符号用法：a^n 表示a的n次方，a_n表示a的下标是n, a*b表示a和b的乘积 。符号带来的不便，请多包涵。

先打一个比方。

如果有n个女孩待嫁，另有n个男孩待娶，怎样的结合才是最优的呢？我们的祖先说：要讲究门当户对。就是将所有人根据某种条件打个分，把男孩和女孩分别按得分由高到低排一个顺序，再将得分最高的男孩和得分最高的女孩配对，得分次高的男孩和得分次高的女孩配对，并以此类推，然后将得分最低的男孩和得分最低的女孩配对，这样就得到总体的最优婚配。所谓门当户对，就是强强匹配，或者强强合作。

由这个作引子，我们考虑下面的数学问题：有两个n项实数数列A=（a_1，a_2，。。。，a_n)和B=(b_1，b_2，。。。，b_n)，通过匹配，我们可以形成另一个n项数列C=（a_1*x_1，a_2*x_2，。。。，a_n*x_n)，其中（x_1，x_2，。。。，x_n)是(b_1，b_2，。。。，b_n)的一个排列。总共有n！个不同的排列，从而有n!个不同的n项数列。在这n!个不同的n项数列中，哪一个和最大？也就是，哪一个数列（x_1，x_2，。。。，x_n)能使得和a_1*x_1+a_2*x_2+。。。+a_n*x_n最大？

答案是，强强匹配，其和最大。为方便起见，不妨假设a_1，a_2，。。。，a_n按值大小递减排列。如果y_1，y_2，。。。，y_n也是b_1，b_2，。。。，b_n按值大小递减排列，那么（a_1*y_1，a_2*y_2，。。。，a_n*y_n）就是和最大的匹配。

另外，强弱匹配，其和最小。就是说，如果z_1，z_2，。。。，z_n是b_1，b_2，。。。，b_n按值大小递增排列，那么（a_1*z_1，a_2*z_2，。。。，a_n*z_n）就是其和最小的匹配。

两个结论证明都不难，读者不妨试着证明。我们将结果写成：强强匹配，其和最大；强弱匹配，其和最小。

当然，也可考虑超过两个的n项数列匹配问题。比如有三项n项数列A=（a_1，a_2，。。。，a_n)，B=(b_1，b_2，。。。，b_n)和
C=（c_1，c_2，。。。，c_n)，如何找到数列（y_1，y_2，。。。，y_n）和（z_1，z_2，。。。，z_n）使得它们与A匹配而成的数列
（a_1*y_1*z_1，a_2*y_2*z_2，。。。，a_n*y_n*z_n）其和最大？其中，（y_1，y_2，。。。，y_n）和（z_1，z_2，。。。，z_n）
分别是数列B和C的排列。

因为要包括奇数项的情况，我们假设数列的各项都是非负实数。这时有什么结论？

我们的结论依然是：强强匹配，其和最大。

自然，对超过两个的n项数列匹配问题，没法定义强弱匹配，所以就没有另一个结论了。

所以，我们的定理是：强强匹配，其和最大。把这个定理弄明白了，就可以证明很多有名的不等式，我们先举几例。

1： 算术平均不小于几何平均：（a_1+a_2+。。。+a_n）/n 不小于 (a_1*a_2*。。。*a_n)^(1/n)，等号仅在所有a_1=a_2=。。。=a_n时成立。
2： Cauchy-Schwarz不等式：a_1*b_1+a_2*b_2+。。。+a_n*b_n 不大于 sqrt{(a_1*b_1+a_2*b_2+。。。+a_n*b_n)(b_1*b_1+b_2*b_2+。。。+b_n*b_n)}。

有兴趣的朋友不妨试着证明一下。

根据这个定理，我们证明下面的结论。如未说明，a,b,c,d均为非负实数。

1：如a正实数，则a+(1/a)>=2。
证： 考虑二元数列（1，a）和（1，1/a）。注意它们的强弱匹配是(1*1,a*(1/a))其和为1*1+a*(1/a)=2，另一个匹配是(a*1,1*(1/a))其和为a+(1/a)。

2: a^2 + b^2 + c^2 >= a*b+b*c+c*a。
证： 考虑二元数列（a,b,c）和（a,b,c）。它们的强强匹配是(a*a,b*b,c*c)，其和为a^2 + b^2 + c^2；另一个匹配为(a*b,b*c,c*a)，其和为a*b+b*c+c*a。

3：a^3+b^3+c^3 >= 3a*b*c。
证： 考虑三元数列(a,b,c),(a,b,c)和(a,b,c)。它们的强强匹配是(a*a*a,b*b*b,c*c*c)其和为a^3 + b^3+ c^3,(a*b*c,b*c*a,c*a*b)是另一个匹配，其和为：3a*b*c。

4：a/b+b/c+c/d+d/a>=4。
证： 考虑两个四元数列(a,b,c,d)和(1/a,1/b,1/c,1/d)。它们的强弱匹配是(a*(1/a),b*(1/b),c*(1/c), d*(1/d))其和为4，(a/b,b/c,c/d,d/a)是另一个匹配，其和为：a/b+b/c+c/d+d/a。

 5: (a^2)/b + (b^2)/c + (c^2)/d + (d^2)/a >= a + b + c + d。
证：考虑数列(a^2,b^2,c^2,d^2)和(1/a,1/b,1/c,1/d)，它们的强弱匹配是((a^2)/a,(b^2)/b,(c^2)/c, (d^2)/d))=(a,b,c,d); ((a^2)/b,(b^2)/c,(c^2)/d,(d^2)/a)是另一个匹配。

还可以举出很多例子，用强强匹配定理或强弱匹配定理就可给出简单的证明。

一

离离的新书出版，收获了大量的银子，决定设立离离奖，是离离文学奖的简称。

离离想，世人都知道诺贝尔文学奖，还不是因为诺贝尔奖金多，因此，离离奖也得是重奖。另外，离离又觉得，肥水不流外人田，所以离离奖暂时仅限于海外原创的网友。经过多次筛选，第一届离离奖由若妖和碧蓝天捧得。两位MM都多产优质，广接人气地气，得奖自是众望所归。

发奖的日子到了。大会工作人员抬出了三个大箱子上主席台。

大会执行主席离离到会致词。

“亲爱的原创网友们，大家早上好，下午好，晚上好。众所周知，诺贝尔文学奖行之有年，毁誉交加。誉之者称之确实挖掘了不少实力派作家，毁之者说它沦为干涉它国内政的工具。这个，作为诺贝尔的同行，我不妄加评价。但是，离离奖不同于诺贝尔奖，主要有如下两点。第一，为避免成为干涉它国内政的工具，离离奖仅限于原创网友，并要求中文写作。第二，大家看到了主席台的三个大箱子吗？奖品就在箱子里面，其中一个是金质球，就是由十足黄金打造而成的球。另外两个是由银子打造而成的球。为了公平起见，现由两位大奖得主自己选择奖品。挑中了金球，就是金奖，挑中了银球，就是银奖。抽奖现在开始。”

若妖由于正创作‘失火的青春’，青春似火，一阵风似的，抢先飘上了主席台，挑中了一个箱子。想到随心的爸爸还需用一大笔钱，心里祈祷：天灵灵，地灵灵，让我挑的是黄金，。。。。

蓝天最近在写‘无语的天堂’，正为章如谦纠结：明明戴了套套，为嘛还是怀上了呢？套套不是中国产的呀。要是美国产的套套都不可靠，原创坛中的XDJM还不全得中招啊？直到彩风道出真情，才恍然大悟。这一耽误，就让若妖抢了先机。

罢罢罢，反正现在后面无人了，咱就慢慢地挑，咱就不信若妖这妖怪运气就那么好。

蓝天左挑右选，拿不定主意，可急坏了主席离离。离离想：姑奶奶，租用会场，可是要花银子的。

最后，蓝天在默念了三百声南阿米托福之后，选中了一个箱子，慢慢将它打开。

咦，怎么是个银球？难道数错数，少念了两声？而且只有玻璃球那么大小。这么小的球，还用两人抬，是不是太夸张了点呀？会不会还是个镀银的呀？

蓝天将球放到手中捏了捏，一层白银落了下来，露出了里面的玻璃本色。蓝天瞄了离离一眼，轻轻地问了一声，离哥，是不是你小时候玩过的弹子球哇？

离离神态自若，很淡定地说，是的，子洋和云海也玩过，很有收藏价值。

看到蓝天挑中了银球，若妖开心地笑了，心里想，就算是子洋他们师父的师父的师父也玩过，也比不上金球。这时离离问了一句：在你没有打开箱子以前，要不要将你挑的箱子和剩下的交换一下？

若妖怔了一下，不知如何是好。。。。

若妖正犹豫换还是不换，离离租用的会场到时间了。大会主席团决定，发奖仪式暂时终结，授奖大会另外择时继续进行。。。。

二

进行到一半的离离奖毁誉参半：誉之者说它别出新裁，毁之者觉得离离小气。要是两位得主均未挑中金奖，那万众瞩目的金球，岂不还在离离囊中？甚至还有人不怀好意地揣测：压根就没有金球，三个全是银球，也就是三个玻璃球。要真那样，那离离真就太聪明了，还不得把他的同行诺贝尔给气活了。

离离觉得大家言之有理，为了让不怀好意的谣言不攻自破，决定修改一下规则。征得两位大奖得主的同意，抽奖仪式以新的方式举行。

上次授奖没有按时结束，有两个主要原因。第一，蓝天耗时太久，这个得有所改进。第二，若妖犹豫不决，得复习一下数学。

若妖回到家，从地下室里找出了一本发了霉的概率书。嗨，都说不学数理化，更能闯天下。这离哥，怎么就当哪么多人的面，差点让我下不了台呢？

若妖翻到了条件概率那一章，想起了当时上课的情景。那个老师帅哥，现在还好吧？想着想着，脸上露出了比随心还满意的笑容。

想起随心，想起那笔奖金，若妖把心收了回来。不就是条件概率吗，没有帅哥教，咱一样学得会。若妖知道，得用条件概率公式，算出在已知蓝天打开的箱子是银球的情况下自己挑中的箱子有金球的概率。数学有一个好处，只要公式和数据用对了，答案就是对的，唯一的。你就是数学大师，答案也是一样，若妖这点很自信。想当年同学中的帅哥们不服气，说：平常不看书，不做作业，上课就对老师傻笑，怎么老拿A？老拿A怎么的？用对了公式就拿A，气死你们。

若妖套了套公式，得出1/2的答案。就是说，金球在两个箱子中的概率一样，换不换没差别，当时不换不就行了吗？真是好事多磨。

闲话少说。工作人员又抬上三个大箱子，还是让两位MM自己挑球。蓝天上次已经得了个有收藏价值的玻璃球，这次又得了个额外的机会，自然喜出望外。若妖稍有不快，也是转瞬即逝，又象一阵风似的，抢了先机，挑中一个箱子。

为了不让蓝天磨蹭，离主席说：“为了向大家表示我的诚意，我跟大家露个底。奖品是我亲自放的，我知道各个箱子里的奖品。不管若妖挑了哪个箱子，我总是挑一个装银球的箱子打开，剩下的归蓝天，大家说好不好？”

“好！”欢声雷动。离离刚说完，立马打开了一个装有银球的箱子。

蓝天红着脸，正要去打开那个剩下的箱子，离主席又说话了：“若妖，想不想和蓝天换一下？”

若妖心里想：这个离哥，卖的是什么药？总在关键时刻，耍我一把。她心一横，说了声：“不换！”

“想好了？” 离离挤了挤眼睛。

“不换！不换！偏不换！” 若妖铁了心。

蓝天优雅地打开自己的箱子，眼睛一亮。哈，黄金，闪亮的黄金，一个又圆又大的金球，怕是真值不少钱。

三

若妖回到家里，又打开了那本发霉的概率书，到底该不该换呀？若妖本以为，这跟上次是一样的问题，换不换都没差别，果真如此吗？

对了，上次是蓝天自己挑的箱子，这次是离离帮她挑的。离离帮她把有银球的箱子挑走了。换句话说，金球只要在剩下的两个箱子中，由于离离帮她把有银球的箱子挑走了，金球都归蓝天了。奖品是离离亲自放的，他总能挑一个装银球的箱子。也就是说，离离打开装银球的箱子，是一个概率为1的必然事件。概率为1的必然事件，与我挑中的箱子里有没有金球，是相互独立的事件。所以我挑中的箱子里有金球的概率还是1/3。金球在剩下的两个箱子中是2/3。交换对我有利呀。

明白了，这不就是偶尔断电提过的Monty Hall Problem的金球银球版本吗？朝霞满天有专门讲过的呀！

若妖气得抬起脚，朝自己的鼻尖猛踢过去。

蓝天抱起沉重的金球，开心死了。这下，安婷和老章要闹离婚的话，钱是有着落了。还有，平常都是老公股票赚了钱，请大家吃一顿，今天，我也可以大手大脚回请一次了。

。。。

关于称球，我们已经折腾了好多次了，现在作个小结，以便暂时告别这一话题。

如何小结？ 就是用旧文提到的方法，去解下面的问题：

现有39个外表一模一样的球，其中有一个坏球重量不同于其他38个，其它球轻重一致。只允许使用四次天平，如何找出坏球并弄清轻重？

先注意一个事实：如已知坏球是轻或是重，一次便可找出3个球中的坏球，二次便可找出9个球中的坏球。

我们用三种不同的方法解决这一难题。

一 用信息论原理

使用一次天平，就是将感兴趣球的球分为三部分：天平左边，天平右边，和不在天平上，分别用L，R和B表示。所谓用信息论原理，就是在使用天平时，尽量使坏球在三组中的概率相等。

第一次使用天平最为简单，就是三等分39个球为L,R和B三组。将L组放在天平左边，R组放在天平右边，看看结果如何。

1 天平左右平衡

这意味着，坏球在B组的13个球中。从B组中随便取出9个球为B_1组放在天平的左边，从L组中随便取出9个(好)球放在天平的右边。如还左右平衡，说明坏球在B组中剩下的四个球中，如左右不平衡，坏球必在B_1组中并且轻重已知。这两种情况，再用两次天平，可轻易找到坏球和轻重，不赘述。

2 天平左重右轻

这意味着，坏球在L或R这26个球中。虽然有26个球，但我们有额外的信息：如坏球在L中则重，在R中则轻。

第二次如何使用天平？这时有几种不同方法，原理都是一条，就是将26个可能的坏球分为三组，使坏球在三组中的概率尽可能相等。如何做到这一点？从L中取出6个(归入X_1组)放到天平左边，6个(归入X_2组)放到天平右边，再从R中取出3个(归入Y_1组)放到天平左边，3个(归入Y_2组)放到天平右边。还有8个球不在天平上。

第二次称球，仍有三种可能：左右平衡，左重右轻和左轻右重。

第二次称球如左右平衡，则坏球在剩下的8个球中。剩下的8个球，有1个是L组的，余下7个都在R组中。如何两次找到答案？同样有几种办法，我们用法如下。

将R组中的6个球等分为两组，分别放在天平两边。如左右平衡，则坏球必在剩下的两个球中，将其中之一与好球相称便可得到答案。
如左右不平衡，则坏球必在轻的那边，再称一次也可知答案。

第二次称球如左重右轻，则表示坏球要么在X_1中，要么在Y_2中。将X_1中的球等分为二，放在天平两边，如天平左右平衡， 则坏球在Y_2中且轻，再称一次可知答案；如天平左右不平衡，坏球必在重的那边，再称一次也可知答案。

第二次称球如左轻右重，可如法炮制，不赘述。

3 天平左轻右重

可按2如法炮制，不赘述。到此方法一完。

二 用递归方法

所谓递归方法，就是将复杂的问题，划为较简单的问题，并由简单的问题的解答，给出复杂问题的解答。数学归纳法就是如此。

同样，第一次使用天平最为简单，就是三等分39个球为L,R和B三组。将L分为L_1和L_2两小组，L_1有4个球，L_2有9个球。类似，也将R和B分别分为R_1，R_2以及B_1和B_2两小组，R_1和B_1各有4个球，R_2和B_2各有9个球。第二次使用天平如下：
L_1和B_2放天平左边，R_1和L_2放天平右边，B_1和R_2不在天平上。比较两次称球的结果。

如两次结果相同，表示坏球没有挪窝，在L_1，R_1和B_1等12个球之中；如两次结果不同，坏球必在L_2，R_2或B_2三者之一中。

先看两次结果相同的情况，即同为左右平衡，同为左重右轻或同为左轻右重。这时B_2和L_2中的球必为好球，所以第二次使用天平与L_1放天平左边，R_1放天平右边等价。我们已经知道如何用三次天平找到12个球中的坏球和轻重，所以在这种情形，再用两次天平，就可找到坏球并知轻重。

再看两次结果不同的情况。

如第一次左右平衡，则表示坏球在B组中。第二次如左轻右重，坏球必在B_2中且为轻；第二次如左重右轻，则坏球必在B_2中且为重。注意B_2中有9个球，再称两次便可找到坏球并知轻重。

如第一次左轻右重，则表示坏球在L和R中。第二次如左右平衡，坏球必在R_2中且为重；第二次如左重右轻，则坏球必在L_2中且为轻。注意R_2中或L_2均有9个球，再称两次便可找到坏球并知轻重。

如第一次左重右轻可如法炮制，省略不提。

方法二到此完成。

三 用轨迹的办法

用轨迹的办法，就是记住每个球4次都在哪一组。比如说，lrrb就表示某球依次在天平的左边，右边，右边，然后不在天平上。如果该球是好球，轨迹不能告诉我们什么。但如是坏球，就提供了有用的信息。为方便叙说，分别用L，R，B表示左重，右重和左右平衡。 如坏球为重，其结果必为LRRB；为轻则为RLLB。同理，如坏球的轨迹为rllb，其结果也是LRRB或RLLB之一；如坏球为重，其结果必为RLLB，为轻则为LRRB。如lrrb和rllb中只有一个出现，由LRRB或RLLB便可推知坏球轨迹从而找到坏球。由于所述原因，我们称lrrb和rllb为等价轨迹。随便给定一个轨迹，将l和r互换，就得到与之等价的轨迹。

下面列出所有可能的轨迹：

llll, lllr, lllb, llrl, llrr, llrb, llbl, llbr, llbb,
lrll, lrlr, lrlb, lrrl, lrrr, lrrb, lrbl, lrbr, lrbb,
lbll, lblr, lblb, lbrl, lbrr, lbrb, lbbl, lbbr, lbbb,
rlll, rllr, rllb, rlrl, rlrr, rlrb, rlbl, rlbr, rlbb,
rrll, rrlr, rrlb, rrrl, rrrr, rrrb, rrbl, rrbr, rrbb,
rbll, rblr, rblb, rbrl, rbrr, rbrb, rbbl, rbbr, rbbb,
blll, bllr, bllb, blrl, blrr, blrb, blbl, blbr, blbb,
brll, brlr, brlb, brrl, brrr, brrb, brbl, brbr, brbb,
bbll, bblr, bblb, bbrl, bbrr, bbrb, bbbl, bbbr, bbbb

在所列的轨迹中，bbbb表示某球始终不在天平上。不上天平，就无法知轻重，必须排除。同样，我们也排除轨迹llll和rrrr。然后将剩下的轨迹分为39个等价类，给球用1到39中的数标上号，并将每一个球归为一个各不相同的等价类。

1:{lllr,rrrl} 2:{lllb,rrrb} 3:{llrl,rrlr} 4:{llrr,rrll} 5:{llrb,rrlb} 6:{llbl,rrbr} 7:{llbr,rrbl}
8:{llbb,rrbb} 9:{lrll,rlrr} 10:{lrlr,rlrl} 11:{lrlb,rlrb} 12:{lrrl,rllr} 13:{lrrr,rlll} 14:{lrrb,rllb}
15:{lrbl,rlbr}16:{lrbr,rlbl} 17:{lrbb,rlbb} 18:{lbll,rbrr} 19:{lblr,rbrl} 20:{lblb,rbrb} 21:{lbrl,rblr}
22:{lbrr,rbll} 23:{lbrb,rblb} 24:{lbbl,rbbr} 25:{lbbr,rbbl} 26:{lbbb,rbbb} 27:{blll,brrr} 28:{bllr,brrl}
29:{bllb,brrb} 30:{blrl,brlr} 31:{blrr,brll} 32:{blrb,brlb} 33:{blbl,brbr} 34:{blbr,brbl} 35:{blbb,brbb}
36:{bbll,bbrr} 37:{bblr,bbrl} 38:{bblb,bbrb} 39:{bbbl,bbbr}

然后再从每一个等价类中取出一个轨迹，使得每次都有13个l，13个r和13个b。如何作到这一点？因为排除了llll，rrrr和bbbb，每个轨迹都有至少一次变化。定义l->r->b->l为顺时针变化，并将各个等价类中第一次变化为顺时针变化的取出来归为一类，叫重球类。我们的重球类如下：

1:{lllr} 2:{rrrb} 3:{llrl} 4:{llrr} 5:{llrb} 6:{rrbr} 7:{rrbl}
8:{rrbb} 9:{lrll} 10:{lrlr} 11:{lrlb} 12:{lrrl} 13:{lrrr} 14:{lrrb}
15:{lrbl}16:{lrbr} 17:{lrbb} 18:{rbrr} 19:{rbrl} 20:{rbrb} 21:{rblr}
22:{rbll} 23:{rblb} 24:{rbbr} 25:{rbbl} 26:{rbbb} 27:{blll} 28:{bllr}
29:{bllb} 30:{blrl} 31:{blrr} 32:{blrb} 33:{blbl} 34:{blbr} 35:{blbb}
36:{bbll} 37:{bblr} 38:{bblb} 39:{bbbl}

接下来，我们根据重球类轨迹安排称球方案如下：

                  天平左边                                              天平右边
-----------------------------------------------    -------------------------------------------------
1,3,4,5,9,10,11,12,13,14,15,16,17           2,6,7,8,18,19,20,21,22,23,24,25,26
1,3,4,5,27,28,29,30,31,32,33,34,35         2,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17
1,9,10,11,21,22,23,27,28,29,36,37,38     2,3,4,5,12,13,14,18,19,20,30,31,32
3,7,9,12,15,19,22,25,27,30,33,36,39       1,4,6,10,13,16,18,21,24,28,31,34,37

现在是收获果实的时候了。将四次称球的结果依次记下；并将R变为r，L变为l，B变为b，就得出相对应的轨迹类。轨迹类所对应的球，就是坏球；轨迹如在重球类，坏球为重，否则为轻。

试举两例：

如结果为RRLL，对应轨迹为rrll，对应4号球，不在重球类，所以4号球是坏球并且轻。

再看结果为LRRB,对应轨迹为lrrb，对应14号球，在重球类，所以14号球是坏球并且重。

哈哈，我已经弄糊涂了，头脑还清楚的同学可继续试试其它结果。