一只又死又活的薛定谔的猫

第十一章 闲话希尔伯特问题

　　1900年，在巴黎召开的第二届国际数学家大会上，希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）作了题为《数学问题》的演讲，提出了23个他认为会对20世纪数学发展起重大作用的问题，这就是著名的希尔伯特的23个问题。时至今日，110年已经过去了。这23个问题有些彻底解决了，有些得到了部分地解决，还有几个没有解决。无论如何，这些问题对最近100多年的数学研究确实是起了极大的推动作用的，为了解决其中的某些问题，甚至发展出了一些新的数学领域或分支。在寻求解决这些问题的过程中，那些作出过重要贡献的人被数学界誉为“荣誉班”的成员。关于他们有不少挺有意思的故事，有悲剧，也有喜剧。而提出这23个问题的希尔伯特更是数学界的一代大宗师，大概应该算是这个“荣誉班”当之无愧的班主任吧。他的学生之一、诺贝尔物理学奖获得者劳厄（Max von Laue，1879-1960）在回忆他时说“在我的记忆中，这个人可能是我所见过的最伟大的天才”。

　　希尔伯特出生的哥尼斯堡（K？nigsberg）是拓扑学的发祥地，著名的“七桥问题”中的七座桥就在那儿。哥尼斯堡也是大哲学家康德的故乡，在那里长大的孩子们（尤其是男孩）可以说都是浸泡在康德的思想里成长起来的。每年4月22日（康德的诞生日），康德长眠的地窟会对公众开放，希尔伯特的酷爱哲学的母亲总会带他去向这位伟大的哲学家致敬。也许正是由于这种哲学上的熏陶，使他一生对数学体系本身的完备性、相容性、确定性等等基本问题情有独钟。

　　希尔伯特8岁时才上学，比一般孩子晚了两年。他上的是颇负盛名的冯检基（Friedrichskolleg）书院。在他之前140年，康德就在那里读书。在这所既传统又保守的名校里，最受重视的是拉丁文和希腊文，数学次之，根本不教授其他科学课程。因而记忆力并不出众的希尔伯特没有太大的用武之地，表现平平，基本上处在疲于应付的状态。数学对他来说毫不费力，可他也没花多少精力在上面。按他自己的话说“在学校里，我没怎么在数学上下功夫，因为我知道以后会有机会去钻研它”。直到中学的最后一年，希尔伯特转学去了非常注重数学和科学的威廉（Wilhelm）书院，他才如鱼得水，各科成绩突飞猛进。尤其是数学，他不但获得了最高的分数，还被破格免去了口试。毕业时得到的评语是“对于数学，他总是表现出浓厚的兴趣和深刻的理解，他以令人激赏的方式掌握了学校里教授的所有科目，并且能将其以令人信服和富有创造性的方式加以应用”。

　　中学毕业后，希尔伯特进了哥尼斯堡大学。这所大学以自由著称，教授想教什么就教什么，学生想学什么就学什么，没有任何限制。甚至每门课上后完连考试都没有，只在毕业时需要通过考试。希尔伯特没有按照父亲的愿望去学法律（他父亲是法官），而是选择了数学。那时德国的大学允许学生到其他学校去游学，希尔伯特曾到著名的洪堡大学就读过一学期。但他没有像大多数学生那样，继续前行去当时的学术中心柏林，而是返回了哥尼斯堡。1882年具有数学神童之称的闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909）也回到哥尼斯堡，两人志趣相投，从此结为终生的挚友。这个闵可夫斯基后来教过爱因斯坦数学，尽管他对爱因斯坦的数学才能评价很低，他引入的四维时空（闵可夫斯基空间）概念却为相对论的后续发展奠定了关键的数学基础。1884年，24岁的赫尔维茨（Adolf Hurwitz，1859-1919）来到哥尼斯堡大学当助理教授，他对希尔伯特的影响极大，可以说是他真正的老师。有相当长的一段时间，每天下午5点整，赫尔维茨、希尔伯特和闵可夫斯基3人都要聚在一起，散步到一棵苹果树下。以希尔伯特自己的说法，“在无休止的散步中，我们全神贯注于当时的各种数学问题，交流我们对这些问题的最新理解、想法和研究计划。同时形成了终身的友谊”。

　　与闵可夫斯基和赫尔维茨相比，希尔伯特应该算是大器晚成的那种（当然不是以我们今天的标准）。闵可夫斯基18岁还在上大学时就赢得了国际知名度很高的巴黎科学院科学数学大奖赛的大奖（1883年）。赫尔维茨则年纪轻轻就已经发表了多篇重量级的数学论文，并获得了令人羡慕的职位。

　　希尔伯特之所以后来在许多领域里取得了重大成果，与他做学问的方法密切相关。一般人开始研究一个新课题时，通常是以前人的结果为起点接着往前走。希尔伯特却不是这样，他总是要从问题的起源开始，将它的来龙去脉彻底梳理一遍。这往往能让他站在新的制高点上，从与前人不同的角度重新审视问题，发现意想不到的新方法来攻克难题。一个典型的例子就是在他刚出道时解决的不变量理论中的戈尔丹问题。戈尔丹（Paul Gordan，1837-1912）在1868年使用构造性方法给出了二元型系统的证明。此后20年间，很多数学家花了大量的时间想将其推广到更多元的系统，都以失败告终。希尔伯特仔细分析了戈尔丹问题，断定沿着老路走下去是没有希望的。他于是从一个全新的视角重新审视这个问题，在1888年利用反证法一举给出了任意多元系统的证明。

　　到1900年，希尔伯特已经成为可以和庞加莱（Henri Poincare，1854-1912）比肩的顶尖数学家了。第二届国际数学家大会邀请他作一个专题演讲，题目自选。希尔伯特认为，如果能归纳出对新世纪的数学发展具有重要影响的一批问题将会比仅仅讲一个他自己的研究成果更有意义。为此，他写信征求了闵可夫斯基和赫尔维茨的意见，并在其后多次与他们通信商定问题的取舍。应该说在最后确定的这23个问题中，也有闵可夫斯基和赫尔维茨不少的心血。

　　由于时间限制，希尔伯特在大会上只来得及讲了23个问题中的10个，其余的13个被列在会议的通报中。这些问题大体上可以分成四大类：数学的基础问题及特定数学领域的基础问题（第1-6），数论问题（第7-12），代数与几何问题（第13-18）和数学分析问题（第19-23）。

　　巴黎数学家大会之后，这23个问题成了20世纪数学界的指路灯。希尔伯特所在的哥廷根大学则被很多人视为数学的圣地，成百名青年学生从世界各地云集到那里。在鼎盛时期（第一次世界大战为这一时期画上了句号），希尔伯特讲课时经常连走道上和窗户外都站着学生。他的很多学生和助手后来都成为数学界或物理学界的重要人物，说他桃李满天下一点也不为过。

　　1950年，美国数学学会要求当时最有影响的数学家之一外尔（Hermann Weyl，1885-1955）总结一下过去50年数学的进展，他写道，要不是因为“巴黎问题”所用术语太过专业，则只需直接将已经解决和部分解决的希尔伯特问题开列下来就已经可以完成任务了，“（希尔伯特问题）就是数学家们经常用来衡量自己进展的进度表”。

　　希尔伯特第二问题

　　希尔伯特第二问题是关于“公理系统相容性的问题”（即判定一个公理系统内的所有命题是彼此相容无矛盾的），希尔伯特希望能以严格的方式来证明任意公理系统内命题的相容性。公理系统的一个简单例子，是我们大家上中学时都学过的欧氏几何学，欧几里德列出了10条公理，所有别的几何定理都可以从这些公理出发推导出来。

　　解决希尔伯特第二问题的，是被誉为亚里士多德之后最伟大的逻辑学家的哥德尔（Kurt Godel，1906-1978）。除了希尔伯特第二问题，哥德尔对希尔伯特第一问题的解决也起了关键性的作用，若不是他的兴趣突然莫名其妙地转移了，第一问题很可能也会成为他的囊中物。

　　哥德尔出生在摩拉维亚省的布尔诺（当时属奥匈帝国，现属捷克）。他天资聪颖，只用了4年时间就完成了一般需要8年的初等教育。1918年上高中后，几乎门门功课都得最高分，而唯一没拿到最高分的课竟是数学！在进入维也纳大学之初，他是准备搞物理的。后来他的导师、数学家哈恩（Hans Hahn，1879-1934）介绍他加入了当时非常有名的Vienna Circle（一个以探讨数学和物理学的哲学基础为目标的、由科学家和哲学家组成的小团体），使他的兴趣一下子从物理学转向了逻辑学。

　　1930年2月，哥德尔获得博士学位，他的博士论文是证明数理逻辑中最基本的形式系统--谓词演算（又称一阶逻辑）的完备性和相容性。这一年稍后，他证明了他的最著名的两个关于公理系统的不完备性定理（发表于1931年3月）。哥德尔的论证与古希腊哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides，公元前6世纪）的克里特悖论（身为克里特人的埃庇米尼得斯宣称“所有的克里特人都是骗子”）有点类似。其大意是说，对于任何一个公理系统，必定存在一个用形式语言表述的语句（statement）无法用形式语言的推理来证实或证伪，即这个语句是不确定的，因而只能靠增加一个新的公理来对付它。换句话说，为了堵住公理系统的一个漏洞，就需要引入新的公理，而新公理的引入又导致新漏洞的出现--鱼总是比网大！正是这个不完备性定理从完全出乎预料的、相反的方向解决了希尔伯特第二问题。比较准确的说法可能应该是：不完备性定理证明了公理系统相容性的不可证明（也就是说，希尔伯特想要的，是根本不可能被证明的）。这个消息刚刚传到希尔伯特那里时，他的最初反应是难以置信，甚至还有些愤怒。后来在他的助手伯内斯（Paul Bernays）的说服之下，他仔细研究了哥德尔的证明，很快意识到其正确性和重要性。当时希尔伯特正在哥廷根大学讲授一门关于公理系统的课，看了哥德尔的论文后，他马上把剩余课程全部取消了。

　　哥德尔是数学界公认的天才，也是众所周知的大怪物。他生性怕羞，据说他第一次讲课时整整一节课全都是面对黑板，没朝学生看一眼。有人认为这也许与他那时就已经患了某种程度的抑郁症或狂想症有关。早在学生时代，医生就怀疑哥德尔可能患有抑郁症或精神病，而他的一大乐趣就是与他的一个朋友共同策划如何误导医生，以使其无法判断他到底有什么病。也许正是这种讳疾忌医的态度要了他自己的命。到了晚年，他的狂想症最终发展到拒绝进食（因为怀疑食物里有毒），以致由于器官功能衰竭而死。

　　哥德尔还有过被误认为是德国间谍的经历。1942年夏天，他到缅因州的滨海小镇蓝山（Blue Hill）度假。那时他正致力于选择公理的独立性的研究，为了不受干扰，他总在晚上去海滩边散步边思考。散步就散步，却还要自言自语，而且还用德文。那时第二次世界大战正打得如火如荼，德国潜艇曾经在美国大西洋沿岸出没过，哥德尔的长相恐怕也有点容易令人起疑。所有这些因素加在一起，让当地的居民很难不疑心他是前来接应德国潜艇的间谍。当局不时接到举报电话，好在他们并不糊涂，从未把哥德尔弄到警察局去。

　　作为逻辑学家，哥德尔一生认死理、爱钻牛角尖，凡事都以逻辑推理为准。有时候让人觉得他好像是个不食人间烟火异类。他为数不多的朋友之一，对策论的奠基人、经济学家摩根斯坦（Oskar Morgenstern，1902-1977）讲过一个很有趣的故事，颇能反映哥德尔的这一特点。1948年4月，哥德尔准备加入美国籍。入籍前必须通过一个例行的简单考试。他花了极大的精力认真进行准备，尤其深入地钻研了美国宪法。考试前不久，哥德尔十分兴奋地跑来对摩根斯坦说“我发现了一个使美国能在逻辑上合法转化为独裁政权的可能性”。摩根斯坦当然知道不管哥德尔的论证多么精辟，这项发现对入籍考试来说都是灾难性的。所以他特别叮嘱哥德尔在考试时一定不要提这项新发现。考试那天，爱因斯坦和摩根斯坦两人作为证人陪同哥德尔来到移民局。入籍考试通常只允许申请人一人进入移民官的办公室。可能是出于对爱因斯坦的尊重，移民官把他们3个人一起请了进去。移民官开场说道，“到目前为止，你持有德国国籍……”，哥德尔马上纠正说是奥地利国籍。移民官接着说“不管怎样，它是在邪恶的独裁统治之下……幸运的是，这在美国是不可能发生的……”这下可捅了马蜂窝，哥德尔立刻高声打断道，“正相反，我知道这是可能发生的！”摩根斯坦等3人费了九牛二虎之力才总算阻止住他继续深入阐述他的重要发现，让考试回归正轨。

　　爱因斯坦与哥德尔的交情匪浅，两人经常一起从普林斯顿高等研究所散步回家。一路上他们会讨论涵盖范围极广的各种各样的问题。哥德尔是为数不多的愿意挑战爱因斯坦想法的人，比如，他曾直言对统一场论持怀疑态度。在晚年时，爱因斯坦有一次跟摩根斯坦说，他自己的工作对其本身已经没有多大意义，他之所以仍然每天去研究所，仅仅是为了“能获得与哥德尔一起散步回家的特权”。哥德尔也把爱因斯坦视为知己。1949年，为了庆祝爱因斯坦的70大寿，《在世哲学家文库》准备出一本专辑《阿尔伯特爱因斯坦：哲学家-科学家》。主编希欧普（P。A。Schilpp）邀请哥德尔也贡献一篇文章。哥德尔突发奇想，决定要为专辑写一篇关于广义相对论的论文。于是重操物理旧业，开始认真研究广义相对论。让人不得不服气的是，他还真发现了爱因斯坦场方程的一个不为人知的新解--这个解对应于一个“没有时间的世界”（有兴趣的读者可以去看Palle Yourgrau的《A World Without Time》）。

　　希尔伯特第八问题

　　希尔伯特第八问题是黎曼假说和其他质数问题（质数就是只能被它自己和1整除的自然数，例如：2，3，5，7）。黎曼假说（即关于ζ函数零点的分布的猜想）：ζ函数的所有非平凡零点的实数部分都是1/2.“其他质数问题”的代表之一就是哥德巴赫猜想：任何一个大于2的偶数，都可表示成两个质数之和（数学圈里称其为1+1，就是说可表示成一个质数加另一个质数）。

　　哥德巴赫猜想看上去真是很简单，对任何一个比较小的偶数，似乎都不难把它写成两个质数之和。比如，偶数8可表示成3+5，3和5是质数；又如偶数12可表示成5+7，5和7是质数，等等。可要证明对任何一个大于2的偶数都能成立，却比登天还难。对哥德巴赫猜想以及和它连在一起的一个名字--陈景润（1933-1996），很多人可能并不陌生。在文化大革命刚刚结束的1978年，陈景润可以说是家喻户晓的超级明星，这在很大程度上是著名作家徐迟的一篇报告文学《哥德巴赫猜想》（《人民文学》1978年1月号）所赐。文章发表后，一时间洛阳纸贵，各大报刊争相转载。陈景润成为科学与献身的代名词，至于他究竟在哥德巴赫猜想上证明的是什么反而成了次要问题。其实陈景润的这项工作在1966年5月就已经完成了，只是由于文革正好在那年开始，没办法拿出来发表。他所证明的是（陈氏定理）：任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者最多仅仅是两个质数的乘积（即他证明了任何大偶数都可写成一个质数加不超过两个质数的乘积，所以称为1+2）。陈氏定理看上去离证明哥德巴赫猜想只有一步之遥，可这最后一道坎时至今日也没人能跨得过去。

　　有人将哥德巴赫猜想比作数学皇冠上的一颗明珠，但与黎曼假说相比，它的重要性终究还是略逊一筹。这主要是因为ζ函数与质数的分布紧密相关，而质数的分布不但在数论的研究中至关重要，在实际应用上也意义重大。特别是在密码的加密与解密方面，比如，公开金钥加密的RSA算法就是以大质数为基础的。

　　黎曼（G。F。B。Riemann，1826-1866）在数学史上占有极重要的地位，是黎曼几何学创始人及复变函数论创始人之一，对数学分析、微分几何和微分方程有都有重要贡献。黎曼自上小学开始就被视为数学天才，校长专门派了一位老师教他数学。但是很快老师就发现，他从黎曼那儿学到的东西比他能教给黎曼的要多得多！在中学里，校长干脆让黎曼到他的私人图书室（那里有很多高深的数学专著）去自己找书看。有一次黎曼要求校长给他推荐一本难一点的书，为了试试黎曼的潜力，校长建议他去读勒让德（A。Legendre）的859页的巨著《数论》。一星期后，黎曼把书还了回来，校长问他书是否太难，他回答说，非常高兴校长给了一本能让他读了一星期之久的书。两年后，黎曼请求学校以勒让德的《数论》作为他毕业考试的一部分。尽管两年来他从未再摸过这本书，对所有的问题却全能对答如流。毫无疑问，《数论》对黎曼具有很大影响，使他对研究质数的分布产生了浓厚的兴趣。

　　提出黎曼假说的论文发表于1859年。为了阐述和解释这篇仅仅8页长的论文，爱德华兹（H。M。Edwards）写了一部300页的专著《黎曼的ζ函数》（1974）。ζ函数本身其实并不复杂，学过初等数学的人大概都能看懂：

　　黎曼断言ζ函数的所有非平凡零点的实数部分都是1/2.到目前为止，所有已知的15亿个非平凡零点（绝大部分是用计算机得到的）全部都与黎曼的猜想相吻合。

　　在希尔伯特眼里，黎曼假说应该算是这23个问题中的重中之重。巴黎会议之后不久，有人问过他在这些问题中哪一个最重要，他以不容置疑的口气答道“黎曼假说”。多年以后，在希尔伯特晚年，又曾经有人问他，假如死后500年又复活了的话，问的第一个问题会是什么？他毫不犹豫地答道“是否有人证明了黎曼假说？”

　　关于希尔伯特和黎曼假说还有一个传说：某天，他的一个学生拿了一篇证明黎曼假说的论文给他看。希尔伯特仔细研究了这篇论文，对文中的精辟论证留下深刻的印象。只可惜他发现其中有一处错误，而且想尽办法也无法克服。一年之后这个学生突然去世了。在下葬时，希尔伯特要求致悼词。在蒙蒙细雨中，他驱前几步，面对哭哭啼啼的亲友开始演讲。他首先说，如此才华横溢的一个年轻人在其能有所作为之前就死去了，真是个悲剧。尽管这个年轻人对黎曼假说的证明存在一处错误，但是可能有一天，这个著名问题的解答也许就是沿着死者所指出的方向而被得到。然后话锋一转，“事实上，让我们来考虑一个复变量的函数……”，接着就是天马行空的长篇大论。

　　希尔伯特在1920年的一次演讲时说，他认为演讲厅里没人能活到看见希尔伯特第七问题的解决，而他自己应该能活着看到黎曼假说被证明，大厅里最年轻的人则可能看到费尔马大定理被证明。事实是，只有他对费尔马大定理的预言是大体正确的--它于1994年被证明。其余两个问题则和他的预言正好相反，他活着看到了第七问题的解决，而黎曼假说时至今日还是没能被证明。

　　希尔伯特第十三问题

　　一般的七次方程式x7+ax3+bx2+cx+1=0的七个解，是系数a，b，c的（三变量）函数。第十三问题是：此三变量的函数是否可用有限个双变量的函数来建构。希尔伯特真正关心的当然不是仅限于这个七次方程的解，他感兴趣的大概是一个多变量的函数是否能用有限个双变量的函数来建构。

　　俄国最伟大的数学奇才柯尔莫哥洛夫（A。N。Kolmogorov，1903-1987）奠定了解决这个问题的基础，他在1956年证明任意具有多个变量的函数均可用有限个三变量的函数来建构。第十三问题的最终证明，则是由他的学生、当时年仅19岁的阿诺尔德（V。I。Arnold，1937-2010）于1957年给出的--任意具有多个变量的函数均可用有限个双变量的函数建构。柯尔莫哥洛夫和阿诺尔德所研究的是一个更广义的问题，第十三问题只是其特例。

　　柯尔莫哥洛夫出生在俄国最动荡的年代，一生颇富传奇色彩。他父亲是个革命者，在被流放时结识了出身于贵族家庭的柯尔莫哥洛娃（柯尔莫哥洛夫的母亲），之后上演了一出贵族小姐与流亡革命者私订终身的戏码。不幸的是柯尔莫哥洛夫的母亲在生他时死了，而父亲虽然偶尔来看看他，却从来就没和他在一起生活过。柯尔莫哥洛夫是由姨妈抚养长大的，这也是他随母姓的原因。他的这位姨妈也干过革命，还曾经被软禁过。据说柯尔莫哥洛夫3个月大的时候，他家遭到搜查，违禁品就藏在他的摇篮下面。后来为了照顾柯尔莫哥洛夫，他的姨妈放弃了革命活动。

　　柯尔莫哥洛夫在很小的时候就显露出超常的数学天赋。他的第一篇论文是在五六岁时发表于他们学校的校刊上的，内容是报告他发现1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，等等。他14岁就已经自学了高等数学，不过按他自己所说，在中学时其实对生物和历史其实更有兴趣。他刚入莫斯科大学的时候，在学习数学的同时也学历史。而且他在大学里写的第一篇论文还是与历史有关的：运用概率论的方法分析15和16世纪诺夫哥罗德省的土地注册问题。尽管那时统计学还远没有成为一个成熟的学科，他仍然得到了一些很有意义的结果。他把论文拿给一位历史教授看，教授认为文章不错，但不能发表，原因是“你只发现了一个证据，对历史学家来说这远远不够，你需要至少5个证据”。柯尔莫哥洛夫从此彻底打消了搞历史的念头，决定去搞科学，因为“在那里，对于一项结论，一个证明就够了”。（柯尔莫哥洛夫）。由此，俄罗斯可能少了一位历史学家，而世界上则多了一位伟大的数学家。

　　19岁时，柯尔莫哥洛夫发现了勒贝格可积函数的傅立叶级数的发散性（傅立叶级数在物理学中有重要应用），这一结果对傅立叶级数的研究意义极大，使他一下成为国际数学界瞩目的新星。柯尔莫哥洛夫一生发表过500多篇学术论文，涵盖了许多不同的数学和物理领域。在涉足的每个领域里，他所取得的成就都是一般的数学家或物理学家很难望其项背的。在概率论方面，他首创了一套以测度论为基础的公理系统（1929-1933），整个近代概率理论就是在它上面建立起来的。这也与希尔伯特第六问题息息相关，起码可以算是它的一个子问题。他在随机过程，特别是马尔可夫链和布朗运动的研究中取得了极为重要的成果，为现代统计学奠定了基础。在湍流理论、混沌理论、相空间理论、三体问题、拓扑学等许多数学、物理领域中他都做过非常了不起的工作。柯尔莫哥洛夫在希尔伯特第十三问题上的贡献足以使任何一位数学家跻身于世界顶尖数学家的行列，但与他一系列“开天辟地”的成果相比，这大概也只能算是他的一项“普通”的成就。

　　柯尔莫哥洛夫的兴趣相当广泛，数学、物理、生物、历史之外，他还爱好古典音乐和古典文学。对俄罗斯诗歌更是情有独钟，甚至还发表过11篇用统计学方法研究俄罗斯诗歌韵律结构的论文。他对户外活动也十分着迷，一有机会就出去远足、露营。有一年，他和另一位顶尖数学家、拓扑学大师亚历山德罗夫（P。S。Alexandrov，1896-1982）一起，既不带地图也不带旅游手册，随身只带了一本荷马史诗，划一艘小船沿伏尔加河漂流而下。“我们通常把帐篷支在沙洲的顶端，在那里对水流会有一种特殊的感觉。在旅程的开头几天，我们经常在夜里去游泳；在白色的夏夜里，河岸边飘拂着茂密的柳条，空气中充溢着鸟儿的欢叫。这些都给我们留下了不可磨灭的印象。真希望能这样永远继续下去……”（柯尔莫哥洛夫）。这次没有任何既定目的地的旅行历时21天，漂流了1300公里，也使他和亚历山德罗夫成为了终身的挚友。

　　除了在数学和物理学领域中的辉煌成就，柯尔莫哥洛夫对前苏联的初等教育也有重大贡献。从1963年起，他的主要精力就放在了创建和指导第十八数学和物理中学之上（该校因而经常被人们称为柯尔莫哥洛夫学校）。这所精英学校从全国各地招收在数学和科学上具有超常才华的学生，为苏联/俄国造就了很多数学和科学方面的优秀人才。柯尔莫哥洛夫为第十八中学无偿工作了15年，他不但亲自给高年级学生教授数学、参与高中数学教材的编写，而且也给孩子们讲音乐和文学，还经常带他们去露营。在他的带动下，有一大批知名的数学家（其中很多是他的学生）在那里授课，使学校的教学一直处于极高的水平。

　　从希尔伯特提出他的23个问题到今天，100多年已经过去了。这些问题中有16个得到了解决（1，2，3，4，5，7，9，10，11，13，14，15，17，18，21，22），另外4个（6，12，19，20，23）不是精确意义下的“问题”，而是属于研究领域或研究方向的问题，它们对相关领域的发展起了很大的推动作用。剩下第八和第十六两个问题至今都没能解决。第十六问题在50年代末本以为被苏联科学院院士彼得罗夫斯基（I。G。Petrovsky，1901-1973）和兰迪斯（E。M。Landis，1921-1997）解决了，但后来却发现他们的证明有漏洞。1980年，当时还是中国科技大学研究生的史松龄更举出了一个反例，彻底推翻了彼得罗夫斯基和兰迪斯的证明。

　　2000年，仿照100年前的国际数学家大会，美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）邀请了世界上的一些顶级数学家聚集巴黎，在会议上公布了7个对新世纪的数学发展具有重大意义的难题（千禧年大奖难题），并为每个难题的解决设定了100万美元的奖金。希尔伯特第八问题--黎曼假说又被列入其中。不知何年何月黎曼假说才能被最终证明，以慰希尔伯特在天之灵。