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1、几何之父
欧几里得
（约前330～前275）
[传略]欧几里得，古希腊数学家，古代最有名望的学者之一，几何学的鼻祖。以其所著的《几何原本》（简称《原本》）闻名于世。关于他的生平，现在知道得很少。据说生于公元前330年，死于公元前275年。早年大概就学于雅典，深知柏拉图的学说。公元前300年左右，在托勒密王（前364～前283年）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外他的唯一保存下来的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。
[影响]欧几里得是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。据记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言。据说，欧几里得的一位学生曾经这样问老师“我学这些东西能得到什么呢？”欧几里得吩咐他的仆人说：“既然他一定要从所学的里面得到些东西，你就给他3个钱币让他走吧。”
公元前7世纪左右，埃及的几何知识由希腊的自然哲学者泰勒斯传入希腊。希腊学者不仅发现了许多新的几何问题，而且开始把逻辑学的思想方法引进几何学，对几何问题进行了逻辑推理和证明，促进了几何学的发展。毕达哥拉斯学派研究了许多问题。例如，三角形的内角和、五种正多面体、黄金分割等，发现了比例中项定理、毕达哥拉斯定理。雅典学派的希波克拉底、柏拉图、欧多克索斯等人，对几何学的发展有很大的贡献，他们曾提出有名的希腊几何三大问题：任意角三等分问题、立方倍积问题、化圆为方问题，希波克拉底曾对一些几何定理做出证明，为几何的逻辑结构打下了初步基础。柏拉图把逻辑思想引进几何学，使几何系统逐渐严格化。欧多克索斯的比例论和穷尽法是近代微积分思想的渊源。
希腊人积累的几何知识同逻辑思想结合起来，为几何的系统化、公理化以及欧几里得的《几何原本》的出现奠定了基础。欧几里得是希腊亚历山大学派的创始人，他按照逻辑系统把几何命题整理起来，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书问世以后的两千年中，一直被用做教科书。它被认为是学习几何知识和培养逻辑思维能力的典范教材，世界上大多数国家都有《几何原本》的译本。中国最古的译本是明代徐光启译出的，“几何”一词就是他第一个使用的。《几何原本》除了有它的数学教育意义外，还有它的数学方法论的意义。欧几里得从一些定义、公理和公设出发，运用演绎推理的方法，从已得的命题推出后面的命题，从而展开《几何原本》的全部几何内容。从当时的人类文化水平来看，这是一种很严谨的几何逻辑结构，欧几里得的这种逻辑地建立几何的尝试，成为现代公理法的渊源。
《几何原本》全书共十三卷，除其中第五、第七、第八、第九和第十卷是讲述比例和算术理论外，其余各卷都是讲述几何内容的。第一卷内容有平行线、三角形、平行四边形的定理；第二卷主要是毕达哥拉斯定理及其应用；第三卷讲述关于圆的定理；第四卷讨论圆的内接与外切多边形定理；第六卷内容是相似理论；最后三卷是立体几何。这些几乎包含了现在中学所学的平面几何、立体几何的全部内容。
正如欧几里得所阐述的，《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、公设、公理、定理组成的演绎推理系统。在第一卷开始，他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度；③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。在定义之后有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。其次，有5个公理：①等于同量的量相等；②等量加等量其和相等；③等量减等量其差相等；④可重合的图形全等；⑤全体大于部分。在公理后面，欧几里得便证明各个命题，每个命题都要以公设、公理或它前面的命题作为证明的根据，按逻辑的相关性把它排列成命题1、2、3……这些命题实际上就是人们所说的“定理”。
欧几里得的《几何原本》，虽然在教育和科学意义上，在历史上受到很高的评价，但用现在的科学水平衡量，它的几何逻辑结构在严谨性上还存在很多缺点。首先，欧几里得的定义并不能成为一种数学定义，有的不过是几何对象点、线、面的一种直观描述，有的含混不清，这些定义在后面的论证中，实际上是无用的。其次，欧几里得的公设和公理，是远不够用的，因而在《几何原本》的许多命题的论证中，不得不借助直观，或者或明或暗地引用了用他的公设和公理无法证明的事实。特别要指出的是研究《几何原本》的许多学者都注意到欧几里得的第五公设比较复杂，看来很像定理。欧几里得之后的两千年很多学者都试图用其他公设和公理加以证明，但都失败。直到19世纪，高斯、罗巴切夫斯基、J。波尔约、B。黎曼等发现了非欧几何，才了解到欧几里得第五公设不是其余公设和公理的推论，不能用那些公设和公理来证明，而是一个独立的命题。
19世纪末期，德国数学家D。希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，这就是所谓希尔伯特公理体系，希尔伯特首先抽象地把几何基本对象叫做点、直线、平面。作为不定义元素，分别用A、B、C……a、b、c……α、β、γ……表示，然后用5组公理：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理来确定基本几何对象的性质，用这5组公理作为推理的基础，可以逻辑地推出欧几里得几何的所有定理，因而使欧几里得几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。希尔伯特公理体系的完成，不仅使欧几里得《几何原本》的完善工作告一段落，且使数学公理法基本形成，促使20世纪整个数学有了较大的发展，甚至这种影响也扩大到其他科学领域，如物理、力学等。
《几何原本》这部著作先后被翻译成阿拉伯文、拉丁文等各种文本。1607年，中国科学家徐光启与意大利的传教士利玛窦将此书的前六卷译成中文，后九卷则于1856年由伟烈西力和李善兰译出。
[余论]欧几里得力图依照严格的逻辑演绎方法整理当时积累起来的几何知识。他在《几何原本》中先给出定义、公理和公设，然后一步步推出有关定理。该书构造了数学史上第一个重要的初等几何公理系统，标志着数学知识系统化的开端。两千多年来，人们都把它作为一部优秀的研究几何的入门著作和教科书，其中的演绎系统化思想，一直影响着数学的发展，并渗透到自然科学，甚至哲学中。在如此长久的时间中对世界数学的发展有如此大的影响，恐怕连他自己都没有想到。
（刘伟）
（约前330～前275）
[传略]欧几里得，古希腊数学家，古代最有名望的学者之一，几何学的鼻祖。以其所著的《几何原本》（简称《原本》）闻名于世。关于他的生平，现在知道得很少。据说生于公元前330年，死于公元前275年。早年大概就学于雅典，深知柏拉图的学说。公元前300年左右，在托勒密王（前364～前283年）的邀请下，来到亚历山大，长期在那里工作。欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何积累起来的丰富成果整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。除了《原本》之外，他还有不少著作，可惜大都失传。《已知数》是除《原本》之外他的唯一保存下来的希腊文纯粹几何著作，体例和《原本》前6卷相近，包括94个命题，指出若图形中某些元素已知，则另外一些元素也可以确定。《图形的分割》现存拉丁文本与阿拉伯文本，论述用直线将已知图形分为相等的部分或成比例的部分。《光学》是早期几何光学著作之一，研究透视问题，叙述光的入射角等于反射角，认为视觉是眼睛发出光线到达物体的结果。还有一些著作未能确定是否属于欧几里得，而且已经散失。
[影响]欧几里得是一位温良敦厚的教育家，对有志数学之士，总是循循善诱。但反对不肯刻苦钻研、投机取巧的作风，也反对狭隘实用观点。据记载，托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”这句话后来成为传诵千古的学习箴言。据说，欧几里得的一位学生曾经这样问老师“我学这些东西能得到什么呢？”欧几里得吩咐他的仆人说：“既然他一定要从所学的里面得到些东西，你就给他3个钱币让他走吧。”
公元前7世纪左右，埃及的几何知识由希腊的自然哲学者泰勒斯传入希腊。希腊学者不仅发现了许多新的几何问题，而且开始把逻辑学的思想方法引进几何学，对几何问题进行了逻辑推理和证明，促进了几何学的发展。毕达哥拉斯学派研究了许多问题。例如，三角形的内角和、五种正多面体、黄金分割等，发现了比例中项定理、毕达哥拉斯定理。雅典学派的希波克拉底、柏拉图、欧多克索斯等人，对几何学的发展有很大的贡献，他们曾提出有名的希腊几何三大问题：任意角三等分问题、立方倍积问题、化圆为方问题，希波克拉底曾对一些几何定理做出证明，为几何的逻辑结构打下了初步基础。柏拉图把逻辑思想引进几何学，使几何系统逐渐严格化。欧多克索斯的比例论和穷尽法是近代微积分思想的渊源。
希腊人积累的几何知识同逻辑思想结合起来，为几何的系统化、公理化以及欧几里得的《几何原本》的出现奠定了基础。欧几里得是希腊亚历山大学派的创始人，他按照逻辑系统把几何命题整理起来，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书问世以后的两千年中，一直被用做教科书。它被认为是学习几何知识和培养逻辑思维能力的典范教材，世界上大多数国家都有《几何原本》的译本。中国最古的译本是明代徐光启译出的，“几何”一词就是他第一个使用的。《几何原本》除了有它的数学教育意义外，还有它的数学方法论的意义。欧几里得从一些定义、公理和公设出发，运用演绎推理的方法，从已得的命题推出后面的命题，从而展开《几何原本》的全部几何内容。从当时的人类文化水平来看，这是一种很严谨的几何逻辑结构，欧几里得的这种逻辑地建立几何的尝试，成为现代公理法的渊源。
《几何原本》全书共十三卷，除其中第五、第七、第八、第九和第十卷是讲述比例和算术理论外，其余各卷都是讲述几何内容的。第一卷内容有平行线、三角形、平行四边形的定理；第二卷主要是毕达哥拉斯定理及其应用；第三卷讲述关于圆的定理；第四卷讨论圆的内接与外切多边形定理；第六卷内容是相似理论；最后三卷是立体几何。这些几乎包含了现在中学所学的平面几何、立体几何的全部内容。
正如欧几里得所阐述的，《几何原本》是一个数学知识的逻辑体系，结构是由定义、公设、公理、定理组成的演绎推理系统。在第一卷开始，他首先提出23个定义，前6个定义是：①点没有大小；②线有长度没有宽度；③线的界是点；④直线上的点是同样放置的；⑤面只有长度和宽度；⑥面的界是线。在定义之后有5个公设：①从任意点到另一点可以引直线；②有限直线可以无限延长；③以任意点为圆心，可用任意半径作圆；④所有直角都相等；⑤如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。其次，有5个公理：①等于同量的量相等；②等量加等量其和相等；③等量减等量其差相等；④可重合的图形全等；⑤全体大于部分。在公理后面，欧几里得便证明各个命题，每个命题都要以公设、公理或它前面的命题作为证明的根据，按逻辑的相关性把它排列成命题1、2、3……这些命题实际上就是人们所说的“定理”。
欧几里得的《几何原本》，虽然在教育和科学意义上，在历史上受到很高的评价，但用现在的科学水平衡量，它的几何逻辑结构在严谨性上还存在很多缺点。首先，欧几里得的定义并不能成为一种数学定义，有的不过是几何对象点、线、面的一种直观描述，有的含混不清，这些定义在后面的论证中，实际上是无用的。其次，欧几里得的公设和公理，是远不够用的，因而在《几何原本》的许多命题的论证中，不得不借助直观，或者或明或暗地引用了用他的公设和公理无法证明的事实。特别要指出的是研究《几何原本》的许多学者都注意到欧几里得的第五公设比较复杂，看来很像定理。欧几里得之后的两千年很多学者都试图用其他公设和公理加以证明，但都失败。直到19世纪，高斯、罗巴切夫斯基、J。波尔约、B。黎曼等发现了非欧几何，才了解到欧几里得第五公设不是其余公设和公理的推论，不能用那些公设和公理来证明，而是一个独立的命题。
19世纪末期，德国数学家D。希尔伯特于1899年发表了著名的著作《几何基础》，书中成功地建立了欧几里得几何的完整的公理体系，这就是所谓希尔伯特公理体系，希尔伯特首先抽象地把几何基本对象叫做点、直线、平面。作为不定义元素，分别用A、B、C……a、b、c……α、β、γ……表示，然后用5组公理：结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理、连续公理来确定基本几何对象的性质，用这5组公理作为推理的基础，可以逻辑地推出欧几里得几何的所有定理，因而使欧几里得几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。希尔伯特公理体系的完成，不仅使欧几里得《几何原本》的完善工作告一段落，且使数学公理法基本形成，促使20世纪整个数学有了较大的发展，甚至这种影响也扩大到其他科学领域，如物理、力学等。
《几何原本》这部著作先后被翻译成阿拉伯文、拉丁文等各种文本。1607年，中国科学家徐光启与意大利的传教士利玛窦将此书的前六卷译成中文，后九卷则于1856年由伟烈西力和李善兰译出。
[余论]欧几里得力图依照严格的逻辑演绎方法整理当时积累起来的几何知识。他在《几何原本》中先给出定义、公理和公设，然后一步步推出有关定理。该书构造了数学史上第一个重要的初等几何公理系统，标志着数学知识系统化的开端。两千多年来，人们都把它作为一部优秀的研究几何的入门著作和教科书，其中的演绎系统化思想，一直影响着数学的发展，并渗透到自然科学，甚至哲学中。在如此长久的时间中对世界数学的发展有如此大的影响，恐怕连他自己都没有想到。
（刘伟）
