-a)｛bP(甲活|乙打中丙)+(1-b)P(甲活|乙未打中丙)｝
=(1-a)｛ab/[1-(1-a)(1-b)]+(1-b)a｝。
代入a=0.5,b=0.9可得P(甲活)=0.26184。
策略二：甲先打丙，P(甲活)=P(甲活|甲打中丙)P(甲打中丙)+P(甲活|甲未打中丙)P(甲未打中丙)。
我们已知P(甲打中丙)=a，P(甲未打中丙)=1-a。如甲打中丙，则轮到乙打，变成甲乙对决乙先打的局面了。如未中，丙必先打乙，乙死，甲有最后一次机会。
所以有：
P(甲活)=aP(甲活|甲打中丙)+(1-a)P(甲活|甲未打中丙)
=a(1-b)a/{1-(1-a)(1-b)}+(1-a)a
代入a=0.5,b=0.9可得P(甲活)=0.27631。
两种策略，甲活的机会都不大，凶多吉少。
但是，且慢，为了活命，甲决定耍次赖皮，还有如下两种策略，好死不如赖活嘛。
策略三：甲先打丙，但第一次故意不中，丙必先打乙，甲再全力以赴打丙，甲活的概率是a=0.5。
策略四：甲先打乙，但第一次故意不中，乙必先打丙。如乙未打中丙，丙必先去掉乙，甲还有一次全力拼搏的机会。如乙打中丙，又变回甲乙对决的局面了。所以，
P(甲活)=bP(甲活|乙打中丙)+(1-b)P(甲活|乙未打中丙)
=ba/[1-(1-a)(1-b)]+(1-b)a
代入a=0.5,b=0.9可得P(甲活)=0.52368。
利用策略四，甲存活的概率大大提高，但是有点耍赖，读者朋友评评，做这个赖皮，值还是不值？
这样一来，三流混混甲活下来的概率竟然最大。真是乱世出英雄啊！
更为悲剧的是，神枪手丙能活的概率竟然只有区区的0.05。大家说，哪里评理去？天妒英才啊！
